Файл: Страховский Г.М. Основы квантовой электроники учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 268

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

С учетом (6.37), (6.38) уравнения (6.33)—(6.36) принимают вид:

- ô p l 2

-

-

i(oal

р 1 2

+ -і- 5

1 яш

» ( р „ - Р і 1

)

I

- t ~ % ^ ,

 

^

 

—

- "21

f 12

 

I

^

"-12

ѴК22

f i l /

 

 

j .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Ô£

—

- fa2i р

8 1

— d

2 1

8 ( р

2 8

- р п

) +

j,

,

 

- Ш 2 1 Г 2

1

^

"~21

Vi"22

П 1 /

I

 

 

Ф22

•

-

 

—

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Й = T g

(

d

2

1 p

l 2

~ P 2 l d

l

2 )

+ J

^ r ^ '

 

dt

-~T%(d2lPl,-p2idi2)

 

 

 

 

 

+ - £

^ Ѣ і .

 

(6.39)

(6.40)

( 6 - 4 1 )

(6.42)

В дальнейшем будем считать, что равновесная матрица плотности частицы в отсутствие поля не имеет недиагональных матричных эле­ ментов (рі2 = Р21 = 0).

Рассмотрим уравнения (6.39) и (6.40). Умножим правую и левую части уравнения (6.39) на d21, а правую и левую части уравнения (6.40) на d12. Тогда

 

 

^ 2 l l f + ( - * ° « + - } г ) р и г « = X | d | 2 ^ ( p 2 2 _ P l l ) '

( 6 - 4 3 )

 

 

d12

+

(/(о2 1 + ±ул

dl2

= -

-jL1

I2 1 ( p 2

2 - P l

l ) ,

 

(6.44)

где

мы

учли,

что c?i2 cî2 1

= rf12

d\2

=

cf2i^2i = I

1»

и

считали

d1 2

(d21 ë) = rf21

(d1 2 F) = I d I2 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Складывая

уравнения

(6.43) и (6.44), получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

+ « о м 5 + ^ - Р

= 0,

 

 

 

(6.45)

а

вычитая

уравнение (6.43) из уравнения (6.44), имеем:

 

 

 

 

 

 

 

• f

+ ««и Р + ^

= —

f

I d | а » (р« - P 2 1 ) .

 

(6.46)

В

уравнениях

(6.45) и (6.46) введены обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p = d2 X p1 2 +3p2 1 ,

 

 

 

 

(6.47)

 

 

 

 

 

 

1 =^12 Р21— dn

p2 i .

.

 

 

 

(6.47а)

 

Обратимся теперь к уравнениям (6.41), (6.42). Они описывают из­

менение во времени диагональных

элементов матрицы плотности р 2 2

и р п .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однако видно, что в уравнение (6.46) входит разность этих эле­

ментов р 2 2

— рц. Поэтому напишем уравнение для разности р 2 2

— р и .

170

Вычитая правую и левую части уравнения (6.42) из правой и левой частей уравнения (6.41), получаем для разности р 2 2 — р ц :

| - ( P 2 2 - P n ) + ^ [ ( P 2 2 - P 2 0 2 ) - ( P l l - P Ï 1 ) ] = - ^ f - f -

(6-48)

Теперь выражаем | как функцию р из уравнения (6.45):

 

<й>21

V

 

 

Подставляя

выражение (6.49)

в

уравнение

(6.48), получаем:

± Ь п - Ы + ^ K t a - r t . ) - ( P u - P ! J ] -

£ ( £ ( 6 . 5 0 )

Подставляя

выражение (6.49)

и

его производную по времени

в уравнение (6.46), получаем:

 

 

 

i f + т 2

• i t + Г 1 + т т ] ' = — g — * < p » - p i i ) - ( 6 - 5 I )

Уравнения (6.50), (6.51) описывают поведение матрицы плотности всего лишь одной частицы с двумя уровнями. Если число частиц в еди­ нице объема резонатора N, то уравнения для них получаются умно­ жением правых и левых частей уравнений (6.50), (6.51) на N.

Будем иметь в виду, что AN — N (р2 2 — р1 Х ) = N2 — Ni есть

просто разность населенностей частиц на верхнем и нижнем энергети­

ческих уровнях, a

SP = Np = N (d21p12

+ d1 2 p2 i)

есть макроскопиче­

ская поляризация,

определенная равенством (6.2) для случая, когда

у оператора

дипольного

момента

отличны

от нуля

лишь элементы

d21 и d12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножая правые и левые части уравнений (6.50), (6.51)

на

N,

получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ж+-Цд;ѵ-длд=

 

 

Й ш я [dt

 

 

 

(6.52)

 

 

dt

Т І К

 

0

/

Т,

)

Ѵ

'

 

д*£Р

, 2

д&

, /

,

,

1 \ тг;

2ш 2 1 І

d |2

— .

(6.53)

dt*

Т2

dt

 

<+^-

Tl

I

SP=~-^}^--$AN,

 

'

2 1

 

%

 

 

 

 

где АЛ^о = Af(P22 — pîi) — разность

населенностей

уровней

2 и

/

в отсутствие электромагнитного поля.

 

 

 

 

 

 

Строго говоря, при переходе от системы уравнений для матрицы плотности одной частицы к системе уравнений для поляризации и раз­ ности населенностей (6.52), (6.53), т. е. при переходе от микроскопиче­ ских величин к макроскопическим, нужно учесть, что поляризация среды получается не просто умножением поляризации одной частицы на число частиц в единице объема и что электромагнитное поле, дейст­ вующее на частицу [поле в правых частях уравнений (6.52), (6.53)],

171

отличается от поля, действующего в среде при наличии других частиц. Строгий расчет показывает, .что оба эти обстоятельства учитываются введением в правую часть уравнения (6.53) небольшого поправочно­ го множителя. В уравнении (6.53) он для простоты не вводится. Для решаемой в последующих параграфах задачи о пучковом квантовом генераторе такого поправочного множителя не нужно вводить, так как для пучков справедливо одночастотное приближение.

Уравнения (6.52) и (6.53) описывают возбуждение поляризации и изменение разности населенностей уровней 2 и 1 под действием электромагнитного поля в резонаторе генератора.

Итак, выпишем окончательные уравнения квантового генератора (6.27), (6.53), (6.52), (6.22а), (6.26):

 

d2 Лп ^ (ùn

. dAn

j ^ 2 ^

„

4я . d2 &п

 

dt2

' Qn

 

dt

r

n

n ~

 

e„

 

dt2

'

d2$> , 2

д& , /

9

,

1 \ т я

 

2 С О

2 1 Ы | 2 Й Г

dt2

+ jr

. f - + ( <

+

±

) *

= -

^

f

*

AN,

 

™.

+ ±(М-М0)=Я(Щ-

 

" f c

2 1 \ ô i

+ ^

) .

 

dt

1 r / " "

 

"

0 /

1

 

Tt)'

 

 

S(z,

t) =

%ezAn(t)sinKnz,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S3 _

_

 

 

 

 

 

 

3>n(0 = 4г[

ezSP(z,

t)sinKn

zdz.

 

 

 

х

о

 

 

 

 

 

 

 

В общем случае вместо ez

sin

/C„z

нужно поставить Un

и выражения

(6.57), (6.58)

приобретут вид:

 

 

 

/g

K ' '

(6.55)

( 6 .56)

(6.57)

(6.58)

(x, y, z),

 

& = %An(t)Un(x,

у, z),

®п=£\

Un(X> У' г)У(Х>

У' Z' t)dz-

^О

Развитая теория применима к пучковым и твердотельным кванто­ вым генераторам. Примерно также строится и строгая теория газовых квантовых генераторов, однако там построение усложняется тем, что необходимо учитывать движение активных частиц в газовой среде. Отметим, что в системе уравнений (6.54)—(6.58) нужно было бы про­ вести разложение уравнений (6.55), (6.56) по собственным типам коле­ баний резонатора, однако ниже ограничимся более простой поста­ новкой задачи.

Пусть в генераторе возбуждается только один тип колебаний, а рас­ пределение поля, поляризации и разности населенностей однородно по резонатору (не учитывается пространственное распределение этих величин). Считаем также е0 = 1. В этом случае An(t) переходит в Щ (t),

172

SPn (t) в &(f), все частные производные по времени

в полные, и урав-

нения

(6.54)—(6.58)

принимают

следующий

вид:

 

 

 

dt2

 

dcS

 

•4л

d2&

 

 

 

 

 

dt

 

 

dt2

 

 

 

 

d?£f>

•2у.

dSP

 

2 I d I 2

ш.

 

(6.59)

 

 

dt2

dt

 

 

%

^8AN,

 

 

 

dAN

Ъ

(AN~AN0)

2<i

d0>

 

 

 

 

dt

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В последнем уравнении системы (6.59) мы пренебрегли членом

 

 

 

dSP

 

 

 

 

 

1

по сравнению с членом - ^ - и ввели обозначения

сод = coli + -^, у 2

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

"ТУ

ъ

-. Индекс номера колебаний «я» заменен индексом «р»

резонатор, так как в генераторе возбуждается только один тип колеба­ ний. Уравнения написаны для скалярных величин, так как в прос­ тейшем случае вектор поляризации направлен по полю.

Первые два уравнения системы (6.59) представляют собой систему, близкую к двум связанным гармоническим осцилляторам со слабой

связью. Решение

такой

системы естественно искать

в виде

 

 

 

& = E1(t)cos[(ùat

+ <p(t)], & = P1(t)cos[(ùllt

+

y(t)],

(6.60)

где Et

(t), Р, (t),

ф (/) и ty(t) — медленно меняющиеся функции

вре­

мени по сравнению с сол t, т. е. любая из величин ^

j соЛ ) ^

j

сол ,

dm I

dip /

 

 

 

 

 

 

jf / ю л . -^f j <»л много меньше единицы и может рассматриваться

в за­

даче как малый

параметр.

 

 

 

 

В дальнейшем будем называть члены, не содержащие этих величин как множителей, членами нулевого порядка малости, члены, содержа­ щие первые степени этих величин, — членами первого порядка мало­

сти, и члены,

содержащие

квадраты этих величин или их перекрест­

ные произведения, — членами второго порядка

малости и т. д.

Будем считать

AN =

AN(t) также медленно меняющейся функцией

времени. Дифференцируя

решение (6.60) по времени, получаем с точ­

ностью до членов

первого

порядка

малости:

 

 

 

СОт,

-£1 sinil coJ I 2. +

(p)-

dEi

 

COS (Сі)л/ + ф)-

dt '

dt

со.

 

 

d(p

Ei

sin (сол t

- f ф)

(6.61)

 

 

dt

 

 

CO

 

 

 

 

 

d2%

 

- E i cos (со^ + ф ) — 2 - ^ -

 

8ІП(С0л/ + ф) —

dt2

 

со.

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

dt

£,cos (сол / + ф),

 

 

 

 

со,

 

 

 

 

 

173

Смотрите также файлы