Файл: Страховский Г.М. Основы квантовой электроники учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 265
Скачиваний: 1
|
— Pi s i n K ^ + i(5) |
dPi |
© _cos ((»л *+ ф)- |
|
~d7 |
dt I |
|||
|
dty |
|
|
(6.62) |
|
dt I |
©л |
|
|
|
|
|
||
= сол |
-Р 1 со5(со |
|
dP, |
|
л / + о | ) ) - 2 - ^ / ^ s i n K * + 4>)- |
||||
dt* |
|
|
dt |
I ©л |
-2 - ? / Ш д р ' с м К ' + 4
Подставим выражения |
(6.61) |
и |
(6.62) в уравнение (6.59). Начнем |
|||||||||||||
с первого |
уравнения. |
Члены |
|
- ~ |
- |
и —4я - ^ - |
являются малыми |
|||||||||
|
|
|
|
|
d4 |
|
2 |
W P |
|
|
|
|
|
|
|
|
по сравнению с членами |
|
и copg, поэтому |
при подстановке в них вы |
|||||||||||||
ражений (6.61) и |
(6.62) |
оставляем |
члены |
только |
|
нулевого |
порядка; |
|||||||||
в члене |
оставляем члены вплоть до первого порядка. |
Іогда |
||||||||||||||
|
(<ojl — ©л) — 2сол |
~d7 |
£iCOS (сол / + |
ф) — |
|
|
||||||||||
/ 2©„ dEi |
сол сор |
|
j |
sin (©л |
? - f ф) = 4яюл Р х cos (Шд t + |
ty). |
(6.63) |
|||||||||
Собирая |
члены |
|
при cos сол t |
|
и sin сол |
имеем |
из (6.63) |
|
|
|||||||
cos сол / \ cos ф [ К — © л ) |
|
-—2иа л |
|
|
|
|
dE-i |
|
(Op ш л |
|
|
|||||
|
d t |
|
|
|
|
|
£xj эіпф— |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
— 4ясол Р х cos ір| + sin сол ^ j |
— sin ф |
Ир—»3 —2©д |
|
|
||||||||||||
|
/ |
|
|
dE-i |
(On (On |
\ |
|
|
|
1 |
1 = 0. |
(6.64) |
||||
— соэф f 2 © J I - ^ + - ^ - £ |
1 j + 4n©SP1 sin |
|
||||||||||||||
Равенство (6.64) может удовлетворяться лишь тогда, |
когда ко |
|||||||||||||||
эффициенты |
при cos©,,, / и sincöjj^ |
тождественно |
равны нулю, |
т. е. |
||||||||||||
|
|
cos ф |
(со* — сол) — 2©л |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~d7 |
|
|
|
|
|
|
|
(dEdbi-i, |
|
1 |
сор(Dp |
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.65) |
|
( dt |
|
2Qp |
Ex) sin ф —4ясо;, Picosij? = 0, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
•sin ф |
(©•— со I ) — 2 © л |
^ |
|
|
|
|
|
||||||
|
-2©„ I - — + - ^ - £ |
х |
] cos ф + 4я©л sin іу> = 0. |
|
(6.66) |
|||||||||||
|
|
|
dt |
|
2Qp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
174
Умножим |
|
равенство |
(6.65) |
на coscp, а равенство (6.66) |
на |
|||
— sin ф, затем |
|
сложим |
их и поделим полученный |
результат |
на |
|||
2(ОлЕ1. |
|
|
получим: |
|
|
|
||
В результате |
|
|
|
|||||
|
|
|
at |
= |
( с о р - с о л ) - 2 л с о л - ^ с о 5 ( а | ; - ф ) . |
(6.67) |
||
|
|
|
|
Ех |
|
|
|
|
При выводе |
равенства (6.67) мы воспользовались |
также близо- |
||||||
стью cùp и шл |
|
|
гсали |
|
|
|
||
и записали |
|
|
|
|||||
|
|
|
СОл |
( Ш Р — Ш л ) |
(Cûp + Шл) |
|
|
|
|
|
|
^сол |
|
2ш л |
р |
|
|
Умножая |
равенство |
(6.65) на sin ф, а (6.66) на cos <р, складывая |
||||||
их и деля полученный результат на 2сол , получаем: |
|
|
||||||
|
|
dE, |
|
со п |
|
|
|
|
|
— |
= - - ^ Е х + 2шл?х&т($-Ч>). |
(6.68) |
|||||
Обратимся ко второму уравнению (6.59). Будем действовать точно так же, как и по отношению к первому уравнению этой системы. Под-
ставляем |
в него выражения (6.61) и (6.62), причем в |
составляем |
||||
члены |
с точностью до первого |
порядка включительно, а в 2у2 |
|
|||
члены |
только нулевого порядка малости. |
Тогда |
|
|
||
- 2 с о л |
^ Р х cos (шл t + у) - 2сол ( - ^ і - + |
ѵ2 Pi ) sin (а>д t + |
= |
|||
|
|
= — |
©л ANEt cos ((йд / + ф). |
|
(6.69) |
|
Собирая члены при cos (ùnt и sin о»л/ и приравнивая коэффициенты при них тождественно нулю, получаем:
— 2 с ° л р і ^ совф—2©! ( - ^ - + Ï 2 P i ] |
sin -ф + |
|
2 1 d | г сод Д А ^ cos ф |
_Q |
^ ^ |
2 ш л Р і - ^si n г|) — 2сол / _ і 4 - Ѵ а р ^ cos 1 |
л ^ |
ï = 0 . (6.71) |
Умножая равенство (6.70) на —cos ïj>, а (6.71) на sin г(>, склады вая их и деля полученный результат на 2©.,?!, имеем:
1=Ѵ-^тС03(11,-ф)- |
( 6 - 7 2 ) |
175
Умножая теперь равенство (6.70) на sin г|), а (6.71) на cos гр, скла дывая их и деля результат на 2<ал, получаем:
dP |
i = — y 2 Px + |
L sin (яр—Ф). |
(6.73) |
rf |
Рассмотрим последнее уравнение системы (6.59). В левой части его стоят члены, медленно меняющиеся во времени, а в правой — произ ведение членов, содержащих высокую частоту. Используя вид реше ния (6.60) и первое равенство (6.62), взятое с точностью до членов ну левого порядка, получаем, что правая часть последнего уравнения системы (6.59) равна:
|
d£P |
2 ю л Pj. Ех cos (сол t + ср) sin (сол t + -ф) •• |
|
|
dt |
Ш2і |
|
2юл |
sin (гр—ф)+5Іп (2сол t + ф + г|>) : |
^ S i n ( ^ — ф ) , |
|
|
|||
где мы приняли |
<дл « |
со21 и пренебрегли быстро осциллирующим чле |
|
ном sin (2сол^ + |
ф + |
г|)). |
|
Следовательно, |
последнее уравнение |
системы (6.59) |
принимает |
вид |
|
|
|
Г - ^ |
+ 7 і ( ^ - А А / 0 ) = |
sin (яр-ф). |
(6.74) |
Из полученных нами уравнений (6.67), (6.68), (6.72), (6.73), (6.74) видно, что все они зависят от разности фаз между полем и поляриза цией (ф — ф), а не от фаз vjj и ф в отдельности. Поэтому введем новую
переменную Ф = г|з — ф. Уравнение для получается вычитанием правых и левых частей уравнения (6.67) из правых и левых частей
уравнения |
(6.72): |
|
|
|
|
|
|
а |
ф |
I |
\ I / \ à I 2 AME, , 0 |
Р і \ |
со 5 |
^ |
, с П |
- = К - с о р ) + ^ і - Х - ^ + 2 я Ш л |
|
Ф . |
(6.75) |
||||
Таким образом, поведение квантового генератора описывается урав нениями (6.68), (6.73), (6.74), (6.75) или следующей системой:
dt 2<3p Е1-1-2ЖШД р ^ і п ф ,
dt |
- V 2 P 1 |
, M l 2 ANEX |
sin Ф, |
|
|
|
% |
|
|
(6.76) |
|
dW |
|
|
|
|
|
— V i (b.N—AN0) — - ^ - |
sin Ф, |
|
|||
dt |
|
||||
|
|
|
|
|
|
d<D |
|
I d | a kNEx |
-2ясо. |
cos Ф. |
|
dt |
|
|
|
||
|
ÄPX |
' |
" £ 1 / |
|
|
Система уравнений (6.76) описывает как стационарные, так и не стационарные явления в генераторе.
176
Подчеркнем, что вывод системы уравнений (6.76) был в сущности основан на том, что при взаимодействии электромагнитного излучения с системой энергетических уровней отчетливо проявляются две вре менные шкалы: одна связана с периодом СВЧ или оптических колеба ний, другая — с изменением энергетических и фазовых характеристик системы и определяется временами релаксации, а также характерным временем Та перехода частиц с уровня на уровень под влиянием элек-
тромагнитного поля. Время перехода равно Ти = -^, где Q' — ча стота перехода частиц с уровня на уровень под действием электро магнитного поля, вошедшая в формулу (1.99). То, что период СВЧ или оптических колебаний много короче времен релаксации и величины ТП1 позволяет выделить медленно меняющиеся по сравнению с перио дом СВЧ или оптических колебаний амплитуды Ег, Рг, AN и Ф и на писать для них систему (6.76).
§ 6.4. Кинетические, или скоростные, уравнения
Часто вместо строгих уравнений типа (6.54)—(6.58) или системы уравнений (6.76) в квантовой электронике используются более про стые, так называемые к и н е т и ч е с к и е , или с к о р о с т н ы е , уравнения. Если (і) — плотность фотонов в резонаторе, a AN(t) — разность населенностей рабочих уровней, то кинетические уравнения имеют вид:
dt |
- m + D^NN*, |
(6.77) |
Qp |
|
|
а Ш |
y1(AN0~AN)~2D1ANm. |
(6.78) |
dt |
|
|
Кинетические уравнения связывают между собой плотность фото нов в резонаторе и разность населенностей рабочих уровней. Обсудим эти уравнения более подробно. Уравнение (6.77) описывает изменение
плотности фотонов в резонаторе как функцию времени; |
это |
изменение плотности фотонов в единицу времени. В правой части урав нения стоят два члена. Первый член — ^ 7Ѵф определяет уменьшение
плотности фотонов в резонаторе в единицу времени за счет различного рода потерь. Это уменьшение пропорционально плотности фотонов
в резонаторе JV*. Коэффициент пропорциональности ^2 постоянен;
иногда |
вводят величину т р е з = |
— время жизни фотона в резонато- |
|
|
|
СОр |
(6.77) записывает- |
ре. Через нее первый член правой части уравнения |
|||
ся как |
дгФ. Второй член правой части уравнения |
(6.77) описывает |
|
|
т рез |
|
|
увеличение плотности фотонов в резонаторе за счет |
индуцированного |
||
|
|
|
177 |
излучения и поэтому стоит со знаком «плюс». Увеличение плотности фотонов в единицу времени за счет индуцированного излучения про порционально плотности фотонов в резонаторе и разности населенно стей рабочих уровней. Коэффициент пропорциональности обозначим Dx. Отметим связь между введенным в гл. 1 коэффициентом кванто вого усиления и коэффициентом Dx, а именно: G =
При записи уравнения (6.77) мы также считали, что вклад спонтан ного излучения в когерентное излучение в резонаторе генератора мал, и не ввели члена, описывающего влияние спонтанного излучения на изменение плотности фотонов в резонаторе.
Уравнение (6.78) описывает изменение разности населенностей
- |
„ |
dAN |
рабочих |
уровней в единицу времени — з а счет трех процессов. |
|
Первый |
член —yx AN = — — , |
где т — время релаксации, опре |
деляет уменьшение разности населенностей за счет релаксационных процессов. Второй член y-^ANo = описывает увеличение разности
населенностей за счет накачки. Здесь AN0 — разность населенностей, создаваемая источником накачки в единицу времени. Член, описываю щий увеличение разности населенностей, часто записывают в виде одной константы, в данном же случае он записан в такой же форме, как член, описывающий изменение разности населенностей за счет релаксацион ных процессов. Наконец, третий член правой части уравнения (6.78) описывает уменьшение разности населенностей за счет индуцирован ного излучения. Этот член отличается от последнего члена в уравне нии (6.77) лишь знаком и множителем 2. Знак «минус» показывает, что индуцированное излучение уменьшает разность населенностей. Мно
житель 2 появляется вследствие того, |
что |
в двухуровневой |
системе |
рождение одного фотона происходит |
при |
переходе одной |
частицы |
с верхнего уровня на нижний; при этом населенность верхнего |
уровня |
||
уменьшается на единицу, а нижнего — увеличивается на единицу. В результате разность населенностей при рождении одного фотона меняется на 2. Если имеются какие-либо другие уровни, на которые частица быстро переходит с нижнего рабочего уровня, так что этот нижний уровень можно всегда считать пустым, то рождению одного фотона будет соответствовать уменьшение разности населенностей на единицу, и множитель 2 в последнем члене уравнения (6.78) ставить не нужно. Так будут написаны кинетические уравнения в главе о полу проводниковых квантовых генераторах.
Кинетические уравнения в отличие от строгой системы уравнений не содержат никакой информации о фазовых соотношениях, хотя по следние могут оказываться существенными, прежде всего при описа нии различных нестационарных процессов в квантовом генераторе. Тем не менее кинетические уравнения позволяют получить другую ценную информацию. Например, эффект насыщения, разобранной нами в рамках уравнений Блоха, можно увидеть в уравнении для изменения разности населенностей (6.78). Действительно, из уравнения (6.78)
178
