Файл: Орлов В.С. Проектирование и анализ разработки нефтяных месторождений при режимах вытеснения нефти водой.pdf

Скачать файл (15,90Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 219

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

М о да или величина наиболее вероятного значения п а р а м е т р а определяется дифференцированием уравнения (V.1) и приравни ванием первой производной нулю.

Обозначим в (V.1):
		г + ' . ) » • » • = Л -				< Ѵ ' 5 >
Тогда	в результате	дифференцирования			(V.1) имеем:
	dx		X	ß	- О,	(V.6)
	dx		X	ß
откуда
		*max = klt.	в =	a ß .		(V.7)
Д л я	практических	расчетов	обычно		используют	неполную

гамма - функцию, которую получают введением замены г = — .

Плотность вероятности неполной гамма - функции

в ы р а ж а е т с я

следующим

уравнением:

у (а) (2 )

г" е ~ г .

(V. 8)

' w

Г ( а +

Д л я неполной гамма - функции составлены таблицы,

что суще

ственно облегчает использование гамма - функции д л я

практиче

ских

расчетов.

новой переменной z имеет вид:

Интегральный закон

д л я

F(z)=[

1 .

e~z dz.

(V.9)

Г ( а + 1 )

Гамма - распределение является наиболее общим

выражением

вероятностного

распределения

п а р а м е т р а .

связи

этим она

достаточно

широко используется

Т а т Н И Л И н е ф т ь ,

в Гипровостокнефти

и других Н И И

при стати

стической обработке исходных данных о проницаемости и расчетах

процесса обводнения		неоднородных пластов.
§ 2.	ПРИМЕНЕНИЕ	МЕТОДОВ	МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
ПРИ	ОБРАБОТКЕ ИСХОДНЫХ		ДАННЫХ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

П р и проектировании и а н а л и з е разработки нефтяных место рождений в последнее десятилетие широко используются методы математической статистики и теории вероятностей. Этот матема


тический а п п а р а т	применяется в основном				при	построении рас
четных схем — моделей неоднородных			пластов .
Элементы теории		вероятностей	достаточно			полно	и з л о ж е н ы
в книге Е. С. Вентцель		[61]. П р и л о ж е н и е		ж е методов			математиче
ской статистики	и теории вероятностей			к	решению		инженерных

d09

Отсюда следует, что если F(xt)—интегральная пределения непрерывной случайной величины х, то

Следовательно, вероятность того, что значение случайной вели чины X заключено межд у х\ и х2, равна разности значений функ ции распределения, вычисленных в этих двух точках, т. е.

— F ( x [ ) \ аналогично будем иметь Р { х > Х \ ) =

Р(xl<^x^Zx2)

= F(xz)

функция рас

= Р ( Х ^ Х І ) .


з а д ач проектирования разработки рудных и нефтяных									месторожде
ний в	наиболее полной			форме		дано в монографиях		П.	А. Р ы ж о в а
и В. М.		Гудкова	[155]	и	3.	К. Рябининой [37].		С	достаточной
степенью сложности математических положений и в доступной										д л я
инженеров форме элементы теории вероятностей								и	математиче
ской статистики			изложены		в	книге американских		исследователей
Г. Хана и С. Ш а п и р о «Статистические модели в инженерных										за
дачах»	[171], посвященной				в	основном	функциям	распределения.
И з л о ж и м		некоторые положения книги					[171], которые, на			наш

взгляд, целесообразно применять при решении з а д а ч проектиро вания разработки нефтяных месторождений.


Некоторые	положения		математической			статистики,
необходимые		при	обработке	исходных		данных
Р я д параметров		неоднородных нефтяных			пластов (пористость,
проницаемость и	др.) представляется			в виде	множества значений,

полученных по керновым данным или геофизике. Множество

значений этих	параметров	можно	назвать пространством выборок
эксперимента,	а к а ж д о е из	этих	значений — случайной величиной.

Так как случайная величина является функцией, определенной на пространстве выборок, значениям случайной величины можно поставить в соответствие определенные вероятности. Интегральная функция распределения F(xi) непрерывной случайной величины х показывает вероятность того, что случайная величина х не пре вышает некоторое заданное значение х*, т. е. F(хг)

=\ ~ F ( X I ) .

	MmFixù		= F{—		оо) =	0;
		А* •->•<»
		HmF(x,)	=	F(<x>) =		1;
F(xi)^Q	д л я всех A-,-;	F (ХІ)	~^F	(XJ) ,	если х\~>х-3.
К а ж д о й случайной		величине соответствует некоторое распре
деление,	описывающее	вероятностное			поведение рассматриваемой

системы. Обычно распределение определяется одной или большим числом постоянных, называемых параметрами , которые характе ризуют центр распределения, масштаб и формулу кривой рас пределения.

Наиболее известной характеристикой, центра		распределения
является м а т е м а т и ч е с к о е	о ж и д а н и е , часто называемое
арифметическим средним, а	иногда — средним	значением или

101

просто средним. Если х — непрерывная случайная величина с плот ностью распределения f(x), то ее математическое ожидание опре деляется как

			оо
		Е (х)	= J xf (х) dx.
			•—оо
	Д р у г о й характеристикой центра			распределения является		сред
няя	точка,	или м е д и а н а .	Д л я	плотности	распределения	f(x)
непрерывной		случайной величины,		медианой	является т а к а я	точ
ка	L , что	J00 f(x)dx=
		J00 f(x)dx=		0,5.

Таким образом, медиана равна такому значению случайной величины, которое делит пополам п л о щ а д ь под кривой плотности распределения .

М о д а — третья характеристика центра распределения . Мода непрерывной случайной величины равна значению, соответствую щ е м у максимуму плотности распределения (если имеется один

ма к с и м у м ) .

Кр о м е центра распределения, часто бывает необходимость •описать рассеяние, симметрию и островершинность распределения . Эти характеристики м о ж н о кратко представить с помощью момен тов распределения . Распределение является полностью заданным, •если известны все его моменты. Однако многие распределения

могут

быть

полностью описаны с помощью четырех

моментов.

П е р в ы й

момент — центральный

всегда равен пулю, т. е. М\ =

= 0,

так как

М\ = Е[х

— М\] = Е}

(М[)

=М[

— М\ =^0

(М,

— о б о з н а

чает

математическое

о ж и д а н и е

Е(х)

случайной

величины

х).

В т о р о й

момент

относительно

среднего

является

показателем

рассеяния .

Он

называется

дисперсией

и определяется,

как

(х) = Е

[Х — МІ]2

со

(х

(х)

dx.

М2

сг2

—

A l i )

—00

К в а д р а т н ы й

корень

дисперсии

называется

средним

квадрати -

ческим отклонением и обозначается символом

о.

Т р е т и й

момент

относительно

среднего

связан

асиммет

рией

распределения

определяется

как

М° = Е(х—

MJ)3 .

Д л я

•симметричного

распределения

М 3

= 0.

Величина

j/^ßi =

- ^ 2 -

изме-

р я е т отношение

симметрии распределения к мере рассеяния.

Этот

нормированный

показатель

позволяет

сравнивать

асимметрию

.двух

распределений,

имеющих различный

масштаб .

Ч е т в е р т ы й

момент относительно

среднего

связан

остро

вершинностью

распределения

называется

эксцессом.

Он

опре-

102

дел я ется	как	Мц = Е(х	— Л1\|)4 ; величина ß2= — является отно-
сительным	показателем		эксцесса.
Н а и б о л е е		известной	статистической моделью является нор
мальное, или		гауссово,	распределение .

Иногда рассматриваются нормально распределенные случайные величины, д л я которых известны лишь абсолютные значения откло нений относительно среднего — в этом случае принято говорить

•о полунормальном распределении (распределение существенно по ложительных величин) .

Г а м м а-распределение		используется	д л я	описания	случайных
еличин,	ограниченных с	одной стороны.		Б е т а - р а с п р е д е л е н и е
ш с ы в а е т	случайные величины, которые		изменяются в		некотором
.ггервале.	Логарифмически	нормальное	распределение		описывает

лучайную величину, логарифм которой распределен по нормаль -

-—тому

закону

п а р а м е т р а м и

и 0 . Сведения

о распределениях

•риведены в табл . 1.

Иногда

инженер

не

имеет достаточно н а д е ж н ы х

теоретических

к н о в а н и й

д л я

выбора

той

или

иной

статистической

модели. Он

получает экспериментальные данные и, используя

эмпирические

методы, д о л ж е н

сделать

выводы

относительно

изучаемого

явле-

шя.

Иногда

достаточно

представить

имеющуюся

информацию

виде гистограммы

и,

возможно, несколько сгладить

ее от

руки,

других

случаях

бывает

ж е л а т е л ь н о

представить

данные

фор-

іально через эмпирические распределения . Это проводится в ре

зультате, следующих причин.
1.	Ж е л а н и е достигнуть объективности. П р и	сглаживании	одних
J 1 тех	ж е экспериментальных зависимостей	вручную у	разных

чодей - будут получаться различные кривые. Применение эмпири-

еского распределения исключает такую произвольность.
2. Необходимость автоматизации процесса исследования				дан -
ых.: Когда аналогичные совокупности		данных д о л ж н ы	аналпзи -
оваться	часто и особенно, когда требуется выполнять		пнтерпо-
- іяцию	в нескольких заданных точках,	может оказаться		более

экономичным вместо подбора кривых распределения вручную псользсвать быстродействующую вычислительную машину.

3. Необходимость знать параметры распределения. Оценки параметров эмпирических распределений нередко дают значитель ную обобщенную информацию и могут использоваться при ин терполяции.

При подборе распределений д л я экспериментальных данных было предложено много различных методов. Наиболее распро страненным из них является применение нормального распреде ления. Н о р м а л ь н о е распределение дает приемлемое описание многих (хотя и не всех) реальных явлений. Аналогично гамма - распределение и логарифмически нормальное распределение ис пользовались д л я описания случайных величии, ограниченных с одной стороны, так же, как бета-распределение, для описания

103

случайных величин, ограниченных сверху и снизу. Хотя эти							модели
приводят		к	распределениям самой различной формы, все				ж е они
не д а ю т		той	степени обобщения,	которая	часто бывает необходима.
Это	положение иллюстрируется			рис.	18, где	показаны	области
в плоскости			(ßi и ß2 ) для различных		распределений — нормаль
ного,	бетараспределения (частный случай — равномерное						распре
				деление),		гамма - распределе -

Ä	•
	1 r x z r - . г ; - . - - , , , ^ - . , . л - . ^ ^ . л ^ 7 і


' м н е (частный				случай — экс-
' П О н е н ц и а л ь н о е				распределе
ние) и логарифмически нор
мального, где				ßi —	к в а д р а т
нормированного				показателя
асимметрии,			a ß? — нормиро
ванный		показатель				остро
вершинности. Сюда						входят
т а к ж е /-распределение						Сгыо -
дента — симметричное						рас
пределение,			сходящееся				к
нормальному, когда его па
раметр (число степеней сво
боды)		произвольно				увели
чивается.
Д л я		любого		нормально
го	распределения					ßi =	0;
ß 2 =	3.	Поэтому		на	рис.		18
это распределение представ
лено	одной		точкой,		так		ж е
ß, как	экспоненциальное					рас
пределение. Это				объясняется


Рис.	18 Номограмма для		оценки	степени соответ-		J	П Э С П О Р П е п е -
ствия	фактического	вероятностного			распределения		H a u l K ' — k c . / i c
параметров пласта		теоретическому			распределению .	ці-ІЙ ц е т параметра		форМЫ II
					поэтому они имеют един
ственную форму. Гамма - распределение, логарифмически								нормаль
ное	распределение		и	/-распределение		Стыоденга	представлены

кривыми. Таким образом, гамма - распределение можно подобрать

для веех значений			ß, и ß 2 , л е ж а щ и х вблизи	средней кривой.
З а м е т и м	т а к ж е ,	что	кривая д л я гамма - распределения находится
вблизи	кривой	д л я	логарифмически нормального	распределения .

Это помогает объяснить тот факт, что эмпирические данные часто могут быть одинаково хороши (или одинаково недостаточно), описаны как гамма - распределением, так и логарифмически нор мальным распределением. Бета - распределение, имеющее два пара метра формы, занимает на рис. 18 определенную область и, следовательно, оно является более общим, чем любое другое рас пределение. Однако б о л ь ш а я область значений ßi и ß 2 не охвачена ни одним из рассмотренных ранее распределений. С помощью номограммы можно определить семейство распределении, позво ляющих описать эмпирические данные д л я всей области, изобра женной на рис. 18.

104

Смотрите также файлы

1 Билет Биохимия наука, изучающая вещества, входящие в состав живых организмов, их превращения, а также взаимосвязь этих превращений с деятельностью органов и тканей..pdf

Петров И.К. Технологические измерения и приборы в пищевой промышленности учебник.pdf

Отчет по лабораторной работе 7 По дисциплине химия наименование.docx

Объектноориентированное программирование на Python.docx

Ст таамдарыны асиеті мол, рі денсаулыа пайдалы.docx

Файл: Орлов В.С. Проектирование и анализ разработки нефтяных месторождений при режимах вытеснения нефти водой.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно