Файл: Лебедев И.В. Элементы струйной автоматики.pdf

К числу определяемых критериев относится

и критерий

Эйлера,

пред­

ставляющий собой отношение сил

давления к

конвективным

силам инерции.

В этот критерий входит давление

р

в точке. Но в уравнениях движения давле­

ние фигурирует под

знаком производной. Следовательно, перепад давления,

а не его абсолютная

величина, существенны для течения несжимаемой

жидко­

где

и

— некоторые характерные

скорость

и

линейный размер

(64)

иа

I

потока,

определяемые по условиям однозначности; и,-— проекция скорости

на ось г;

Пі; П 2...— параметрические критерии;

х/1; у/1

zjl

— относительные

координаты

;

рассматриваемой точки потока.

St выпадает из

рассмотре­

В

случае установившегося течения критерий

таких

единиц измерения обычно принимаю тся: длина L,время

Т,масса М или

сила

F. К о вторичным величинам относят такие, разм ерность

которых

вы ра­

ж ается комбинацией размерностей нескольких первичных величин

или

р а з­

мерностью одной первичной величины в степени, отличной от единицы.

Р а з ­

мерность любой вторичной величины м ож но вы раж ать единственной

ком бина­

первичных

приняты размерности L, Т и

М, то разм ерность

лю бой

вторичной

величины f м ож ет быть записана в следую щ ей общей форме:

[Л =

LaTbMc,

(65)

где а, 6 и

с— некоторые константы,

которы е могут

быть

равными лю бому

действительном у числу. Так, например, для скорости а =

1, 6 =

— I,

с =

0; для

плотности

а =

—3, 6 = 0, с= 1; для

объем а а= 3,

6 =

0,

с =

0.

Ч асто для

сопоставления и обобщ ения результатов или

сокращ ения

числа

переменных

использую т безразм ерны е

величины. Они

вклю чаю т в

себя

такие

комбинации

лю бых разм ерны х величин,

при которых

все размерности

сокра­

щ аю тся.

Наконец, в

уравнения, описываю щ ие

процесс, могут

входить

размерные

бодного падения g,разм ерность которого равна L /P .

Основой анализа разм ерносіей

является

«я-теорем а». С ущ ность

ее состоит

в следую щ ем. При

исследовании потока рассм атриваю т один

или

более

зав и ­

симых парам етров,

которы е являю тся

функцией

ряда

независимых

парам ет­

ров. О бозначив зависимый парам етр через Лі,

а независимые — через

/Ь ,

Л 3,...

Ат,запиш ем:

Л j = f (Л 2, Д 3, . . . . А т ) .

Эта ф ункциональная зависим ость м ож ет

быть зам енена

эквивалентны м

соотнош ением

ф (Л ,,

А2,Л 3,

. . . ,

Л т ) =

0-

(66)

д -теорем а

устанавливает, что если

т разм ерны х

парам етров

связаны

со­

отнош ением вида

(66), то сущ ествует

эквивалентное

соотнош ение

м еж ду

п

безразм ерны ми парам етрам и я :

ф ( я ,,

я 2. . .я „ ) =

0,

(67)

причем число

п равно т — k, где

k— наибольш ее число

таких

парам етров,

содерж ащ ихся

среди парам етров Аі, А2,.... Л,„, которы е

не

могут

быть

объ е­

динены в какой-либо безразмерны й

комплекс. Ч ащ е всего k равно

м инималь­

ному числу независимых размерностей,

необходимых

для

образования

р а з­

мерностей всех парам етров А,А2,

Ат.Если

указанное

число

обозначить

через г,то в общ ем случае k^

г[25].

В качестве иллю страции применим

я-теорем у

для

нахож дения

безразм ер ­

ных комплексов, определяю щ их

установивш ееся течение

ж идкости.

В общем

случае на установивш ееся течение

ж идкости

оказы ваю т

влияние

три

следую ­

щ ие группы парам етров:

1. Х арактерны е геометрические размеры потока а, 6, с, d.

2. Кинематические и динамические

характеристики

потока,

например,

средняя скорость ѵ (или расход

Q),перепад давления Дри т. д.

3. С войства ж идкости: объемный вес у. плотность

р,

динамический

коэф ­

фициент вязкости

р, поверхностное

натяж ение

а и модуль

объемной

упру­

гости е.

М еж ду этими

парам етрам и

сущ ествует

в

общ ем

случае

ф ункциональная

зависимость:

/(а , 6, с, d, . . . .

в, Др, у,

р,

р,

а, е) =

0.

(68)

Н етрудно

убедиться,

что

разм ерность

любой

величины,

входящ ей

в у р ав ­

нение

(68),

м ож ет

быть

образована

из независимых размерностей L, Т и /VI,

т. е. k= 3.

С ледовательно,

вместо

соотнош ения

(68),

содерж ащ его

11

р а з ­

мерных парам етров, мож но

получить эквивалентное

соотнош ение,

вклю чаю щ ее

безразм ерны е

парам етры

л,

число

которых

на

3

меньше

числа

исходны х

р а з­

мерных парам етров:

ф ( я „

л , ...........я 8) =

0.

(69)

Д л я

образования парам етров

л

выберем

из

разм ерны х

величин

три,

р а з­

мерность

которы х

вклю чает

размерности

L,

Т и

/И. В качестве таких величин

удобно принять длину а,скорость

и и

плотность

р. Т огда безразм ерны е ком п­

лексы

запиш утся

[44]:

л , = ax'v'J[pz'b~

л 2 =

а '-о ^ ’р ^ с - 1 ;

л 3 =

ах,оУзргзсі~ 1;

л 4 =

ах,иу<рг<(Др)_ 1;

л 5 =

aXbv,JpZix~~1;

л 6 =

a A'l,o!/,pZ|,):i— 1;

я 7 =

а^’і^ ’р ^ о - 1 ;

л 8 =

ах,ѵу’р г“е — 1.

Неизвестны е

показатели

.ѵ,-,

//,-, г,-

(і

=

1,

2,

.... 8)

долж ны

быть

такими,

чтобы

при

подстановке

размерностей

величин,

входящ их в

комплексы л ,

они

были

безразмерны ми. С ледовательно,

для

первого

комплекса л,

ax‘v,J‘pz'b~l=

L0T°M°

или

Lx{LT~l)y'(ML-z)z4-[= L°T°M°.

П риравнивая

показатели

степени при

одинаковы х разм ерностях, получаем

три линейных уравнения:

Х \+ Уі — Зг, — I = 0 ;

— г /,= 0;

г , = 0 .

И з этих

уравнений

находим

.vs = 1 ,

у\=

0,

z\ = 0.

Таким образом , Лі =

= alb.Аналогично

мож но

найти

л 2 =

о/с

и

Лз =

d/с.К омплекс

л 4 определяет­

ся следую щ им

образом :

п 4 =

а ^ и ^ р ^ Д р ) - 1

=

L°T°M°;

Lx*(LT-')y'(ML~3)z'(ML-'T-2)-1=

х 4 + i/4 — Зг4— 1 = 0;

— 1/4 +

2 = 0;

г 4- І

=0 ;

*2= 0;

Уі= 2;

z4 =

я 4

ро2

1

Др

Eu

’

т. е. комплекс

я 4

представляет собой

величину,

обратную

числу

Эйлера. С о ­

ставляя и

реш ая

системы

линейных

уравнений

относительно

неизвестных

показателей

степени х,,уі и

г,-,

м ож но

получить

значения

и остальны х

без­

разм ерны х комплексов:

Яз =

о 2

;

ЗТб

—

ѵа

0Т7

ѵ2а

и л 3

о2

о /p

е /р '

ga

собой

число

Ф руда,

а

комплекс

л 6 — число

Комплекс

я 5

представляет

V

а. М ож но

Рейнольдса,

составленны е

по

характерном у

линейному

разм еру

показать,

что

комплекс я 7,

назы ваем ы й числом В ебера

(W e), является мерой

отнош ения

конвективны х

сил

инерции

к

силам

поверхностного

натяж ения.

Знам енатель в

комплексе

я 8

вы раж ает

квад р ат

скорости

распространения

упругих

возмущ ений

(скорости

зв у к а). Комплекс

л 8 назы вается

числом

Коши

(С а) и

представляет

собой

отнош ение

конвективных

сил

инерции

к

силам

уп ­

ругости.

В качестве зависимой переменной целесообразно

вы брать

комплекс

я 4,

поскольку он вклю чает

в

себя основные

характеристики

самого

потока. Оче-

видно, безразмерны й перепад давления

Др

(число

Э йлера)

в

общем

случае

g

является

функцией

безразм ерны х

геометрических

парам етров

и

динамических

критериев, т. е.

Е й =

/

/ а

а

а

Fr,

Re,

W e,

\

(70)

( -----,

------,

— .............

C a ) .

\ b

c

d

)

Дополнительно

к

критериям

F r и Re,

полученным

ранее

из

подобных

преобразований

уравнений

Н авье-С токса, в

зависимости

(70),

фигурирую т

еще два критерия W e и Са. Они не были получены

из указанны х

преобразо­

ваний,

потому

что

в

дифференциальны е

уравнения

Н авье-С токса

не

входят

силы поверхностного

натяж ения

и, кроме

того, эти

уравнения

в

виде

формулы

(29) справедливы только для несж имаемой ж идкости.

И з

зависимости

(70) следует,

что

в

общем

случае безразмерны й

перепад

давления

при течении

ж идкости,

вы раж аем ы й

числом

Эйлера,

является

слож ной

функцией

больш ого числа парам етров.

Д л я упрощ ения

аналитичес­

кого рассмотрения во внимание принимаю т

лиш ь

сущ ественно

влияю щ ие

п а­

раметры . Так, например, влияние критериев

Ф руда,

Рейнольдса

и

Вебера

зам етно лиш ь тогда, когда их величины относительно

малы.

Если

при движ ении

газа

плотность его

изменяется незначительно, то кри ­

терий С а

вы падает

из рассмотрения. С ледует

отметить,

что критерии

Ф руда,

В ебера

и

Коши

вы раж аю т

квадраты

отнош ения

действительной

скорости

по­

тока к скоростям распространения в

ж идкости

соответственно

гравитацион ­

ных, капиллярны х и упругих волы. П оэтому

] / F r =

V

V

У

М — ---------------

V ga

о

p '

Отнош ение

скорости

потока

к

скорости

распространения

упругих

волн

(звука)

в нем назы вается числомМаха М.

И так,

общ ая схема

реш ения

задачи

об

отыскании безразм ерны х

перемен­

ных методом анализа размерностей заклю чается

в

следую щ ем. П ервоначаль­

но составляется список (перечень) величин,

сущ ественны х

для

рассм атривае­

мого процесса. Н а

основе

я-теорем ы

определяется

число безразм ерны х пере­

менных, которое, очевидно, равно разности

м еж ду

общим

числом

величин,

входящ их

в список,

и числом

первичных

величин. И з

списка

в

качестве

основ­

ных вы бираю тся несколько

переменных,

размерности которых

вклю чаю т

все

размерности первичных величин, а число их равно числу первичных

величин.

Затем составляю тся безразм ерны е переменные (комплексы ).

Успех ис­

пользования метода

ан али за размерностей

сущ ественно зависит

от правиль­

ности составления

первоначального списка

определяю щ их величин

.4

движ ении

реальная ж идкость всегда

расходует энергию на

преодоление р а з ­

личных гидравлических сопротивлений. Эти сопротивления

мож но классиф и­

цировать

по роду действую щ их сил и

пограничной геометрии. По роду дейст-