ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 262
Скачиваний: 10
В случае ламинарной струи несжимаемой жидкости уравнения изобарическо го пограничного слоя записываются:
для плоской струп в прямоугольной системе координат
дих |
_ |
дах |
д~их |
дих |
"fl" |
дии |
п |
„ „ „ |
их .. |
4- ut/ |
^ |
— ѵ ^ п |
дх |
1 |
— О, |
( ЮЗ) |
|
дх |
|
ду |
ду* |
|
ду |
|
|
для осесимметричной струи в цилиндрической системе координат:
дих |
дих |
д_ |
дих |
д |
(ихг)+— (иуг). (104) |
|
и,- |
дх |
+ иг- |
дг |
дг |
дх |
|
|
дг |
ду |
||||
Следует отметить, что задачи, связанные с распространением затопленных струн, могут решаться применительно к двум различным схемам струйного пограничного слоя. Согласно одной из этих схем, увлекающее влияние струипостоянной массы распространяется бесконечно далеко в толщ у окружающ ей
жидкости, т. е. толщина струнного |
пограничного слоя бесконечно |
велика. |
В любом сечении струи продольная |
скорость течения по мере удаления от ее |
|
оси асимптотически приближается к |
нулю. Поэтому указан ная схема |
получи |
ла название схемы асимптотического пограничного слоя или слоя бесконечной толщины. В другой схеме предполагается, что струйный пограничный слой имеет конечную толщину (схема пограничного слоя конечной толщ ины). Эти. на первый взгляд, различные схемы не противоречат одна другой, поскольку существенное влияние сил вязкости имеет место в ограниченной центральной области струй, где продольные скорости претерпевают значительные измене ния в нормальном к оси струи направлении. Поэтому, проводя внешние гра ницы струи по точкам, в которых продольные скорости составляют малую, наперед заданную, часть от максимальных в рассматриваемых сечениях ско ростей, можно перейти от схемы асимптотического слоя к схеме слоя конеч ной толщины.
Проинтегрируем уравнения (103), предполагая наличие асимптотического
слоя, при |
следующих граничных условиях: на оси |
струи при у= 0 справедли |
|
во иу= 0 |
ва* |
— 0 ; на бесконечном удалении |
от оси при у— °° их= 0 . |
и ду |
|||
В результате интегрирования для ламинарного плоского изобарического струй ного пограничного слоя несжимаемой жидкости находят наиболее важ ную продольную составляющ ую скорости [5]:
|
2 с2 |
|
|
(105) |
üx= -^jjä-sech% |
|
|||
|
Зх |
|
|
|
где с = 0,8255 |
0,2752 |
|
У_ |
|
V f J L |
|
|||
рѵ 1/2 |
|
рѵ2 / |
2/3 |
|
/ о — поток импульса струи в начальном |
сечении. |
сохраняется по- |
||
Поскольку в к аж дом сечении |
струи |
поток импульса |
||
стоянным, можно записать |
|
|
|
|
/п |
: = 2 р |
[ иЧу. |
|
(106) |
При тех ж е условиях для осесимметричного струйного пограничного слоя выражение для продольной составляющей скорости получается в следующем виде:
3 / 0 1 ■. (107)
8 я р х
1+
3/р 1/2 где | = 4ѵ я р
82
Уравнения (105) |
и (107) являются приближенными, так |
как они |
получе |
ны в результате решения приближенных уравнений пограничного слоя. |
|||
Точные значения |
составляю щ их скорости могут быть |
получены |
более |
сложным путем непосредственного решения уравнений Навье-Стокса без при ведения их к уравнениям пограничного слоя. Результат этого решения для продольной составляющей скорости осесимметричной струи-источника записы
вается в цилиндрической системе координат в следующем |
виде |
[9]: |
|
||||||||||
|
|
2vL |
( |
|
I — L2 |
|
|
|
|
|
|
(108) |
|
|
|
“■‘ “ х/ТТпЧ1.4" ( |
Y T + r f - L )2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
L— безразмерный параметр, |
однозначно зависящий |
от |
характерного чис |
|||||||||
ла Re, составленного по потоку импульса |
Jx струи-источника, |
кинематической |
|||||||||||
вязкости Vи плотности р; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Re = 2 |
|
Jx |
|
|
|
|
|
|
(109) |
||
|
|
|
л р ѵ 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С вязь меж ду L и Re имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( П О ) |
||
|
|
|
|
L |
1 |
1 + L |
1/2 |
|
|
||||
|
|
Re = 8 |
|
1 — L2 |
2 L2 ln |
|
|
|
|
|
|
||
|
При изменении числа Re от |
|
нуля |
до |
бесконечности |
параметр L меняется |
|||||||
от нуля до единицы. С труям с малыми значениями |
числа |
Re, |
а |
следовательно, |
|||||||||
и потока импульса /* отвечают малые |
значения |
параметра |
L. Напротив, |
||||||||||
струям с большими величинами потоков |
импульса |
(т. е. при больших значе |
|||||||||||
ниях чисел Re) |
соответствуют значения параметра L |
|
1. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Струи с малым значением потока импульса условно |
называю т «слабыми», |
|||||||||||
а с |
большим |
значением — «сильными». Д л я слабых |
струй |
параметр |
L мал, |
||||||||
для |
сильных L |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принципиальное отличие в |
структуре |
этих струй |
состоит |
в |
том, |
что сла |
||||||
бая |
струя в пределе при L - s - 0 |
имеет |
значительно |
больший |
угол |
расширения, |
|||||||
чем |
сильная струя (при L - > - 1 ), |
|
т. е. |
в сильной струе наблю дается х арактер |
|||||||||
ное для пограничного слоя значительно большее изменение скоростей в попе речном, чем в продольном направлениях. Поэтому для сильных струй будут
справедливы уравнения пограничного слоя (103) |
и (104) и полученные из них |
|||||
вы раж ения (105) и (107) для продольных составляющ их |
скорости. Эти зав и |
|||||
симости могут быть получены из точных формул |
(108) |
и |
(ПО). И з |
выражений |
||
(109) и (ПО) следует, что при |
L 1 |
(Іх^-оо) |
|
|
|
|
|
L— |
32 st p v 2 |
|
|
|
( 1 1 1) |
|
3Jx |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
П одставляя вы раж ение |
(111) |
в уравнение |
(108), |
после ряда |
преобразо |
|
ваний можно прийти к зависимости |
(107). |
|
|
|
|
|
В случае турбулентной струи несжимаемой |
жидкости |
уравнения струйно |
||||
го пограничного слоя можно записать в обобщенном виде [9]: |
|
|||||
дих |
дик |
д |
___ |
___ |
|
их— — |
+ иу----- |
дх |
(u ' 2 — а ' 2) |
|
|
дх |
ду |
|
|
|
|
dp 1 д г ; |
, |
д , , . |
д , і |
||
- ~ |
+ V J Ü № ' 4 + ^ ) ] ; |
ду |
|||
(П2)
. „
= °-
Д л я |
плоской струи показатель / = 0, для |
осесимметричной j= |
1. |
|
Если |
число Рейнольдса не очень мало, то |
турбулентное |
напряжение хт |
|
во много |
рая больше вязкостных напряжений |
. Кроме того, |
для |
свободных |
6* |
83 |
струй р= const. |
Пренебрегая |
третьим членом в правой части |
первого из |
|||||
уравнении ( 1 |
1 2 ), |
их мож но записать: |
|
|
|
|||
Р Чх дих |
+ иу дих |
_1 _ |
ду |
( у |
-* |
дх (г/Ѵѵ) + |
(113) |
|
дх |
|
ду |
У1 |
|
1 т); |
|
||
Чтобы система уравнений |
(113) |
была |
замкнутой, необходимо |
установить |
||||
связь характерны х турбулентных напряжений с осредненными характеристи
ками течения. Существуют различные гипотезы относительно |
вида этой |
свя |
зи, известные как полуэмпирические теории турбулентности. |
Существо |
двух |
основных полуэмпирнческих .теорий турбулентности Буссниеска и П рандтля было изложено ранее (см. п. 2). С равнивая формулы (55) и (56) для турбу лентного касательного напряж ения, получаем вы раж ение для коэффициента турбулентного обмена 1
дих
|
|
|
|
е0 = / 2 |
ду |
|
|
(114) |
|
Д л я свободных турбулентных струй |
длина пути |
смешения |
предполагается |
||||||
пропорциональной |
толщ ине 6 |
струйного |
пограничного слоя, т. |
е. / = |
ßö, где |
||||
ß — коэффициент |
пропорциональности, определяемый |
опытным |
путем. |
П роиз |
|||||
водная дих/дум ож ет быть вы раж ена следующим образом: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
дих |
ихм |
|
|
|
|
где и х .ч — максимальная скорость, т. е. скорость на оси струн; |
|
|
|||||||
к— некоторый коэффициент пропорциональности. |
|
|
|||||||
С учетом этого вы раж ения |
зависимость (114) запиш ется |
в виде |
|
||||||
|
|
|
е0 = |
$2k5uXK= x8uXM. |
|
|
(115) |
||
Коэффициент к определяется опытным путем [5]. |
|
|
|
||||||
Ф ормула |
(115) |
известна, |
как |
«новая» |
формула |
Прандтля, |
в отличии от |
||
предложенной им ранее формулы |
(56). |
|
|
|
|
|
|||
Д л я практических расчетов |
струйных |
элементов |
предпочтительны |
наибо |
|||||
лее простые |
зависимости для продольной |
составляющей скорости. |
|
||||||
В последнее время для |
расчета свободных турбулентных |
струй |
находит |
||||||
широкое применение формула, полученная Шлихтингом для плоского турбу лентного следа [3]:
их= ихм(і— іі3/2)2 . |
(116) |
Зависимость для продольной скорости можно получить также, если пред ставить профиль этой скорости в виде полинома по степеням поперечной ко ординаты. Ограничиваясь четырьмя членами полинома, запишем:
их=а0+а]у+ а2у2+ а^у3. |
(117) |
Найдем коэффициент полинома, учитывая следующие граничные условия:
У=
У=
„ |
их= ихы\ |
дих |
0; |
— — = 0 ; |
|
|
|
ду |
б; |
их= 0 ; |
дих |
'-■ = (). |
||
|
|
ду |
При ЭТИХ условиях Ö0 = и. |
; аі= 0 ; а2= |
их м . |
|
—3 |
я 3 |
||
|
|
6 2 |
’ |
' З н а к осреднения скорости здесь и ниже опущен.
84
П одставляя значения коэффициентов в формулу (117), получаем:
|
их=ихи[1— Зг| 2 + |
2 ті3], |
|
|
||||
или в безразмерной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цх = — |
= |
1 — Зг| 2 + 2 т]3. |
|
(118) |
|||
|
ихм |
|
|
|
|
|
|
|
Если оставить не четыре, а пять членов полинома и добавить |
к гранич |
|||||||
ным условиям еще одно условие у= |
б; д2их/ду2= 0 , |
то вместо |
формулы |
|||||
(118) мож ет |
быть получена более точная |
формула [1 1 ]: |
|
|
||||
|
их= 1 — 6 |
т) 2 |
+ |
8 i f - 3 i f . |
|
(119) |
||
Формула |
(119) так же, как и выражение |
(118), |
пригодна для |
широкого |
||||
класса струйных течении, в частности, |
дл я |
плоских и |
осесимметричных зато п |
|||||
ленных струй |
как в покоящейся среде, |
так |
и в |
спутном потоке, для |
плоских н |
|||
осесимметричных следов [11]. Разница м еж ду результатами, полученными по формулам (118) и (119), незначительна, поэтому в дальнейшем используется более простая формула (118).
|
Приближенные схемы и основные расчетные зависимости для затопленной |
|||
свободной турбулентной |
струи несжимаемой жидкости. |
Согласно |
опытам, |
|
уж е |
на небольшом расстоянии от начального сечения в струйном пограничном |
|||
слое |
профили продольной |
скорости приобретают форму, |
характерную |
для ав |
томодельного течения. Поэтому в практических прилож ениях часто вместо полной схемы струи с тремя участками, используется упрощ енная схема (рис. 22, б). В этой схеме исключается из рассмотрения переходной участок. При этом вместо двух ограничивающих его сечений рассматривается одно, называемое переходным. Границы пограничного слоя принимаются линейными. Продолж ив внешние границы струи на основном участке до пересечения с ее
осью, получаем в точке 0 |
пересечения полюс |
основного участка |
|
струи. |
||||||||
Характеристики струн |
определяются при |
следующих допущениях: |
||||||||||
1 ) толщина б пограничного слоя на начальном |
участке |
увеличивается |
||||||||||
пропорционально расстоянию х от начального |
сечения струи, |
т. е. |
6 = си.ѵ, |
|||||||||
где с и — коэффициент пропорциональности. |
Согласно |
опытам |
для |
плоских |
||||||||
и осесимметричных свободных струй сн = 0,27 [3]; |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 ) толщина б пограничного слоя, отсчитываемая от оси до внешней гра |
||||||||||||
ницы струн, на основном участке увеличивается |
пропорционально |
расстоя |
||||||||||
нию х'от |
полюса 0 |
струи, т. е. б = с0х', где |
с0 |
— коэффициент |
пропорцио |
|||||||
нальности. Д л я плоских и |
осесимметричных |
свободных струй |
с<>= 0,22 [3]; |
|||||||||
3) распределение |
продольных скоростей |
в |
пограничном |
слое |
вы раж ается |
|||||||
универсальной зависимостью |
(например, формулами |
(118) |
или |
(116)), т. е. |
||||||||
их= uXMf(г|); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) статическое давление во всех точках |
струи одинаково и |
равно д авле |
||||||||||
нию в окруж аю щ ей жидкости; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) распределение скоростей в начальном |
|
сечении |
струи (на срезе сопла) |
|||||||||
равномерное, а уровень турбулентности низкий. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
М ож но |
показать, |
что |
условие 4 означает |
постоянство |
потока |
импульса |
||||||
в любом сечении струи. В произвольном сечении основного |
участка |
плоской |
||||||||||
струи поток импульса |
будет равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ Л.= |
2 р |
^ u^dy= 2 ри"’ м I" f2(r\)dy, |
|
|
|
( 1 2 0 ) |
||||
|
|
|
|
6 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
но т) = 1//б |
и поэтому dy= 6dr\. Обозначая |
|
\ / 2 (г|) с?ті = |
Fnn, уравнение |
||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
85
(120) запишем в виде
|
|
Іх—2 р и~мб Fпл. |
|
П оток |
импульса Іх долж ен быть равен потоку импульса / 0 |
в начальном |
|
сечении струи, т. е. Іх= |
/о = 2рмд у0.И з этого условия можно |
найти вы р а |
|
жение для |
максимальной |
(осевой) скорости струн: |
|
Уо
/6 Е ПЛ '
Согласно условию 2, 6 = с0А'' = л ' lg ß0, где ß0 — угол одностороннего расширения внешней границы струи на основном ее участке. Введя безраз
мерное расстояние 'x'— х'/у0,получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
( |
121) |
|
|
|
|
|
|
|
“о |
|
VT' tg ßoE™ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Цд: м |
____________ __________ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Если |
принять закон распределения продольных скоростей в пограничном |
|||||||||||||||||||
слое |
в виде |
вы раж ения |
(118), |
то |
значение |
постоянной |
оказывается равным |
||||||||||||||
0,37 |
Считая, |
что |
с0= |
tg ß0 = |
0,22, |
получаем |
формулу |
(121) |
в |
следующем |
|||||||||||
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
_ |
3 ,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и х |
|
|
|
|
|
( 122) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«о |
|
уу |
|
|
Іх в произвольном |
|
||||||
|
В случае осесимметричной струи поток |
импульса |
се |
||||||||||||||||||
чении основного участка определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Іх = |
2яр j |
5 u2ydy = |
2 n p u lMö2 j^ P(r\)r\dr\. |
|
|
|
|||||||||||
Обозначив |
|
f |
|
= |
FKV,получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
b |
|
|
|
Jx= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
л р ц * м6 |
2 Е кр . |
|
n 9 |
|
|
|
||||||||
Поток |
импульса в |
начальном |
сечении |
/ 0 = |
|
П риравнивая |
Іх |
||||||||||||||
я ри0у5 |
. |
||||||||||||||||||||
к Іо,вы р аж аем скорость ихмна оси струи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
% м = |
|
“о |
|
Уо |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
V 2 |
Е Кр |
|
б |
|
|
|
|
|
|
|||||
Учитывая, что б = с0х',с0= 0,22, а |
Е 1<р, если |
принять |
закон, |
выраженный |
|||||||||||||||||
формулой |
(118), составляет |
0,085, получаем |
окончательно |
для осесимметрич |
|||||||||||||||||
ной |
струи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и х м |
|
|
|
|
|
|
|
|
(123) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иа |
х' |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем длину х„ начального участка, исходя из указанны х |
выше допу |
||||||||||||||||||||
щений 1, 3, 4 и 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Д л я плоской |
струи |
поток |
импульса |
в |
|
конце |
начального |
участка опреде |
||||||||||||
ляется равенством |
/* |
= |
2ри 2 |
бЕПл. |
|
П риравнивая |
Іх к потоку |
импульса |
/о, |
||||||||||||
находим толщину |
6 П пограничного |
слоя |
в |
переходном |
сечении: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
«„‘ - ■ |
^ - |
= |
” |
|
= |
2 .7 уо. |
|
|
|
(124) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
*пл |
|
и,о7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
86