Полученные неравенства необходимо пронормировать. Для этого умножим каждое неравенство на соответствующий норми рующий множитель
После приведения к нормальному виду получаем
п |
п |
Л = а0 + ^ аЛ ; |
ф7 = b0j + V ьңх (> 0 , / = 1 , 2 , . . . , m, (443) |
где |
i=l |
|
|
bo; = \ijiboj— bj}, |
|
Ьц = Vjb'ij. |
Легко показать, что после такого преобразования фу пред
ставляет^ собой «расстояние» в /z-мерном пространстве от точки М(х^, х 2, X п) до плоскости г|);- = 0, т. е. до соответствующей
границы области работоспособности. Будем считать, что точка М принадлежит поверхности фу, если
где б достаточно малое положительное число *, превышающее погрешность опыта.
Возможны два случая расположения исходной точки относи тельно области работоспособности.
1. Центр эксперимента (точка W, (рис. 156, б) с координата ми .Ѵ| = х2 — ... = хп = 0) лежит внутри области работоспособ ности В, т. е. все свободные члены системы (443) не отрицатель ны (boj ^ 0). Шаговое движение в этом случае совершается из
центра эксперимента в направлении градиента линейного при ближения функции А до точки встречи с границей многогранни
ка, ограничивающего область работоспособности. Градиент
линейного приближения функции А представляет собой л-мер-
ный вектор:
|
|
|
|
Я| |
|
|
|
|
grad А = |
k °2 |
|
(445) |
где к — произвольная постоянная. |
|
|
К а к |
сказано |
выше ф Д М ) |
равно |
расстоянию |
от точки М до |
границы |
плоскости |
ф , = 0. |
Поэтому при |
выборе |
величины б |
мож но принимать |
ее р а в |
ной минимальному допустимому отклонению размеров элемента.
Для отыскания координат точки встречи вектора grad А с границей многогранника В необходимо во все неравенства си
стемы (443) подставить x t = ка,, |
..., х2 = |
ka2, х п = |
кап іі решить |
систему |
относительно |
k. |
Получим |
координаты |
точки |
встречи |
/И<‘) |
х^1) , |
xj^ |
), |
где х*') = |
k'ax |
, x 2l){ |
= k'a2, ... — искомое |
решение системы неравенств. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Направление крутого восхождения |
из точки М 1), |
лежащей |
на границе области работоспособности, т. е. вектор £ = |
(£і, Ід, |
Сп) определим |
из условия |
возрастания |
в |
этом |
направлении |
функции |
А — |
|
Я[Хі + |
а2х2 |
|
апх п, |
|
|
|
т. е. из условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
= З А /dt, = |
Ö! С,1+ |
09^2 + • |
• • |
+ |
> |
0. |
|
|
Кроме того, необходимо, чтобы это направление вело строго |
в глубь области, т. е. должно выполняться условие |
|
|
|
|
|
|
<5ф/ |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ,— |
гг“ ! ; » « , * » 0 |
|
|
|
|
Для |
осуществления крутого |
восхождения |
с |
проникновением |
в глубь области В необходимо, чтобы величина rj была наиболь шей, а величины y jv удовлетворяли условиям у { > Â., где К —
произвольное, достаточно малое положительное число, характе ризующее скорость удаления от границ области. Область, опре деленная этими линейными неравенствами, неограничена, так что
вектор |
£ следует пронормировать, например, следует положить |
|£і| ^ |
1, |£г| ^ 1, |
| | | ^ 1. Таким образом, определение на |
правления крутого восхождения при наличии ограничений сво дится к решению следующей задачи линейного программирова ния. Максимизировать линейную форму
при следующих |
Л — ß l£ l + а 2^2 + • • • + |
CLn^>n |
(446) |
|
|
|
ограничениях: |
|
|
|
Л |
|
|
І & К 1 -
Решив эту задачу одним из известных методов [19], получим значения компонент вектора £, т. е. шаговое движение осуще ствляется в направлении вектора
х \ * + |
К\ |
С -І |
(448) |
х\і *+ |
kt,', |
где к — произвольное число. |
|
В направлении этого вектора ставится ряд опытов (совер шается шаговое движение) для различных значений к. Д виж е
ние продолжается до тех пор, пока: а) не будет нарушено одно из ограничений или б) не прекратится возрастание функции А.
В случае а) необходимо проверить, справедливо ли линейное приближение, полученное в центре эксперимента. Для этого ре зультаты замеров параметров сравнивают с результатами рас четов по уравнениям связи. Если это приближение справедливо, то рассчитывается новое направление шагового движения. Если представление не справедливо или прекратилось возрастание критерия качества, то необходимо реализовать новую серию опытов факторного эксперимента, приняв за центр эксперимен та точку с наилучшим результатом из полученных при шаговом движении, и вновь произвести крутое восхождение описанным способом.
Крутое восхождение продолжается до тех пор, пока не будет достигнут условный экстремум, т. е. пока максимальное значе ние ц, полученное из решения задачи линейного программиро
вания, не станет равным нулю, либо до тех пор, пока |
не |
будет |
достигнуто наперед заданное значение критерия качества |
А. |
2. Центр эксперимента лежит вне области |
работоспособно |
сти — некоторые из коэффициентов b0j < 0 |
— (точка |
N 0 на |
рис. 156, б). |
|
|
|
В этом случае крутому восхождению описанным выше мето дом должно предшествовать отыскание опорного решения, удов
летворяющего условиям (443). Пусть |
|
|
fc J O X O ; |
|
|
Ф, > » < ; * / . . h ........../»)• |
j |
|
Тогда направление предварительного движения |
обеспе |
чивающее наискорейшее попадание внутрь области работоспо
собности, найдется из решения следующей |
вспомогательной за |
дачи линейного программирования: максимизировать форму |
z — X п+ 1 |
(450) |
при ограничениях |
|
0Ф/0,/<3'ь > х п + х \ |
> X; I |
ІСі К 1- • - |
(451) |
I |
Шаговое движение в найденном направлении £(°> продол жается до тех пор, пока не будет достигнута точка М^\ удовле
творяющая условиям работоспособности,, либо не будет наруше но хотя бы одно из ограничений. В последнем случае необходи мо вновь провести факторный эксперимент с центром в точке с нанлучшим выходом и рассчитать новое направление шагового движения. Эта процедура продолжается до тех пор, пока не бу
дет найдена точка, удовлетворяющая условиям работоспособно сти. После этого осуществляется крутое восхождение в соответ ствии с п. 5, гл. IX.
При оптимизации струйных элементов можно ограничиться крутым восхождением, не переходя к исследованию области, лежащей вблизи экстремума. Это объясняется следующим. Вопервых, задачи оптимизации элементов струйной автоматики являются задачами на условный экстремум, и безусловный экстремум целевой функции лежит, как правило, за пределами области работоспособности.
Во-вторых, специфика таких критериев качества, как нагру зочная способность, время переключения и др., такова, что инте рес представляет только существенное повышение последних, а изменение на несколько процентов, имеющее место в указан ной области, лежащей вблизи явного экстремума целевой функ ции, не представляет практического интереса.
|
9. Некоторые примеры оптимизации |
|
струйного |
элемента |
Пример |
1. Оптимизация |
по нагрузочной способности. Рассмотрим р еш е |
ние задачи |
оптимизации элемента по нагрузочной способности ka& с по |
мощью разработанного метода. Линейные приближения функции отклика для
критерия качества и параметров элемента, полученные в |
результате |
ф акто р |
ного |
эксперимента, приведены |
в |
п. 7, гл. IX. Н а л о ж и м |
на |
парам етры |
следу |
ющие ограничения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р оСТ< |
1 мм |
вод. |
ст.; |
|
р о т п ^ - 7 |
мм вод.ст.; |
} |
|
|
(451) |
|
|
<?Ус т < 1 5 л / ч ; |
АиВ > 4 ; |
*д А > 4 . |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П одставив зависимости |
(440) |
в |
форм улу |
(451) |
и |
приведя |
полученные |
неравенства к нормальному виду, в |
соответствии |
с |
вы раж ениям и (443) |
по- |
лучаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = |
йиА = |
3,4 3 + 0, Ія, — 0 ,1 2 * 2 + 0,15*4 — 0,07*5 — 0 , 15*6; |
|
|
|
|
|
|
фі = |
— 0,8*2 + 0,32*4— 0,38*5 — 0,32*6 >• 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф 2 = |
— 1,86 + 0,78*! + |
0,26*2— 0,26*з — 0 ,2 6 * 4 + |
0 . 26*s -— 0 , 26*6 > |
0; |
|
(452) |
ф 3 = |
0 , 1 6 — 0,87*4 — 0 , 3 2 * 2 + 0 , 16*3 + |
0,19*4 + 0 , 19*7 > |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф 4 = |
— 0,36*! — 0,36*з — 0 ,3 6 * 4 — 0,72*5 — 0 ,3 6 * 6 !> 0; |
|
|
|
|
|
|
|
ф 5 = |
— 3 ,35 — 0,22*і — 0 ,6 7 * 2 + 0 ,5 8 * 4 — 0,4 4 * 5 > |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примем |
б = 0,2, тогда |
точка М принадлеж ит границе ф ;- |
в том |
случае, |
если |
|
|
|
|
|
0 < ф / ( у И ) < |
0 ,2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(453) |
|
К а к |
видно, свободные |
члены |
двух |
уравнений |
системы |
(453) |
отрицатель |
ны. Это означает, что |
начальная |
точка |
л еж и т вне |
области |
работоспособности: |
|
|
Ф і ( 0 ) = 0 ; |
ф г( 0 ) = — 1,85 < |
0; |
0 < |
ф 3 (Э) = 0 , 16 < |
0,2; |
|
|
|
|
|
Ф4(0) = |
0; |
ф 5(0) |
= - 3 , 5 5 < |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
т. е. начальная точка |
принадлеж ит границам |
фі, |
ф 3, |
ф 4, |
а |
условия |
ф2 и ф 5 |
нарушаю тся. Поэтом у прежде, чем начинать крутое восхождение необходимо сделать предварительный ш аг в направлении £<°>.
