Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

58 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований

плато у функции /0. Сравнивая численные результаты с резуль­

На фиг. 3 приведен типичный график характеристической функции, соответствующей случаю фиг. 1, г. На фиг. 3, а показа­ на характеристическая функция первой гармоники в момент t = 40. Видно, что в окрестности точки шмакс функция достигает значений, гораздо больших, чем в остальной части интервала. При t = 70 пик функции находится в области малых іи.

Амплитуда второй гармоники всегда по крайней мере на два порядка меньше, чем амплитуда первой. Это говорит о том, что учет

всего двух гармоник дает здесь превосходную аппроксимацию решения уравнения Власова. Затухание второй гармоники почти вдвое больше, чем затухание первой гармоники. Это говорит о том, что вторая гармоника связана с первой; последнее ясно также

из некоторых аналитических соображений [10, 11]. Такое поведе­ ние противоречит, однако, предположениям квазилинейной тео­ рии, согласно которой все гармоники связаны только с функцией / 0, но не друг с другом.

На фиг. 4 представлено характерное развитие двухпотоковой неустойчивости, которая порождается начальными условиями [24]. Можно различить очень четко три совершенно различные стадии. На первой не видно никакой неустойчивости. Электрическое поле колеблется более или менее случайно. В этой области многие

ное нарастание. Теперь самое неустойчивое решение дисперсион­ ного уравнения доминирует над всеми другими. В конце концов нарастание должно прекратиться. Видно, что электрическое поле колеблется около очень высокого уровня. Это можно назвать первым приближением к турбулентному состоянию плазмы. При t — 60 и позднее Е г близко с точностью до множителя порядка 3 к уровню Еі. Использование большего числа гармоник позволило бы быть уверенным, что найденные решения точно соответствуют уравнению Власова. Полученный уровень возбуждения опять по порядку величины совпадает с результатом квазилинейной теории, как это подтверждается и более тщательным рассмотре­ нием [10].

Из графиков характеристических функций видно, что они стре­ мятся к нулю при движении к границам w гораздо быстрее, чем в устойчивом случае (фиг. 5). Этого нужно было ожидать, посколь­ ку теперь первый член в правой части (9) подавляет второй. На фиг. 6 приведены фазы первой и второй гармоник электриче­ ского поля. Ввиду условия (18) можно написать:

F±n (0, t) = I Fn (0, t) I exp (+ iq>n (*))•

Учитывая это и уравнения (12), (15), можно представить электри­ ческое поле в виде

OO

Таким образом, срп (t) является фазой электрического поля. Фазо­ вая скорость определяется формулой V — —iq>n (t)lnk0. Во время экспоненциального роста ф( и ф2 являются линейными функция­ ми t, как и следует из линейной теории. Для более поздних времен (80 < t < 100) это уже не так. После периодов, во время которых

дение можно рассматривать в качестве случайного процесса, как оно зависит от числа гармоник, существующих в плазме, и вызва­ ны ли эти эффекты захваченными частицами, пока не исследованы.

4. Вопросы точности

При рассмотрении вопросов точности нужно помнить, что машинная программа имеет дело не с полным нелинейным уравне­ нием Власова, а с системой, отличающейся от последнего, посколь­ ку было обрезано бесконечное число гармоник. Степень, в которой обрезанная система представляет уравнение Власова, обсуждалась ранее (см. п. 2).

Для остающейся части вопроса, насколько точно программа решает обрезанную систему, существует несколько тестов:

1)выбор шагов разной длины по времени и по w;

2)обращение времени;

3)использование законов сохранения;

4)инвариантность по отношению к преобразованию Гали­

лея.

1)Когда мы уменьшаем конечные разности по времени и по ш, численное решение должно приближаться к действительному решению системы (16). Соответственно закон сохранения энергии должен выполняться все лучше и лучше. На фиг. 7 представлены три расчета для At, равного 0,1, 0,2 и 0,4. Соответствующие начальные условия в точности одни и те же. Видно, что полная энергия электрического поля с очень большой точностью ведет себя одинаково, за исключением запаздывания фазы при больших временных шагах. Изменение полной энергии уменьшается при­ мерно в 10 раз, когда временной шаг уменьшается вдвое.

2)Система (16) инвариантна относительно обращения времени.

Если мы изменим знак w, то система должна вернуться точно в исходное состояние. Однако из-за численных неточностей этого не происходит. В результате по величине отклонения можно контролировать допущенные численные ошибки.

Ранее было показано, что численное интегрирование уравнения Власова неизбежно связано с потерей информации, поэтому нельзя ожидать, что система вернется точно в свое исходное состояние после обращения времени. Тем не менее для не очень больших времен можно использовать этот метод как весьма полез­ ную проверку.

3) Наиболее часто для контроля используется постоянство энергии. Закон сохранения числа частиц выполняется уже авто­ матически, поскольку в программу заложено условие F 0 (0, t) — 1. Полная энергия, однако, является суммой кинетической энергии и энергии электрического поля и изменяется во времени. Из фиг. 7

64 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований

видно, что в неустойчивом случае приращение полной энергии гораздо меньше, чем прирост энергии электрического поля, кото­ рый в свою очередь составляет только малую долю от полной

ности основывается на следующем: если мы в момент t — 0 смот­ рим на плазму, которая характеризуется функциями Fn (w, 0),

Ф и г. 7. Полная энергия электрического поля и полная энергия как функ­ ции времени для трех различных временных шагов.

Полная энергия должна оставаться постоянной. Видно, что изменение полной энергии уменьшается примерно в 10 раз, если временной шаг At уменьшается вдвое. Чтобы нари- -совать график полной энергии, из нее вычли константу С = 2,70.

из другой галилеевской системы координат, которая движется со скоростью vs относительно лабораторной системы, то начальные условия переходят в Fn (w, 0) exp (ivsk0nw). To есть ЭВМ «видит» совершенно другое начальное условие. Амплитуды электрическо­ го поля инвариантны относительно такого преобразования и долж­ ны быть теми же самыми при обоих начальных условиях. Расчеты с физически одинаковыми начальными условиями, наблюдаемыми только из разных галилеевских координатных систем, не выявля­ ли расхождения вплоть до времен t = 30. При t > 30 появлялся небольшой фазовый сдвиг электрических полей, тогда как ампли­ туды оставались удивительно постоянными.