ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 262
Скачиваний: 6
48Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований
Вчисленных расчетах, связанных с затуханием Ландау, суще ствуют очень жесткие требования на допустимые значения вол новых чисел. Если выбрать их слишком малыми, то затухание будет незаметным на интервале времени порядка 100 плазменных периодов. Если же выбрать к большим, то затухание Ландау будет очень большим, а электрическое поле будет спадать слишком быстро. Поэтому в расчетах придерживаются следующего интер вала Ѵ4 ^ к ^ 1!2.
Для к = У2 мы получаем tl2л = 8. Это означает, что после восьми периодов плазменных колебаний численное решение не будет больше представлять решение уравнения Власова. Несколько авторов [8, 9] испытали такую неудачу. Если бы в урав нении Власова перейти от координат х, ѵ к некоторым другим координатам, таким, что в этих новых координатах начальные условия не приводили бы к колебанию с нарастающей во времени частотой, то было бы гораздо легче справиться с численным интег рированием уравнения Власова.
Такое преобразование действительно существует: это преобра
зование Фурье в пространстве скоростей. |
(2я)_1/2ехр (—у2/2). |
|
Для простоты предположим, что g (ѵ) = |
||
Тогда второй член в формуле (9) преобразуется к виду |
|
|
+°° |
|
|
j g-(y)exp (iktv + iyv) dv = exp [ — ~ |
(kt + y f ^ • |
(10) |
Видно, что осцилляторное поведение полностью пропало. В ре зультате возникает гладкое распределение Гаусса с центром в точке у о = —kt. Однако если мы захотим представить этот член численно, то сразу столкнемся с другой трудностью. Можно
отобразить только конечный |
по у интервал, скажем, —умако ^ |
^ у ^ г/макоСпустя время |
t — y№aKJk мы потеряем существен |
ную долю информации об этом члене, поскольку он будет исче зать с наших вычислительных матриц. Имеется, однако, важное отличие от предыдущего случая: верно, что мы теряем информа цию об этом члене спустя некоторое время, но это не нарушает вычисление других членов. Как мы видим, в линейной теории ука занный член становится несущественным спустя какое-то время, когда мы вычисляем макроскопические величины. Поэтому можно надеяться, что пренебрежение этим членом при больших временах не будет слишком большим недостатком и в нелинейной теории. Однако нужно проявлять осторожность: если мы намереваемся рассчитывать эффекты эхо, то должны выбрать умакс достаточно большим, чтобы указанный член оставался хорошо представлен ным в течение всего времени развития эхо.
§ 2. Метод двойного разложения Фурье |
49 |
2. Представление, граничные и начальные условия
а. Представление
Чтобы изучить распространение волн в неограниченной или ограниченной плазме, удобно разложить неизвестные функции, входящие в уравнение (1), вначале в ряды Фурье по х :
f ( x , v , t ) = |
-J-00 |
fn (v, t) exp (ink0x), |
2 |
||
|
7 1 = — OO |
|
|
+0o |
( H ) |
E (x, t)= |
2 |
En (0 exp (ink0x). |
|
n = — oo |
|
Величины fn и En определяются формулами
L
f n { v , l) = — j f ( v>x , t)exp( — ik0nx)dx, k0 = -^~ ,
ü
L
En (t) = ^ - ^ E (X, t) exp ( — ik0nx) dx, n = 0, ± 1 , ± 2 . . . .
о |
|
|
Подставляя эти выражения в уравнение (1), получаем |
|
|
+°° |
|
|
dfn (v, о + ink0vfn— 2 |
Eq- ^ f n_q(v, t) = 0. |
(12) |
g = — |
со |
|
Уравнение Пуассона и второе из уравнений Максвелла теперь примут вид
-(-ОО |
— оо |
|
— іпк0Еп (t) = j f ndw, |
- - ^ - E n (t)= j vfndv. |
(13) |
— oo |
— oo |
|
Такое представление идеально для ограниченной плазмы; |
для |
|
неограниченной же плазмы оно является приближенным, посколь ку мы всегда должны устанавливать некоторое минимальное волновое число к0. Однако последнее не накладывает серьезных ограничений. Другой, менее существенный момент заключается в том, что однозначно определяются все Еп при п Ф 0, но не Е п. Последнее есть мгновенное среднее электрическое поле в плазме. В неограниченной плазме оно создается скоплением зарядов на +оо; в ограниченной плазме оно обусловлено внешними гра ничными условиями. (Пример — плазма в конденсаторе, когда имеется разность потенциала между пластинами конденсатора.)
Далее мы постоянно полагаем Е (і = 0. При таком условии наша система полностью эквивалентна уравнениям (1) и (2).
4-01236
50 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований
Введем теперь преобразование Фурье по ѵ, которое определяет ся формулами
|
+°° |
|
Fn (У, t) = |
j /„ (V, t) exp (ivy) dv, |
|
+°° |
Fn (y, t ) e x y ( - i v y ) ^ . . |
|
f n ( v , t ) = j |
|
|
—00 |
|
|
Тогда уравнение Власова записывается в виде |
|
|
dJnj t 'A + nkü |
+ i y ^ E q (t )Fn_q (у, t) = 0, |
(14) |
|
— oo |
|
а уравнение Пуассона и второе из уравнений Максвелла в виде
— ink0E n ( t ) ~ F n (0, t)\ ™ i l ! = + i J L F n (0,t). |
(15) |
Преимущество двойного преобразования Фурье (и разложения Фурье — Эрмита) заключается в том, что в уравнении Пуассона пропадает интеграл с функцией распределения и остается только алгебраическая связь между Е и F.
Преобразованную функцию распределения Fn (у, і) можно представить как матрицу; тогда числа п характеризуют строки, а сделанные дискретными у — столбцы матрицы. Уравнения (15) показывают, что плотность и электрическое поле определяются вектором, который получается из столбца у = 0 матрицы F.
Для численных расчетов удобно |
ввести w = к~гу |
вместо у |
и объединить уравнение (14) и уравнение Пуассона: |
|
|
+°° |
|
|
-§fFn(w,t) + n - ! ^ F n (w,f) = y> У. j F |
q(0, t)Fn-q{w, t). |
(16) |
— со |
|
|
Таков окончательный вид системы, которая будет программиро ваться. Характеристиками уравнений (16) являются прямые линии с угловым коэффициентом 1 !п (ось времени направлена вверх):
t —1' = — (w — w').
Можно проинтегрировать вдоль этих характеристик и получить
формальное |
решение для Fn: |
|
|
Fn (w, t) = Fn (w — nt, 0) -f |
|
-}~oo |
f |
|
+ 2 |
j (w— ns)q~1Fq(0,t — s)Fn_q(w — ns, t — s)ds. |
(17) |
q= —00 0
§ 2. Метод двойного разложения Фурье |
51 |
Если |
на минуту забыть о члене с суммой, |
то видно, что форма |
Fn (w, t) |
такая же, как была в момент t = 0, |
но смещенная вдоль |
оси w. |
Если в машинной программе выбрать временной шаг |
|
At — Aw, то это смещение можно численно выполнить точно. Другими словами, удается точно проинтегрировать первые два члена уравнения (16). Остается только найти подходящую про грамму для вычисления членов суммы в уравнении (17).
Когда характеристики уравнения (16) выходят из области известных величин, первый набор значений при t + At приходится получать путем экстраполяции. При повторном шаге значения исправляются, так что ошибка обрывания становится равной
О [(Аг)2].
Заметим, что эти вычисления были проведены на ЭВМ с пол ной памятью всего в 4 000 слов, включая как программу, так и числовые массивы. Была необходима предельная экономия, так что рассматривались только программы с одной матрицей Fn (w, t0) в оперативной памяти.
Функция Fn (w, t) — обычно комплексная, так что при про граммировании уравнение (16) приходится разделять на действи тельную и мнимую части. Поскольку функция / (х, v, t) действи
тельная, то Fn должна удовлетворять условию |
|
Fn (w, t) = F*-n { — w, t). |
(18) |
Следовательно, можно исключить мнимую часть Fn, если вычис лить действительную часть Fn при положительных и отрицатель ных значениях п и w.
Тот факт, что функция / (х, v, t) является положительно опре деленной, можно представить только как очень сложное условие на характеристическую функцию (25]. По-видимому, это условие пока не использовалось в численных расчетах.
Заметим, что преобразование Фурье по всем переменным от рас пределения вероятности хорошо известно в математической ста тистике. Там его называют «характеристической функцией». Важная роль последней проистекает из того факта, что характе ристическая функция от суммы независимых случайных перемен ных равна произведению их характеристических функций.
Однако применение преобразования Фурье к вычислению функций распределения, кажется, было новшеством, когда оно впервые было сделано в 1963 г.
б. Законы сохранения
Система уравнений (1) и (2) является консервативной системой, для которой выполняются определенные законы сохранения. Наиболее важными являются законы сохранения числа частиц, импульса и энергии.
4*
52 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований
Постоянство числа частиц выражается следующим равенством:
F0(0, t) = 0, |
или |
Fq(О, t) ---=1, |
(19) |
||||
которое следует из (16) при w = 0 и п = 0. |
|
получаем |
|||||
Дифференцируя (16) |
по w и считая w = 0 и п = 0, |
||||||
ввиду симметрии суммы |
следующее |
равенство: |
|
|
|||
д_ |
д |
(w, t) to=0 |
0, |
|
|
||
dt |
|
dw Fо |
|
( ) |
|||
которое выражает сохранение импульса. |
|
|
20 |
||||
Наконец, дважды дифференцируя (16) |
п о и и используя фор |
||||||
мулы (15), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
д__ |
d 2F о (w, t) |
|
|
= 0. |
( 21) |
||
dt |
|
dw2 |
„ „ + |
2 |
*■ <<] |
||
|
|
|
|||||
Первый член представляет кинетическую энергию частиц, а вто
рой — энергию |
электрического |
поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
в. Обрывание |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Суммирование в уравнениях (16) |
и (17) |
проводится |
от |
— |
|
||||||
до |
|
и возникает вопрос, какова |
будет |
ошибка, если |
сумму |
|||||||
-t- о о , |
|
|
оо |
|||||||||
обрезать. Предположим, что |
мы |
пренебрегли |
всеми |
членами |
||||||||
с |
п ^ N + 1 |
и что выполняется |
соотношение |
Fn = О (е”) |
или |
|||||||
как начальное условие, или для какого-то более позднего момента. Тогда член взаимодействия
+°°
2 -yiM O , t)Fn_q{w, t),
q—— оо
который связывает различные моды, будет содержать слагаемые порядка 8|П~Ѵ1+Іѵ|? т. е. порядка е2ѵ~п при ѵ > п. Наибольшая ошибка, которая будет получаться, возникает от первого отбро шенного члена с ѵ = N + 1; он порядка g2w+2—п_ Поскольку Fn — О (еи), то относительная ошибка по отношению к Fn будет порядка s2(-N+l- n). Видно, что эта ошибка растет при увеличении порядка п гармоники и становится О (е2) для п = N. Молчаливо предполагалось, что эти ошибки не накапливаются со временем и потому не портят оценку. Можно, однако, прямо из численных результатов увидеть, насколько все яш хорошо выполняются наши предположения. Оказывается, что в большинстве случаев достаточно рассмотреть всего несколько гармоник. Например, для устойчивых колебаний всегда легко удержать вторую гармонику ниже уровня первой гармоники на два или даже более порядка.
