Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

что согласуется с условиями (38). Из условий (38) можно заклю­ чить, что величины Zmn или чисто действительны, или чисто мнимы, поэтому уравнения (28) и (29) можно рассматривать как относящиеся к действительным частям Zmn при четных та и к мни­

Если теперь задать функцию f (х, ѵ, 0), которая в свою очередь определяет все Zmn (0), то можно решить уравнения (39) и (40) простым интегрированием по времени. Но прежде чем выполнять численное интегрирование, нужно оборвать бесконечную систему уравнений (39) и (40). В п. 2 настоящего параграфа перечислены возможные неточности, которые возникают при таком обрывании; пока же просто предположим, что

Zmn (0 = 0 при т^> М или n > N ,

и получим конечную систему уравнений, для решения которой можно применять обычные численные методы.

Укажем примеры различных форм начальных условий / (х , ѵ, 0),

Это распределение приводит к затуханию Ландау первоначально возбужденной устойчивой волны с волновым числом к0 и к нели­ нейному возбуждению волн с волновыми числами 2к0, 3к0, . . ., :

/ (х, V, 0) = V2 (1 + е cos к0х). (42)

Это распределение описывает сильно неустойчивые взаимопрони­ кающие электронные плазмы, в которых существуют нарастаю­

[29, 30], когда редкие пучки частиц с большими скоростями проходят через относительно более плотную основную плазму, в которой при достаточно малых к0 неустойчиво несколько волн.

5*

68 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований

Во всех вышеуказанных случаях интересующие нас величины зависят только от нескольких отличных от нуля в начальный момент элементов матрицы Zmn (t). Класс функций распределения по скоростям, которые можно разложить в ряды Грама — Чарли, ограничивается такими распределениями, для которых / (ѵ) -> О при у —>- + °° по крайней мере так же быстро, как ѵп exp (—у2/2). Например, для распределений Коши вида

такие разложения не подходят. Но указанное условие не является серьезным ограничением метода, поскольку физически интересные распределения по скоростям убывают достаточно быстро.

Так как численная проблема была сведена к интегрированию системы дифференциальных уравнений (39) вида

(44)

где Z = {Zmn} и Gmn — нелинейный алгебраический матричный оператор, то можно использовать несколько стандартных методов Рунге — Кутта или технику управляемой коррекции (predictor — corrector techniques). Мы использовали метод Рунге — Кутта четвертого порядка, предложенный Гиллом [37], ввиду простоты начала вычислений и изменения временного шага At по сравнению с методами управляемой коррекции. Этот метод четвертого поряд­ ка требует вычисления правой части уравнения (44) в четырех точках каждого интервала At. Следовательно, нужно предусмот­ реть запас в памяти машины для запоминания каждого из четырех подынтервалов в матрице размерностью 6N [мы использовали

тот факт, что для вычисления Zmn требуются только строки т + 1]. Алгоритм Гилла был записан в виде, который исключает необхо­ димость запоминания самой матрицы Z во всех четырех точках подынтервала; как будет видно ниже, требуются только самые последние вычисления матрицы Z. Использовался следующий алго­

(4 5 )

Было обнаружено, что для рассматриваемых задач ошибка обрывания цепочки уравнений в методе Гилла несущественна по сравнению с другими погрешностями метода, поэтому не предпри­ нималось никаких попыток улучшить основной алгоритм (45)

Ф и г. 8. Упрощенная функциональная схема обобщенного кода, осуще­ ствляющего преобразование Фурье — Эрмита.

путем включения членов, минимизирующих ошибки обрывания. В типичных расчетах ошибки обрывания оказывались того же порядка, как и ошибки округления.