Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

В случаях неустойчивости вторая гармоника была связана с пер­ вой гармоникой и имела скорость нарастания, в 2 раза большую, чем у первой гармоники. В результате ко времени, когда неустой­ чивость выравнивалась, амплитуда второй гармоники нарастала до Ѵю—Ѵ3 от амплитуды первой гармоники. Это указывает на то, что обрывание приводит к некоторой неточности.

Нам нужно ввести и другое обрывание из-за конечности интер­ вала по w. Как было показано выше, всегда будут члены, которые движутся к границе матрицы и затем просто теряются. Один из примеров представлен на фиг. 3. Кажется, что такая потеря инфор­ мации является неизбежным свойством интегрирования уравнения Власова. К счастью, обрывание не создает каких-либо численных неустойчивостей. С другой стороны, обрывание матрицы в разло­

При моделировании неограниченной плазмы разложение функ­ ции / (X, V, t) в ряды Фурье уже обеспечивает периодические гра­ ничные условия. Однако решение Fn (w, t) будет комплексным. Поскольку Fn (—w, t) — Fn (w, t), то при вычислениях можно ограничиться положительными п. Такая схема применялась для изучения нелинейного поведения уединенных бегущих волн.

Легко показать, что для всех более поздних времен функция распределения будет сохранять эту симметрию. В Е-пространстве условие (22) записывается в виде

Fn(w, t) = F-n ( — w, t).

Отсюда, используя условие действительности (18), получаем

Fn (w, t) — Fn(w, t), или Im Fn (w, t) = 0.

Мнимая часть F тождественно равна нулю, и мы сокращаем вдвое время на вычисления, не говоря уже об упрощении програм­ мирования.

Однако за это приходится расплачиваться. В силу симметрии для любой волны, которая распространяется, допустим, вправо, имеется также еще одна, которая распространяется влево. Если мы изучаем неустойчивость типа «горб на хвосте», то всегда долж­ но быть по горбу на каждом из двух хвостов и т. п. Электрическое

54 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований

поле будет полем стоячей волны, которая будет периодически почти пропадать. Чтобы сопоставить результаты такого расчета с простыми понятиями типа захваченных частиц и т. и., необхо­ димо привлекать дополнительные аргументы (например, считать, что две волны слабо связаны), которые не вполне очевидны при сильной нелинейности, когда модуляция плотности велика.

решения данной задачи. Все другие граничные условия, вероятно, будут порождать численные неустойчивости.

д. Начальные условия

Впринципе можно использовать любое начальное условие, которое представимо с достаточной точностью в Е-пространстве. Здесь мы перечислим конкретные начальные условия, которые успешно использовались.

Для устойчивых волн симметричное условие

описывает затухающую стоячую волну. Ее типичное поведение иллюстрируется фиг. 1, а—г. Используя различные значения амплитуд А и волновых чисел к0, можно изучить изменение затухания Ландау и его величину как функцию амплитуды и дли­ ны волны.

Чтобы изучить двухпотоковые неустойчивости, можно взять два максвелловских распределения, сдвинутых относительно друг друга:

f(x, V, 0) = (2я)-1/2(1— А) ехр[ — у (у + ^ ) 2] +

функция / всегда нормирована.

В этой формуле можно изменять отношение чисел частиц в двух потоках, которое равно (1 — А)/А, отношение соответствующих температур Ш и сдвиг ѵр между двумя потоками в пространстве скоростей. Скорость vs — фиктивная переменная, определяющая только координатную систему Галилея, в которой мы наблюдаем за неустойчивостью. Ее можно выбрать такой, чтобы электронная плазма в целом находилась в покое или чтобы возникающее электрическое поле соответствовало стоячей волне. Отметим, что, когда полный электронный ток отличен от нуля, он автоматически компенсируется равным и противоположным ионным током благо­ даря условию Е о = 0. Кроме того, использовались различные

значения vs для того, чтобы проверить инвариантность программы относительно преобразований Галилея (ср. п. 4).

На фиг. 4, а и б представлены типичные результаты. Проходит сравнительно много времени, прежде чем решение начинает нарастать точно по экспоненте. К тому же экспоненциальное нарастание не представляет подлинного интереса, поскольку оно хорошо описывается линейной теорией. Можно сэкономить время вычислений, если выбрать в качестве начального условия функцию распределения, которая соответствует линейному решению задачи. В этом случае можно избавиться от существенной части счета, отвечающего фиг. 4, и сконцентрировать свое внимание на обла­ сти, где электрическое поле достигает своего максимума.

3. Сводка результатов

Обсудим вначале результаты, связанные с нелинейными зату­ ханием устойчивых распределений. Начальное условие (23) исполь­ зовалось всюду. Типичные результаты представлены на фиг. 1, а— г. Графики расположены в соответствии с начальной амплитудой электрического поля, которая задана в виде Е (t = 0) = А!к0. На фиг. 1, а мы наблюдаем затухание Ландау первой гармоники, которое не меняется за время вычислений. Это полностью соот­ ветствует линейной теории. Увеличение начального ноля в резуль­ тате уменьшения кп приводит нас к фиг. 1, б. Видно, что в данном случае затухание Ландау становится очень малым; это иллюстра­ ция того, что в численных расчетах ограничен интервал измене­ ния к. Тщательный анализ фиг. 1, б показывает, однако, что декремент затухания, по-видимому, уменьшается. Это лучше видно на фиг. 1, в, где снова увеличено Е (t = 0) и явно видно уменьшение декремента затухания вблизи t = 30.

Ріа фиг. 1, г показано развитие плато у электрического поля. Последнее напоминает нам о квазилинейной теории [29—31], в которой также получается плато электрического поля. Квази­ линейная теория в своих предположениях сильно отличается от рассмотренных здесь численных расчетов. Вот наиболее важные

устойчивого случая [31].

В численных расчетах все три указанные условия не выпол­ няются, поэтому подробное сравнение невозможно.

Квазилинейная теория приходит к уравнению диффузии в про­ странстве скоростей для однородной функции распределения /0, которое обладает тем свойством, что функция/0 уплощается в окре­ стности фазовой скорости волны Ѵф. Для этой области фазового пространства предсказано появление при t оо горизонтального