Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

Каким бы мы не выбирали граничное М, коэффициенты на этой

границе станут большими за время t — [/ М/(пк0). В результате нельзя просто пренебречь вкладом от ZM+Un (t) в уравнении для Z M,n (t), поскольку Z M+l' п (t) и ZM_,, n (t) велики и имеют противо­ положные знаки, почти сокращая друг друга в уравнении для Z.M.n (t) 1см. (39)]. Поэтому нужно воспользоваться одним из следующих рецептов:

а) Остановить вычисления в какой-то момент t ^ Y М/(пк0)] выбрать М достаточно большим, чтобы получить решения для требуемого момента времени.

б) Использовать то свойство системы (39), что уравнения для Zm, п содержат только ZAf+1, п и ZM_i: п, и уменьшать М на единицу

в) Помешать тому, чтобы Z M, п когда-либо стали быстро нара­ стающими, с помощью введения какого-либо искусственного члена в уравнение (1), чтобы «сгладить» большие производные по скоро­ сти (см. [19, 20] и п. 3 настоящей главы).

г) Точно вычислять ZM+1, n (t) по известным ZM>n, ZM_j, n, ZM_2, n и т. д. с помощью какой-нибудь экстраполяции.

Рецепты «а» — «г» успешно использовались для разных проб­ лем, но, хотя были затрачены значительные усилия, до сих пор еще не найдена удовлетворительная (численно устойчивая) экст­ раполяция. При использовании рецептов «а»—«г» действующий

.вариант кода упрощается в результате вычисления всех Zmn вплоть до значений т, при которых коэффициенты Zmn становятся меньше некоторой заранее заданной величины. Эта особенность

числа М для численной устойчивости нужно уменьшать At. При­ меняя к системе (39) грубое приближение конечных разностей,

должна иметь место численная устойчивость. Обнаружено, что этот критерий работает хорошо.

Наконец, рассмотрим, как влияет на функции /п (ѵ, t) отбра­ сывание высших коэффициентов Эрмита. На фиг. 12 проведено сравнение функций распределения с п = 1, которые получены

78 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований

соответственно при учете 960 и 360 членов в рядах Эрмита. Разло­ жения представляют истинное решение, полученное в случае, когда допускалось увеличение числа коэффициентов Эрмита по

создания сглаживающего эффекта столкновений в пространстве скоростей. «Столкновительные» члены, которые можно исполь­ зовать в одномерном случае и которые для одного сорта частиц фиктивны, не обязаны точно представлять истинные соударения между дискретными частицами.

Одна из форм столкновительного члена, которая использова­

Если п (X) = N, где N — постоянная, то функция / (х , ѵ, t) стре­ мится к пространственно-однородному максвелловскому распре­

делению, а если п (х) = j / (х , v, t)dv, то fn (v, 7) стремится

к максвелловскому распределению. После разложения Фурье — Эрмита выражение (52) записывается в виде

(Z0n)c = 0, если n (x) = j / (ж, у, £) dv.

В таком виде столкновительный член не обладает избиратель­ ной способностью в пространстве полиномов Эрмита, действуя одинаково почти на все коэффициенты. В этом случае отсутствует тенденция к преимущественному сглаживанию тонкой структуры

которое, вызывает преимущественное подавление высших коэффи­ циентов Эрмита. Грант и Фикс показали [20], что при Мѵс ~ 0(1) добавление члена (55) в уравнения (28) и (29) устраняет наруше­

ние представления в момент t = У MlNk0; однако столкновительные эффекты становятся доминирующими после момента t = 1/ѵс = М. Временной интервал, в течение которого можно приближенно изучать бесстолкновительные явления, простирает­

ся от t = MlNk0 до М. Если N k0 < 1/]/~М , то, очевидно, неже­ лательно вообще вводить столкновительный член. При устой­ чивых начальных условиях эффект от столкновений должен сум­ мироваться с затуханием Ландау. На фиг. 13 представлена зави­ симость Reco и Ішсо, полученных из линеаризованных разложений Фурье — Эрмита, от ѵс и М. В нелинейном случае столкнови­ тельный член конкурирует с волнами во взаимодействии с функци­ ей распределения; столкновения стремятся сохранить f0 (ѵ = сolk) <С < 0, в то время как нелинейное взаимодействие с волнами ведет