Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

88 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований

Рассмотрим такие решения ф (х), которые определяются толь­ ко первыми членами разложения Фурье по косинусам

дилось также быстро. Подставляя эти разложения и функцию (57) в уравнение Пуассона и оставляя члены до третьего порядка (И^),

оказывались даже более точными. Остающиеся малые колебания можно рассматривать как эффективный шум фона для такой численной модели неоднородного равновесия. Таким образом, эта процедура «настройки» применяется для уменьшения уровня шума

Неоднородностьp t

Ф и г. 17. Декремент затухания Ландау у как функция возрастающей неоднородности р4 при к 0 = 0,22.

Теоретическая кривая (см. [56]) получена в предположении, что собственной функцией электрического поля является функция Матье se2 (ko*, ?), где q = 4р,/(Зйо).

до возможно меньшего уровня, с тем чтобы можно было до тех пор следить за малыми возмущениями равновесного состояния, пока они не затухнут до уровня шума.

Для равновесного набора коэффициентов Z00, Z01 и Z02, про­

веренного при заданном к0, измерялось неоднородное затухание Ландау при использовании исходного значения Z01 (возмущен­ ное) = 1,05 Zoi (равновесное). Электрическое поле возмущения

92 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований

так что это только начало и еще многое предстоит сделать. Сейчас мы попытаемся сформулировать в рамках качественной физиче­ ской картины то, что, по нашему мнению, достигнуто численными методами. Мы также выдвинем несколько предложений и сооб­ ражений по дальнейшей работе.

Большая часть наиболее опасных трудностей, встречающихся при решении уравнений Власова приближенными аналитическими методами, связана, как отмечалось в § 1, п. 1, с нашей неспособ­ ностью вычислить траектории частиц в той части пространства скоростей, которая лежит вблизи фазовых скоростей волн. (Ос­ тальную часть фазовой плоскости можно последовательно рассмот­ реть с помощью теории возмущений.) В описанных численных схемах ЭВМ во время вычислений в этой области фазового про­ странства встречает не больше трудностей, чем в любой другой области. Можно утверждать, что большинство типично нелиней­ ных эффектов, которые возникали до сих пор в численных расчетах, тесно связано с этой областью сильного взаимодействия между частицами и волнами. Теперь можно утверждать, что имеется хорошее качественное понимание «нелинейного затухания Ландау», эволюции двухпотоковой неустойчивости (при наличии ограни­ ченного числа неустойчивых волн) и явления эхо. Кажется, что остается немного других качественно новых одномерных явлений (за важным исключением полностью развитой турбулентности, включающей много неустойчивых мод), которые можно еще открыть. По нашему мнению, параметрический резонанс (см., например, [57]) не очень интересен для исследований с помощью ЭВМ в одномерной плазме, описываемой уравнением Власова.

Потребуются новые идеи для рассмотрения одномерных проб­ лем, в которых снято требование пространственной периодичности: все описанные до сих пор решения критически зависят от пред­ положения о периодичности в пространстве. Имеется ряд непе­ риодических задач, которые ждут решения. Укажем некоторые из них: эволюция ударных волн, динамика образования переходного слоя, нелинейный отклик бесстолкновительной плазмы на перио­ дический сигнал, возбуждаемый в какой-то точке пространства, эволюция тангенциальных разрывов.

Очевидно, что некоторые изложенные методы можно непосред­ ственно обобщить для исследования большого числа задач в дву­ мерной бесстолкновительной плазме, которая периодична в прост­ ранстве. При этом число независимых переменных увеличивается с трех до четырех или пяти и, следовательно, существенно увели­ чивается требуемое машинное время. Поскольку более сложные расчеты для одномерных задач по-прежнему отнимают почти все имеющееся машинное время (по состоянию на 1969 г.), то это предложение относится скорее к будущему, но тем не менее движе­ ние в этом направлении неизбежно, поскольку, с одной стороны,

ЭВМ становятся все более быстродействующими и более совер­ шенными, а с другой стороны,— не существует других известных методов получения точной информации о поведении двумерной нелинейной бесстолкновителыюй плазмы, в которой эффекты индивидуальных частиц несущественны.

Легко видеть, что система уравнений Власова — Пуассона в двумерном случае может быть решена с помощью представления Фурье — Эрмита, описанного в § 2; не вызывает трудностей и включение магнитных полей и поперечных электрических полей'.

уравнения, которые определяют эволюцию матричных элемен­ тов функции распределения, снова оказываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка по времени. Будет три или четыре индекса вместо двух, но методы вычисле­ ний, несомненно, будут качественно теми же.

Весьма вероятно, что можно также успешно применять методы двойного преобразования Фурье. Однако нужна известная осто­ рожность, поскольку даже в одномерном случае приходится, тем не менее, решать дифференциальные уравнения в частных производных.

Можно ожидать, что в двумерном случае интересные физиче­ ские эффекты возникнут в отсутствие магнитного поля, поскольку при этой геометрии увеличивается вероятность того, что частицы •«увидят» компоненты электрических полей, которые практически не зависят от времени в их собственных системах координат, и потому будут сильно взаимодействовать с ними. Условие такого сильного взаимодействия для двумерного (или трехмерного) слу­ чая записывается в виде

о « к-ѵ,

которое, очевидно, гораздо менее жесткое, чем условие для одно­ мерного случая:

со ä ; kv.

В частности, заманчива перспектива ускорения частиц до скоростей, гораздо больших, чем наибольшая фазовая скорость

(со/ | к | ) мак0.

Включение в рассмотрение магнитных полей, что в принципе просто, расширяет область ожидаемых качественно новых физичес­ ких явлений, приводя к циклотронным резонансам частиц с волна­ ми, чьи частоты приближенно образуют рациональные отноше­

ния с гирочастотами (?гсоВОЛна + ^«частица ~ 0 ) гДе т и п — целые числа). Продольный электростатический резонанс, описан­ ный в этой главе, конечно, также будет иметь место, как, несомненно, и некоторые резонансы гибридного типа, включающие одновременно оба эффекта. Детали требуют дальнейших исследо­ ваний.