ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 272
Скачиваний: 6
82 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований
такой, что только волна п = 1 оказывалась неустойчивой. Число N выбиралось таким, чтобы включить несколько устойчивых гармоник для обеспечения сходимости рядов Фурье. Результаты численных расчетов показали, что из-за нелинейных эффектов на растание прекращается после того, как малая доля энергии пучка перейдет в энергию электрического поля, и что система длитель ное время приближается к неоднородному равновесному состоя нию. Эта проблема изучалась Армстронгом [12, 13], Грантом и Фиксом [19, 20], а также Армстронгом и Монтгомери [14].
в. Одномерный плазменный диод
Эта задача упоминается нами, поскольку в ней используется метод решения уравнения Власова при менее строгих периодиче ских граничных условиях. Метод, использованный Ломэксом [44], включает в себя разложение функции распределения по полиномам Лагерра. Этим методом были получены характеристики диода.
г. Воздействие внешнего электрического поля на электронную плазму
Эта проблема будет обсуждаться в § 4.
д. Эхо плазменных волн
Кроунфилд и Броддас [34] применили метод разложений Фурье — Эрмита для случаев, когда в устойчивую плазму дваж ды вносят возмущения в разные моменты времени. В соответ ствии с аналитической теорией [23] в более позднее время появляет ся «волна-эхо». Форма огибающей волны-эхо, зависимость ее амплитуды от возмущений и величина запаздывания согласуются с предсказаниями аналитической теории. Волна-эхо появляется несмотря на то, что электрическое поле обоих приложенных возмущений убывает из-за затухания Ландау. Возмущения дают незатухающие вклады в функцию распределения, которые могут стать когерентными по фазе и вызвать волну-эхо. Введение сла бых «столкновений», которые воздействуют на незатухающую часть функции распределения, сильно уменьшает амплитуду эхо [45, 46]. Предварительные численные результаты при учете столкновений согласуются с предсказаниями аналитической тео рии. В дальнейшем планируется исследование режима с больвіими амплитудами.
е. Нелинейные ионно-акустические волны
Эта проблема будет рассмотрена в § 4, п. 3.
§ 4. Обобщение метода разложения Фурье — Эрмита |
83 |
ж. Слабая неустойчивость типа «горб на хвосте»
Изложенные в п. 1 методы были недавно применены [16] для начальных условий вида (43). Этот случай соответствует двум редким пучкам электронов (со скоростями ± Vdr), которые про ходят через более плотную основную плазму. Конкретной целью такого выбора начальных условий явилось стремление выяснить область применимости квазилинейной теории [47, 29, 31], кото рая, по-видимому, применима к слабым неустойчивостям такого типа. Были проделаны вычисления для восьми волн, четыре из
которых были линейно |
неустойчивыми (п = 2, |
3, |
4, 5); волна |
п = 1 была устойчивой |
и незатухающей, тогда |
как |
волны п = |
— 6, 7, 8 сильно затухали. Как и ожидалось, нелинейные процессы приводили к тому, что «впадина» функции распределения между основной плазмой и пучком заполнялась; результатом, неожи данным с точки зрения квазилинейной теории, явилось преобла дание в состоянии с большими амплитудами волны с наибольшим инкрементом нарастания. Более 4/5 энергии электрического поля при максимальной амплитуде было сконцентрировано в наиболее неустойчивой волне. Преобладание одной волны было приписано тому факту, что в начальный момент волны возбуждались с ампли тудами, примерно в 20 раз меньшими предельной амплитуды, и наиболее быстро нарастающая волна обгоняла другие. Ширина захвата наибольшей волны перекрывала фазовые скорости других неустойчивых волн; следовательно, наибольшая волна была спо собна нелинейно «погасить» другие волны. На основе результатов этого исследования можно предположить, что для применимости обычной квазилинейной теории необходимо, чтобы амплитуды начального возбуждения не были слишком малыми по сравнению с предельной амплитудой.
§ 4. О бобщ ен и е м ет ода р а з л о ж е н и я Ф урье — Э р м и т а
Основное разложение Фурье — Эрмита, описанное в § 3, можно использовать с соответствующими модификациями для решения более общих вариантов в нелинейной системе уравнений Власо ва — Пуассона. Обобщения на случай двух измерений обсужда ются в гл. 5, а в этом параграфе мы обсудим только дополнения
кодномерной модели.
Вп. 1 и 2 мы обобщим нашу модель на случай электрических
полей, изменяющихся во времени или стационарных, которые, по предположению, поддерживаются силами, внешними по отноше нию к электронной плазме. Обобщение на плазму с подвижными ионами и электронами обсуждается в п. 3. Большая величина отношения массы иона к массе электрона приводит к тому, что явления, связанные в основном с движением ионов, развиваются
6*
84 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований
за гораздо большие времена, чем явления, связанные в основном с движением электронов. Но этой причине движение электронов рассматривается отдельно, а упомянутая модель названа гибрид ной моделью.
1. Обобщение на случай внешних полей
Основные электростатические явления в электронной плазме имеют характерные длины порядка электронного дебаевского ради уса экранирования и частоты порядка электронной плазменной частоты. Однако в экспериментах встречаются случаи, когда явления не связаны непосредственно с этими масштабами. Такие случаи можно исследовать с помощью представления Фурье — Эрмита при наличии электрического поля или потенциала, кото рые сохраняются независимыми от процессов в плазме. Такие независимые поля мы будем называть «внешними полями», чтобы отличать их от полей, которые вычисляются самосогласованно по функции распределения электронов, и будем считать их извест ными функциями координат и времени.
а. Включение внешних полей
Распределение электрического заряда в системе определяет электрическое поле Е (или, что эквивалентно, потенциал ф) через уравнение Пуассона
СО
<5б>
— оо
где правая часть дает полную плотность заряда. Как уже исполь зовалось в этой главе, «1» в правой части есть нормированная однородная плотность неподвижного ионного фона, а интеграл по скоростям от функции распределения электронов дает плот ность заряда электронной плазмы.
Для моделирования эффекта внешнего поля (или потенциала) в нашей системе мы просто добавим в правую часть уравнения (56) «плотность заряда эквивалентного источника», которая в ваку уме могла бы дать нужное внешнее поле (потенциал). Обозначим эту дополнительную плотность заряда через р Вн е ш н и будем считать ее известной функцией х и t. Решение связанных уравнений Вла сова и Пуассона проводится, как и раньше, но теперь мы решаем скорее смешанную задачу, чем чистую задачу с начальными условиями.
Если разложить новый член в уравнении Пуассона по компо нентам Фурье pn (t) и подставить его в преобразованное по Фурье уравнение Пуассона, то вместо соотношения (31) получим следу-
§ 4. Обобщение метода разложения Фурье — Эрмита |
85 |
ющеѳ: |
|
ПфО. |
|
Таким образом, плотность заряда внешнего источника опреде ляется коэффициентами Фурье pn (t), являющимися заданными функциями времени для любого частного случая, который мы хотим рассчитать.
В экспериментах с плазмой обычно не контролируют непо средственно плотности заряда или электрические поля, а вместо этого измеряют электрический потенциал на разных поверхно стях внутри или вокруг плазмы. В частности, мы намереваемся смоделировать эксперимент [48], в котором ряд кольцевых дисков равномерно размещался вдоль и поперек плазменного столба. На диски подавался потенциал, который изменялся синусоидально во времени с высокой частотой, причем потенциалы соседних дисков были сдвинуты по фазе на 180°.
Плотность заряда эквивалентного источника для такого потен циала представляет собой ряд б-функций Дирака, знаки которых чередуются и которые зависят от времени как sinco0£. Коэффициен ты Фурье рп для такой плотности заряда в виде б-функций отличны от нуля только для нечетных п и одинаковы для всех нечетных п.
Из-за ограниченности машинного времени и памяти большинст во наших расчетов нужно было ограничивать только тремя компо нентами Фурье функции /, а именно п = 0, 1 и 2. Следовательно, для распределения в виде б-функции можно было использовать только компоненту pj (t) плотности р ВНе ш н - Это не является серь езным ограничением, поскольку большая часть физической инфор мации связана с эволюцией первых двух компонент Фурье функ ции распределения электронов, / 0 (ѵ, t) и /4(ѵ, t).
Это показывает, что вычисление функции распределения может быть более дорогим, чем прямое моделирование частиц, если необ ходимо одновременно изучать развитие большого числа мод. С другой стороны, расчеты по методу разложений могут быть полностью бесстолкновительными и могут дать точную возмущен
ную функцию распределения при очень |
малых уровнях сигнала. |
||||
Сравнимое |
уменьшение столкновителыгого |
и статистического |
|||
шумов при прямом |
моделировании частиц потребовало бы очень |
||||
большого |
числа частиц. |
|
|
||
|
|
б. Внешние поля, зависящие от времени |
|||
Отклик электронной плазмы на осциллирующее внешнее поле |
|||||
измерялся |
в двух |
диапазонах частот: |
о>0 ^ |
соре и (Оо'С ©ре> гДе |
|
Юре — плазменная |
частота электронов. |
|
|
||
а) |
«о |
Юре. В этих расчетах нужно было определять ампли |
|||
туду, |
частоту и фазу отклика электронов на внешнее (возбуждаю |
||||
86 Гл. 2. Решение уравнения Власова методами преобразований
щее) поле и наблюдать получающееся изменение функции распре деления. Мы хотели количественно сравнить эти величины в слу чае, когда амплитуда возбуждения становится выше уровня, при котором проявляются нелинейные эффекты. Эти нелинейные эффекты по природе аналогичны тем, которые описаны в § 3 (физи чески они связаны с захватом частиц электрическим полем), но
Ф и г . |
15. |
Отклик электронной плазмы на возбуждаемое извне электриче |
|
|
ское поле. |
Кривые |
п = |
1 и п = 2 дают абсолютные значения первого и второго коэффициентов |
Фурье электрического поля частиц. Кривая К. Э. показывает увеличение (в %) полной |
||
кинетической энергии электронов. Синусоидальное возбуждающее поле имело волновое |
||
число fto = |
0,916, частоту то = 1,923 и амплитуду р, = 0,0458. Полное электрическое |
|
|
поле равно сумме электрического поля частиц и возбуждающего поля. |
|
их было |
гораздо труднее изучать в предшествующем случае без |
|
внешнего возбуждения, поскольку возмущенное поле быстро
затухало и захваченные частицы быстро освобождались. |
Кривые |
||
На фиг. 15 приведены |
результаты одного |
расчета. |
|
с индексами п = 1 и п ~ |
2 дают абсолютные |
значения |
первого |
и второго коэффициентов Фурье той части полного электрического поля, которая связана только с электронами плазмы (т. е. из полного поля было вычтено внешнее поле). Кривая с надписью К. Э. показывает увеличение полной кинетической энергии элек тронов в процентах. На протяжении первых 17 временных перио дов захваченные электроны отбирают энергию от возбуждающего поля; на протяжении следующих 15 временных периодов они
§ 4. Обобщение метода разложения Фурье — Эрмита |
87 |
отдают большую часть этой энергии. В отличие от ситуации в § 3 полная энергия здесь не сохраняется, поскольку внешнее поле не считалось самосогласованным.
б) (öo^ с°ре- В этих расчетах внешнее поле выбиралось таким, чтобы оно возмущало плотность заряда ионного фона, который осциллирует гораздо медленнее, чем электронная плазма. Стави лась задача: выяснить, могут ли электроны изменять свои скорости и распределение в пространстве таким образом, чтобы сохранять
постоянным |
отношение давления |
|
|
Р = |
00I |
V2f (х, V , t) dv к плотности п == |
ооj /X ,(V, t ) d v . |
|
*- оо |
|
—ОО |
Это отношение менялось не более чем на 2%, когда осциллирую щие возмущения фона составляли 15%.
2. Вычисления для случая неоднородного равновесного состояния
За исключением случаев неустойчивых начальных условий в § 3, равновесное состояние в описанных расчетах было простран ственно однородным. Известно [49, 50], что уравнения (1) и (2) имеют не зависящие от времени решения, которые соответствуют неоднородным электрическим полям. Аналитические исследова ния устойчивости разных состояний неоднородного равновесия были проведены Монтгомери [51], Лоу [52], Пирлстейном [53], Фридбергом [54] и Кнорром [55]. Здесь мы изложим результаты численного исследования [17, 18] затухания Ландау возмущений одного конкретного неоднородного равновесного состояния.
Интегралом движения для электрона является его полная энер гия, которая равна сумме его кинетической и потенциальной энергий и в безразмерной форме записывается в виде £ = ѵ2/2 —
— ф (х). Любая функция / от этого интеграла движения является решением уравнения Власова. Если функции / [г>2/2—ф (ж)] и ф (х) найдены самосогласованно из уравнения Пуассона, то мы получаем неоднородное равновесное состояние. Давайте построим
такое равновесное |
состояние. |
|
|||
= |
Выберем плотность заряда неоднородного фона в виде рВНешн = |
||||
8 cos к0х |
(не зависит |
от времени), а функцию распределения |
|||
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
/ ( X, |
V) = |
-(2я”1/Г ехр [ — -J- + ф (х)] . |
(57) |
|
Теперь |
нужно |
подставить / и рвнешн в уравнение |
Пуассона |
|
и |
определить ф (х). |
|
|
||
