Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

движется с жидкостью и сохраняет свою топологию при эволюции системы, так что никаких пересечений или смазываний не про­ исходит. Более того, площадь между любыми двумя контурами — интеграл движения. Каждая точка (xt, щ) на контуре удовлет­ воряет уравнениям движения «частицы»:

В этой главе мы рассмотрим пример двумерной фазовой электрон­ ной жидкости, которая нейтрализуется равномерно распределен­ ным положительным зарядом. Ускорение а = е/(т) Е х(, t) не зависит от плотности и определяется электрическим полем Е, которое удовлетворяет уравнению Пуассона:

СО

< 3 >

—оо

где <Вр = (4лще2)Іт, е — заряд электрона (отрицательная вели­ чина), т — масса электрона, п0 — средняя плотность частиц

В литературе описано несколько методов решения системы уравнений Власова (1) и Пуассона (3) [2, 3]. Так как (1)— диф­ ференциальное уравнение в частных производных, то, возможно, наиболее прямой способ его решения заключается в использовании разностного метода с прямоугольной сеткой в двумерном про­ странстве (х, к), который в четырехмерном случае применяли Киллин и Ромпель [4]. Этот метод очень прост, но трудоемок, так как для его реализации требуется несколько тысяч узловых то­ чек. Кроме того, ошибки аппроксимации приведут к некоторой «диффузии» численных результатов, даже если применить разнос­ тный метод четвертого порядка [5]. Большинство исследователей используют модель частиц, предложенную Бунеманом [6] и Доу­ соном [7], в которой непрерывная фазовая жидкость моделируется системой дискретных точек. Локальная плотность этих точек внутри небольшой области фазовой плоскости задает некоторую аппроксимацию / (х, ѵ), которую можно использовать в уравне­ нии (3) для вычисления распределения заряда. Движение этих точек в соответствии с уравнениями (2) определяет графическую картину течения жидкости [8, 9], хотя из-за статистических флуктуаций плотности заряда, которые вызывают случайные электрические поля, возникает некоторая «диффузия» численных результатов. Ценой существенного увеличения машинного вре­ мени получены более точные решения системы уравнений Власова и Пуассона с помощью разложений в ряд Фурье и по ортогональ­ ным полиномам [10, 11].

7 -0 1 2 3 6

Альтернативный метод рассмотрения эволюции системы — наблюдение за каждой контурной кривой Сj [12]. В каждый момент

времени t форма контуров определяет плотность заряда j fdv, что

позволяет из уравнения (3) рассчитать Е (ж). Если Е (х;) и vt изве­

Этот метод особенно удобен в случае, когда функция распреде­ ления задана конечным числом определенных кривых, т. е. явля­

ны только такие кривые, которые разделяют области с разными значениями /. Если эти граничные кривые известны, то распреде­ ление определено совершенно точно и нет необходимости следить за точками жидкости внутри областей, даже если эти точки совер­ шают сложные движения. В § 3 мы покажем, как рассчитать плот­ ность заряда для произвольной границы. Удобно называть эти границы просто «контурами», так как у них одни и те же главные свойства. Фактически эти границы соответствуют областям фазовой плоскости, где «срастается» большое число контуров.

Первым, кто применил этот численный метод для исследова­ ния нелинейных свойств неустойчивости типа «отрицательной массы», был Доури [13], а Вудс [14] применил этот метод, чтобы описать захват частиц в «Астроне». Термин модель «водяного меш­ ка» был предложен Де-Паком [15], аналитически исследовавшим поведение электронных пучков, когда ограниченная область однородной плотности эволюционирует как несжимаемая жид­ кость в фазовом пространстве аналогично капле воды внутри идеально упругой и деформируемой оболочки.

С течением времени кривые вытягиваются и искривляются. Поэтому, чтобы точность расчета не уменьшалась, мы вынуждены рассматривать дополнительные точки. В конце концов вычисления приходится прекращать либо из-за очень медленного темпа счета, либо из-за нехватки «памяти» ЭВМ. Но прежде чем вычисления достигнут этой стадии, модель «водяного мешка» позволит решить задачу с хорошей точностью при небольших затратах машинного времени. Следовательно, эта модель — полезное добавление к дру­ гим имеющимся методам.

§ 2. Ф и зи ч ески е сво й ст ва с т у п е н ч а т ы х р а с п р е д е л е н и й

Хотя эволюцию ступенчатого распределения просто рассчитать, детальное исследование таких систем оправдано только в случае, когда их физические свойства подобны таковым для реальных