Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

непрерывных распределений. Это верно для явлений, которые зависят главным образом от общей формы функции распределе­ ния, а не от конкретных деталей. В этом случае часто можно добиться более глубокого понимания физики процессов, если оперировать со ступенчатым распределением, так как становится проще учесть порознь вклады индивидуальных областей фазового пространства. В качестве иллюстрации в этом параграфе мы дадим графическую интерпретацию наших расчетов таких нели­ нейных величин и явлений, выполненных с помощью модели «водяного мешка», как свободная энергия [16, 17], дебаевское экранирование, осцилляции плазмы, движение пробной частицы и тепловая двухпотоковая неустойчивость.

Хотя эти примеры существенно способствуют пониманию нели­ нейных процессов в двумерной фазовой жидкости, при экстрапо­ ляции полученных результатов на случай четырехили шести­ мерной жидкостей (N = 2 или 3) следует соблюдать осторожность, так как процессы в таких жидкостях поняты много хуже. Напри­ мер, в обычной гидродинамике известно, что имеются важные качественные отличия в турбулентном движении несжимаемых двумерной и трехмерной жидкостей. Соответственно некоторые явления, описанные в этой главе, могут и не обобщаться на слу­ чай большей размерности.

1. Свободная энергия

Полная энергия фазовой жидкости пропорциональна выраже­ нию

(4)

и должна оставаться постоянной при эволюции системы. Оба члена в выражении (4) определяются формой контуров Сj. Член для кинетической энергии можно сравнить с выражением для потенциальной гравитационной энергии системы несжимаемых жидкостей с постоянными, но различными плотностями (нефть

можно положить равной нулю, а если df/dv2 > 0, то жидкость может потерять кинетическую энергию при движении, когда различные области несжимаемой жидкости поменяются местами (аналогично случаю неустойчивости Рэлея — Тейлора на гра­ нице двух жидкостей). В этом движении области с большей плотностью «падают» по направлению к оси х, как показано на фиг. 2, отдавая свою энергию электрическому полю, в то время как области с меньшей плотностью движутся в противоположном направлении. Таково происхождение тепловой двухпотоковой

неустойчивости, обсуждаемой в § 2, п. 5. Однако эта гравитацион­ ная аналогия неточна, так как условие dfldE < 0 достаточно, но не

V

Ф 'и г. 2. Контуры в фазовом пространстве в случае двухпотоковой неустой­ чивости.

необходимо для обеспечения устойчивости. Нам встретятся случаи устойчивых конфигураций, когда это условие не выполняется.

2. Дебаевское экранирование

Дебаевское экранирование также можно представить графи­ чески. На фиг. 3 показана стационарная картина контуров одина­ ковой энергии

которая возникает вокруг точечного положительного заряда д. В случае ступенчатого распределения / постоянна между контура­ ми Сі и С2. Точки на верхнем контуре Сх движутся направо и при­ тягиваются зарядом q. Поэтому скорость щ (х) увеличивается и Cj возрастает при приближении точки к q и убывает при удале­ нии. На нижней кривой С2 ситуация аналогична. Эта деформация

и, следовательно, плотность отрицательных зарядов максимальна вблизи q и уменьшается до равновесной величины вдали от д. Захваченные частицы учитываются автоматически, при условии что / всюду постоянна. Это образование нейтрализующего заряда и есть дебаевское экранирование, которое приводит к исчезно­ вению электрических полей на больших расстояниях. Если бы заряд q был отрицательным, то контуры были бы деформированы

102 Гл. 3. Модель «водяного мешка»

где со — круговая частота и к — волновое число. Это соотношение точное. В случае же непрерывного (максвелловского) распределе­

можно представить графически как осцилляции / контуров в пло­ скости XV (аналогично колебаниям поверхности жидкости). При

Ф и г. 4. Два устойчивых распределения: непрерывное и ступенчатое.

этих осцилляциях кинетическая энергия переходит в электро­ статическую, и наоборот.

Плазменные колебания приближенно можно описать системой уравнений для жидкости, подчиняющейся закону идеального газа

ѵ%п~й= const,

где

v%= j dv к2/ (V, x).

Бетранд и Фикс [18] недавно показали, что в случае ступенчатой функции распределения, показанной на фиг. 4, эти уравнения совершенно точные при условии, что контуры на фазовой плоско­ сти — однозначные функции х.

Хотя дисперсионные соотношения (10) и (11) очень похожи, имеется важное физическое различие между этими двумя моделями. При ступенчатом распределении линейные осцилляции длятся бесконечно долго, в то время как при непрерывном имеет место затухание Ландау. Это различие возникает из-за локальной структуры непрерывной функции распределения, так как если dfldv2 < 0 в окрестности фазовой скорости волны Уф, то возни­ кают движения несжимаемой жидкости. В результате такого движения различные области жидкости обмениваются местами, причем скорость областей с большей плотностью увеличивается,

104 Гл. 3. Модель «водяного мешка»

Площади областей волны, обозначенных через В , меньше чем пло­ щади областей А; поэтому фазы В, в которых имеет место дефицит электронов, заряжены положительно, а фазы А — отрицательно.

Индивидуальные частицы на контурах постоянно обмениваются энергией с волной, так как всегда имеются различные фазы волны, локальная частота которой смещается из-за допплер-эффекта. Однако из фиг. 5 видно, что в лабораторной системе координат

синусоидально возмущенный контур должен образовываться из начального равновесного состояния. Чтобы это произошло, жидкость из областей B t и А г должна перейти соответственно в области А у и В г, причем площадь должна сохраняться. Кроме

того, имеется положительная энергия поля, (2V7co|,) (E2l2)dx,

которая добавляется к энергии системы.

С некоторыми изменениями этот же анализ можно использо­ вать и для непрерывных распределений, правда, в этом случае нужно рассматривать уже бесконечное число контуров. Хотя это больше и не очевидно из фиг. 5, области В , где контуры образу­ ют впадину при V < ѵф, заряжены отрицательно, а области А — положительно. Для областей фазового пространства, где ѵ > Кф имеется тенденция к обратному распределению заряда, которая, правда, не очень сильно выражена в случае распределений, экспоненциально спадающих с к2, подобно максвелловскому рас­ пределению. Как и прежде, можно показать, что средняя кинети­ ческая энергия в лабораторной системе координат увеличивается в результате возмущения. В приложении 1, рассматривая обоб­ щенную ступенчатую функцию с большим числом малых ступеней и переходя к пределу, мы докажем эти утверждения.

Другая важная область, показанная на фиг. 5, находится между контурами С4 и Сь. В ней жидкость вращается во впадине

как в возмущенном состоянии такие контуры /, как С0, с двух сторон огибают уровень ѵ = ѵф, в то время как в обычном равно­ весии функция имеет большую величину для меньших ѵ. Из факта перераспределения жидкости следует, что в среднем большие величины / увеличиваются, а меньшие — уменьшаются. В при­ ложении 1 показано, что разница А^кин в плотности кинетиче­ ской энергии между возмущенным и равновесным состояниями

В переходном случае, когда вначале имелось электрическое поле Е 0 с волновым числом к, резонирующая область будет по­ глощать энергию и эволюционировать в стационарное состояние. Чтобы это состояние достигалось прежде чем исчезнет электри­

ческое поле, начальная плотность энергии поля~(Ѵ/(Ор)ЕІ дол­ жна быть больше энергии, необходимой для образования ловушки. Из этого неравенства следует, что

где

{дЦдѵ)ч

дед/öcü

— линеиныи инкремент затухания, ен —■действительная часть диэлектрической проницаемости для действительной со и для плазменных колебаний дгв /да> ж 2/сор. Перегруппировав члены, найдем, что условие достижения стационарного состояния в поле с конечной амплитудой имеет вид

Таким образом, в случае малого, но конечного электрического поля, удовлетворяющего условию (15), должна возникать стацио­ нарная волна как при непрерывном, так и при ступенчатом рас­ пределениях.

4.Движение пробного заряда

Вслучае простого ступенчатого распределения (/ Ф 0, |у| < V)

при движении пробного заряда со скоростью |у| < V через плазму имеет место экзотический эффект сверхтекучести. В общем случае торможение D частицы, движущейся со скоростью ѵ, определяет­ ся как

В случае ступенчатого распределения Im е = 0, и потому тормо­ жение будет иметь место, только если скорость частицы равна