Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

■106 Гл. 3. Модель «водяного мешка»

фазовой скорости собственной моды колебаний. Из уравнения (11) следует, что | с о / А V,| и, >следовательно, торможения нет, если

\ѵ\ < V. Если же И > V, то пробный заряд непрерывно возбуж­ дает черенковское излучение и потому теряет энергию и замед­ ляется.

Этот эффект сверхтекучести не является общей характери­ стикой непрерывного распределения. Пробный заряд вызывает обменные течения в фазовом пространстве, которые взаимодей­ ствуют с локальным градиентом скорости /, так что он всегда тормозится, если df/dv2 < 0. [Заметим, что Im s ~ df/dv2 в первом члене выражения (16).]

5. Двухпотоковая неустойчивость

Использование обобщенной ступенчатой функции для описа­ ния взаимодействия между двумя взаимопроникающими тепловы­ ми потоками — еще один пример, иллюстрирующий линейные и не­ линейные процессы [12, 20, 21]. На фиг. 6 показаны две функции

F

Ф и г. 6. Два распределения, соответствующие тепловой двухпотоковой неустойчивости.

распределения, соответствующие равновесному состоянию в случае двухпотоковой неустойчивости, а на фиг. 2 — контуры в фазовом пространстве для ступенчатого распределения. Функция рас­ пределения постоянна между контурами Сі и С2, С3 и С4 и равна нулю в любом другом месте.

Рассмотрим синусоидальное возмущение с нулевой фазовой ско­ ростью. Возмущенная конфигурация, которая оставляет площадь инвариантной, возникает из начальной развновесной конфигу­ рации, если жидкость из областей А с внутренних кривых сме­ щается в области В и аналогично из областей В с внешних кри­

системы. Из уравнения (12) следует, что в предельном устойчивом случае потери кинетической энергии пропорциональны і/ѵ2—1/щ, где Ѵі и уг — скорости соответственно на внешних и внутренних кривых.

Неустойчивость может возникнуть только в случае, если возможно такое отклонение от равновесия, которое не меняет полной энергии. В рассматриваемом случае потери кинетической энергии на внутренних кривых при «падении» жидкости из обла­ сти А в область В компенсируются частично за счет энергии поля и частично за счет увеличения кинетической энергии на внешних кривых. И действительно, в этом случае возникает неустойчивая мода, линейное приближение которой имеет вид, аналогичный показанному на фиг. 2.

В случае двух тепловых потоков внешние кривые играют не­ существенную роль в возникновении неустойчивости. Из типа модуляции скорости на внешних кривых [см. (7) и (12)] видно, что эти кривые экранируют заряды, генерированные внутренними кривыми, как объяснено в § 2, п. 2. Однако, чем более они разде­ лены в пространстве скоростей, тем менее эффективно экраниро­ вание, как следует из уравнения (8). В случае такого разделения, когда внешними кривыми можно пренебречь, система полностью характеризуется полостью в фазовом пространстве между кривы­ ми С2 и С3. Следовательно, эту задачу можно рассматривать как задачу эволюции полости в электронной фазовой жидкости. Показано [25], что такое рассмотрение совершенно эквивалентно эволюции одномерной гравитационной системы, для которой функция распределения постоянна между С2 и С3 и равна нулю в любом другом месте.

Фиг. 7 иллюстрирует нелинейные эффекты в задаче с двумя потоками, рассчитанные на ЭВМ [21]. Полость перерождается в устойчивые структуры в фазовом пространстве, которые ана­ логичны одномерным звездам [22]. В приближении, когда внеш­ ними контурами можно пренебречь, анализ единственной полости показывает, что она устойчива. Однако можно ожидать, что система полостей будет неустойчива, так как полости должны притягиваться друг к другу. На фиг. 7 можно видеть структуры двух полостей в процессе слияния из-за этих сил притяжения. Наличие внешних кривых не меняет существенно интерпретации, так как они только экранируют силы притяжения. Поэтому под системой, показанной на фиг. 7, можно понимать систему грави­ тирующих звезд, притягивающихся друг к другу в соответствии с дебаевским (или мезонным) потенциалом, который удовлетво­ ряет уравнению, аналогичному (8). Из фиг. 7 видно, что за выче­ том мест около острых пиков две внешние кривые изменяются

108 Гл. 3. Модель «водяного мешка»

адиабатически и только экранируют положительные заряды поло­ стей в противоположность неадиабатическому изменению внут­ ренних кривых.

Проведенный анализ двухпотоковой неустойчивости остается в силе и в случае непрерывных распределений; расчеты на ЭВМ для непрерывных распределений привели к аналогичным резуль­ татам [11, 8].

Ф и г . 7. Эволюция полости в случае двухпотоковой неустойчивости.

6. Вихри в фазовом пространстве

Так как полость заряжена положительно, она окружена по­ тенциальной ямой, в которую попадают электроны с близлежащи­ ми скоростями. В окрестности полости фазовая жидкость вращает­ ся по часовой стрелке. В фильме, снятом с помощью ЭВМ путем расчета траекторий частиц, каждая полость выглядит как вихрь в жидкости [21]. Таким образом, вихри в фазовой жидкости при­ тягивают друг друга, и, что очень интересно, аналогично ведут себя вихри конечного размера в реальной несжимаемой жидкости в двумерном случае. Расчеты постоянно совершенствуются, так что можно надеяться на прогресс в понимании этого явления.

§ 3. Ч и с л е н н ы е методы

В наших расчетах каждый контур Cj аппроксимировался цепочкой лагранжевских точек Pjt г, соединенных друг с другом прямолинейными отрезками (сегментами), как показано на фиг. 8. Соседние точки должны быть расположены достаточно близко друг от друга, чтобы сумма площадей трапеций с хорошей точно­ стью аппроксимировала постоянную площадь внутри контура. Чтобы включать или исключать точки, когда сегменты вдоль контура оказывались слишком длинными или короткими, в про­ цессе расчетов использовалась разработанная техника вычисле­ ний, которая описана в § 3, п. 2.

Точки Pi, і представлялись в виде целых констант с фиксиро­ ванной запятой, так как в задачах с периодическими граничными условиями слежение по координатам в этом случае оказывается особенно эффективным. Жидкость в верхней половине фазовой

V

Ф и г . 8. Численная аппроксимация непрерывного контура.

Точки соединены прямолинейными отрезками; стрелки показывают направление цепочки.

плоскости постоянно движется направо, так как ѵ > 0, а в ниж­ ней половине — налево, что приводит к возникновению горизон­ тального течения. Таким образом, кривая, которая сначала цели­ ком лежит внутри области с основным периодом 0 ^ х < L, в кон­ це концов может пересечь левую или правую границы несколько раз. Использование целых констант для представления координат без труда позволяет спроектировать точку Pj, г на основной период. Для этого нужно лишь дешифровать номер периода, который хранится в самой важной части координатного кода. Это означа­ ет, что нет необходимости проверять для каждой частицы, пере­ секла ли она границу периода или нет. Более подробно этот вопрос обсуждается в п. 1.

HO Гл. 3. Модель «водяного мешка»

Уравнение Пуассона или интегральная форма этого уравне­

равной толщины Аж. Чтобы из уравнения (17) определить электри­ ческое поле, необходимо вычислить площадь Aj,m между конту­ ром j и осью X для каждой эйлеровской полосы т. Для этого рассматриваются по порядку точки на С;- и для каждой пары соседних точек определяется площадь трапеции. Если площадь выходит за пределы одной эйлеровской полосы, то для каждой полосы вычисляется связанная с ней площадь. Без какой-либо дополнительной проверки этот метод автоматически обеспечивает правильность вычислений для контура произвольной формы, включая кривые с многими значениями ѵ при данном х. Для контуров в виде многоугольников этот метод точен.

Если поле в эйлеровских точках хт вычислено, то поле в каж­ дой лагранжевскойточке Р/, t можно определить, используя линей­ ную интерполяцию между концевыми точками эйлеровского интервала, внутри которого лежит точка x t. Затем рассчитывает­ ся эволюция во времени формы контура с помощью метода «с пере­ шагиванием» второго порядка:

x t Цге + 1)Аг] = Хі [(re—\)At] -f- 2Ѵі [nAt]At,

Vi [(re + 1)Аг] = Vi [(re—1))Аг] + 2E t [nAt]At.

Этот метод вычислений рассматривается в § 4, где показывается, что он неустойчив. Однако это слабая неустойчивость, и можно добиться устойчивости, если периодически синхронизовать кон­ туры, связанные с нечетными и четными шагами по времени.

Для диагностики очень полезной оказалась усредненная функ­

ция распределения (1IL) \f(x,v)dx для данного момента времени.