ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 284
Скачиваний: 6
§ 3. Численные методы |
117 |
щуюся в точке В. Точки между С — А и В — D становятся не нужными и их прибавляют к списку «свободных мест».
В случае фиг. 9, б точки двойной кривой левее А, С и правее D, В можно включить в список «свободных мест». Кроме этого, необходимо образовать замкнутую кривую, точки которой должны располагаться друг за другом по часовой стрелке. Для этого
Ф и г. 9. Три случая срастания контуров.
звено кривой между точками А жВ нужно перевернуть. В програм ме оператор CALL REVLINK (ІА, IB) изменяет направление звена между точками А и В соответственно с серийными номерами ІА и ІВ; после этого можно соединить точки А я С, а также D и В.
Остается еще одна трудность, так как значения координат меж ду А и С и между D и В могут отличаться на кратное длине пери ода L. В этом случае вызов подпрограммы MASCUR (ІС) исправит положение, и координаты точек на вновь образованной кривой ІС будут изменяться непрерывным образом.
На фиг. 9, в показан третий случай, когда двойная кривая разделяет две области 1 я 3 с разными значениями /. Вначале эти
118 |
Гл. 3. Модель «водяного мешка» |
области не были смежными. В этом случае мы можем отбросить участок С — D, соединить точки С и А, а также В и D, соответ ствующим образом изменить направление присоединенных участков и определить кривые нового типа (тип 2), которые соединяют точки А и В двух других контуров и для которых Д/ — / з — f 1. Эта возможность еще не использовалась.
5. Расчеты средней функции распределения
Большой интерес часто представляет средняя функция распре деления, которую можно рассчитать по формуле
І(ѵ) = Ь~1 |
J /(ж, |
v)dx = L~1 j d x ^ A/j-Ѳ[к —Vj(x)\. |
(41) |
|
|
i |
|
Практически |
более |
эффективным оказывается вычисление |
|
df(v)/dv и последующее интегрирование этой производной по ѵ. Из уравнения (41) мы имеем
■%- = Ь“1 2 M l j dx б [г; — Vj (ж)] =
3
рdx(vj)
= L_1 2 M i ) d v j ■ d v j - б (V — V j ) =
3
= b -l 2 b f > ) ^ 7 d v l . (42)
3
Чтобы вычислить эту сумму, разделим фазовую плоскость на 2N горизонтальных эйлеровых полос шириной At;, как показано на фиг. 10. Для каждого контура Сj «средний наклон»
связан с п-й горизонтальной полосой, центр которой лежит при i/г = (п + Ѵ2) Ак, (—N ^ п ^ N — 1), следующим . соотно
шением:
dx \ i |
{ Ах \ . |
2 |
-^ -[« (р )—*(«)]. |
(43) |
по всем подсегментам
где Xj (ß) и Xj (а) — координаты точек контура Сj, в которых он пересекается с границами полосы. Поскольку контур просма тривается в направлении соединяющего отрезка, а встречается раньше ß.
§ 3. Численные методы |
И |
Практически мы определяли элементарные наклоны, просмат ривая по порядку лаграшкевские точки на каждом контуре и вы числяя с помощью операции типа MASK, к какой горизонтальной полосе принадлежит каждая точка. Если точка х " , следующая за
и/йѵ
Ф и г . 10. Аппроксимация формы контура для расчета F (ѵ).
-х', лежала в той же самой полосе, то разность координат (х" — х ’) прибавлялась к текущему значению Ах этой полосы. Если эти точки лежали в соседних полосах, то интерполированием находи лась точка пересечения x'" и разности {х"' — х') и (х" — х'") прибавлялись к текущему значению Ах соответствующих полос. Кроме этого, программа могла анализировать более общие слу чаи, когда пару лагранжевских точек разделяло более одной горизонтальной границы или когда точки лежали за пределами сетки скоростей.
В результате такого просматривания определяется (Ах!АѵѴ |
|||
|
|
|
Ѵп+і/г |
для контура любой |
формы. Затем среднее распределение |
/ (ѵп) |
|
можно вычислить как сумму |
|
|
|
2 |
а /, 5 ' ( ■ £ ) ; « „ |
- N < n < N . |
(44) |
|
|
||
Іp = - N
120 |
Гл. 3. Модель «водяного мешка» |
Эти расчеты не так точны и занимают больше времени, чем вычисление распределения заряда. Однако они проводятся только в диагностических целях и не выполняются после каждого шага по времени.
§ 4. У ст о й ч и во ст ь м ет ода «с п ер еш а ги в а н и ем »
Лагранжевские точки на контурах удовлетворяют уравнениям движения частиц (2). На первый взгляд могло бы показаться, что решение уравнения Власова с помощью вычисления движения этих точек аналогично расчету движений индивидуальных частиц по программе, в которой вычисляются траектории большого числа частиц. В любом случае выгодно слегка поварьировать координа ты, скорости и ускорения, чтобы при интегрировании по времени добиться точности до величины второго порядка малости. Таким образом, в случае, когда силы не зависят от скорости, ускорение в момент t = геДг можно использовать для вычисления прира щения скорости от момента (п — V2) At к моменту (п + 1/2) Аt,
а эту скорость — для расчета приращения координат от момента
пМ к моменту |
(n + 1) Аt, |
т. е. |
разностная |
схема для частиц |
||||||
имеет вид |
|
[ ( и ~ т ) |
|
( |
ДО» |
«ДО ДО |
(45) |
|||
Ѵі |
[ ( ” + т ) |
=Ѵі |
|
|||||||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
||
|
х і [(« + 1 ) ДО = % і [ п |
Аі] + |
Ѵ і |
+ |
y |
) |
Д*] ДО |
|
||
Эту схему можно использовать для вычислений, так как плотность заряда, которая нужна для расчета Е в момент t, зависит только от координат x t (t) и не зависит от скоростей, которые, следова тельно, не обязательно должны быть определены к этому моменту времени. Однако если используется модель «водяного мешка», то плотность заряда определяется формой контура, которая в каж дый момент зависит как от координат, так и от скоростей в тот же самый момент времени. Поэтому требуется более разработан ная разностная схема *).
г) Как недавно сообщил нам К. Саймон, интеграл j fdv, определяющий
плотность заряда, может быть вычислен, если использовать значения ско ростей в момент времени, смещенный на Аі/2, так как, согласно первому уравнению системы (45), все контуры при фиксированном х смещаются в этом случае как единое целое в вертикальном направлении. Из этого следует, что уравнения (45) можно использовать для расчетов с точностью до членов второго порядка по Д£ и в случае модели «водяного мешка». В период написа ния программы мы не обратили внимания на это обстоятельство и использо вали метод «с перешагиванием», который описывается в данном параграфе.
§ 4. Устойчивость метода «с перешагиваниемъ |
121 |
1. Нечетные и четные фазовые пространства
Метод, позволяющий проводить вычисления с точностью дочленов второго порядка,— это схема «с перешагиванием». В этом методе используются два фазовых пространства: нечетное про странство 5 0, в котором координаты и скорость определены в «не четные» моменты времени (2п + 1)А4 и четное пространство S e, в котором эти величины определяются в «четные» моменты времения 2nAt (п — 0, 1, 2, ...). Четное пространство определяет движе ние контуров в нечетном пространстве, и наоборот. Разностныеуравнения имеют вид
х0 [(2п + |
1)А4 = |
х 0 [(2п — 1)А4 + 2ѵе (2nAt)At, |
|||
Vo \(2n + |
1) A4 = |
v0 l(2n — 1) |
A4 -f 2Ee (2nAt) |
At, |
|
|
|
|
|
|
(46). |
xe [(2n + |
2) A4 = |
xe (2nAt) + |
2v0 [(2n + |
1) A4 |
At, |
ve t(2n + |
2) A4 = |
ve (2nAt) + |
2E 0 [(2n + |
1) A4 At, |
|
где индексы о и е обозначают соответэтвенно нечетные и четные значения.
2. Неустойчивость расчета
Трудность, с которой приходится сталкиваться при использо вании различных схем «с перешагиванием», состоит в том, что могут возникать ложные движения точек. Эти движения возникают
Пространство S0 |
Пространство Se |
Ф и г . 11. Сопряженные нечетное и четное пространства.
Форма контура в Se используется для расчета изменения формы в S 0 , и наоборот.
потому, что в этом случае при численном интегрировании степеней свободы в 2 раза больше, чем в реальной физической системе. В случае нашей модели каждый физический контур определяется двумя сопряженными кривыми С0 и Се, как показано на фиг. 11. Каждой точке (х0, ѵ0) соответствует сопряженная точка (хе, ѵе) на Се. Конфигурация контуров С0, е позволяет рассчитать поля Е 0і е
122 |
Гл. 3. Модель «водяного мешка» |
в лагранжевых |
точках х0і е, а затем, используя ѵ0, е и Е 0, е,— |
приращения к х еі0и р е, 0. В пределе при At -> 0 эта спаренная система представляет исходную физическую систему, если вначале контуры С0 и Се были точно синхронизованы друг с другом. Однако любая десинхронизация может привести к совершенно искаженным движениям, и за конечное время возникнут большие отклонения от действительного состояния.
В разностной схеме с конечным At нельзя ни определить конту ры С0 и Се точно в один и тот же момент времени, ни вычислить их истинные движения. Следовательно, нельзя требовать, чтобы они все время оставались согласованными. Асинхронные движения обязательно возникнут. Поэтому, чтобы предотвратить возник новение больших расхождений между двумя системами кривых, их необходимо периодически синхронизовать, усредняя сопря женные координаты.
В применении к плазме мы установили, что асинхронные дви жения приводят к слабой линейной неустойчивости расчета, кото рая аналогична неустойчивости Джинса в соответствующей физи ческой гравитационной системе и которая в первом приближении не зависит от At. Интересно отметить, что асинхронное движение в случае гравитационной задачи не столь велико, так как оно приводит к устойчивым вычислительным модам, аналогичным плазменным колебаниям.
Проанализируем теперь асинхронную неустойчивость с коли чественной стороны и опишем используемый в настоящее время
метод синхронизации. |
Более |
детальное рассмотрение |
приведено |
|
в приложении 2. Так как в |
пределе Д£—ѵО неустойчивость не |
|||
исчезает, |
то мы рассмотрим сначала этот более простой случай, |
|||
который |
описывается |
системой дифференциальных |
уравнений. |
|
3. Синхронная и антисинхронная моды
Рассмотрим равновесное состояние, в котором функция рас пределения представляется N горизонтальными контурами Cj, определяемыми уравнениями vj (х) = Vj = const. Скачок в ве личине/на каждом контуре равен Afj = fj — fj-i- В случае равно весия нечетные и четные контуры идеально синхронизованы.
Линеаризованные уравнения движения, описывающие возму щение равновесного состояния, имеют вид
(47)
(48)
(49)
