ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 285
Скачиваний: 6
§ 4. Устойчивость метода чс перешагиванием» |
123 |
где б — характеризует отклонение кривых от начального состо яния.
Вследствие симметрии уравнений можно выделить два незави симых класса решений: синхронные моды с
бX j |
Л |
( |
ÖXj |
гбz+'i |
|
бV) |
> = |
\ |
Ьѵе} |
<övf I |
(50) |
Е° |
|
|
Ее |
•£+ J |
|
и антисинхронные моды с
Ьх] |
|
|
(51) |
Ее |
|
Для каждого класса уравнения имеют вид |
|
[ w + v >т |т ] & ? = + %*. |
(52) |
■W + Vi £ ] < * ? = * |
(53) |
- ^ = # - 2 v r t w - |
(54) |
|
з
Заметим, что уравнения (53) и (54) не зависят от (52) и образуют замкнутую систему. В антисинхронном случае эти два уравнения инвариантны по отношению к преобразованию Е~ —>■—Е~, (Ор —>■—(dp, которое трансформирует их в систему уравнений, используемую при исследовании неустойчивости Джинса.
4. Обобщенное дисперсионное соотношение
Так как уравнения линейны и описывают возмущения про странственно однородной системы, мы можем использовать анализ Фурье и искать решение в виде А (х , t) = А (к) ехр (— + ікх). Если это выражение подставить в уравнения (53) и (54), то полу чим следующее обобщенное дисперсионное соотношение:
|
N |
А/; |
|
0 |
|
|
|
1 + ■ |
2 |
= |
, |
(55) |
|||
kV |
|||||||
2*21/2 |
|
— - — |
U j |
|
|
|
|
где верхний знак относится к синхронной моде, |
а нижний — анти |
||||||
синхронной; 2Ѵ — 2 MjVj и иі = Vj/V. Это соотношение описы вает все линеаризованные физические и вычислительные моды.
124 |
Гл. 3. Модель «водяного мешка» |
В частном случае N = 2, Ft = — V2 = V дисперсионное соотношение сводится к формуле
С02 = ± 04 + к2Ѵ2, |
(56) |
которую легко проанализировать. Верхний знак соответствует физическим плазменным колебаниям, а нижний — приводит к не
устойчивости расчета типа Джинса, если |&| < F/top. Этот резуль тат — общее свойство распределений, монотонно уменьшающихся
5
Ф и г. 12. Схематическая диаграмма функции G (£).
Область неустойчивости находится в промежутке а — Ь.
с ѵ2. При ступенчатой функции для получения аналогичного результата надо предполагать, что Аfj >> 0, если Fj > 0, и Аfj < < 0, если Vj < 0. В общем же случае ответить на вопрос, будет ли неустойчивость, можно, если исследовать диаграмму функции
N
|
|
аfs' |
|
(57) |
|
<?(£) = 2 |
L -uj |
’ |
|
|
|
|||
|
І=1 |
|
|
|
показанную на фиг. 12, |
где £ = |
co/TcF — фазовая скорость. Так- |
||
как дисперсионное соотношение |
(55) можно представить в виде |
|||
/с2Ц2 |
N |
|
|
|
У, |
|
|
(58) |
|
(І>І |
|
|
||
kV
то его корни определяются местами пересечений G (сolkV) с гори зонтальной линией. Эта линия проходит в верхней половине плоскости в синхронном случае, и в нижней — в антисинхронном. Мы видим, что для монотонных распределений, соответствующих фиг. 12, имеется N вещественных корней для всех к2 в синхронном случае. В антисинхронном случае два корня в области 0 < к2 < к20
§ 4. Устойчивость метода «е перешагиванием» |
125 |
пропадают, где Ң « Wp/V2. Эти два корня лежат в комплексной плоскости (а>/&) и соответствуют двум комплексным корням, кото рые определяются из уравнения (56). Аналогичным образом можно исследовать немонотонные распределения.
Следует отметить, что уравнение (56) — самое общее соотно шение, если уравнение Власова интегрируется методом «с пере шагиванием». В предельном случае непрерывных распределений оно имеет вид
%_ |
Г dv |
df/dv |
(59) |
kW |
J |
‘І.со— kv |
|
С точки зрения численных приложений гравитационная неустойчивость — слабая вычислительная мода, так как в разно стной схеме можно использовать много шагов по времени [порядка (сорЛг)-1], прежде чем асинхронное поведение станет заметным. Следовательно, периодическая, но нечастая синхронизация нечет ных и четных контуров вполне достаточна, чтобы подавить неже лательные неустойчивые движения.
5.Синхронизация контуров
Вбольшинстве расчетов используется следующая процедура синхронизации. Предположим, что на некоторой стадии вычисле
ний координаты, скорости и ускорения для нечетных контуров в момент (2п + 1) At и для четных в момент 2nAt известны. Асин хронная компонента затем отфильтровывается введением следу
ющих усредненных переменных для момента времени (2п + |
Ѵ2)А£: |
|||
X] Г ( 2п + |
—) ДЛ = j {Xj [(2п + 1) Д£] + x t (2п А*)}, |
|
||
- |
Г/ |
П |
1 1 |
<60) |
V] |
[ ( 2 в + |
I ) |
A t \ = \ { y } {{2n + i)At\ + V} {2nAt}, |
|
|
Я [(2 л + т ) А*] = у {^[(2/г + 1) At] + E{2n At)}. |
|
||
Затем, давая |
координатам приращение за время + |
Аі/2, |
||
можно определить новую систему пар контуров. Приращения рассчитываются с помощью разложения в обычный ряд Тейлора:
Х і |
~(2п -г 1 ) At ~ |
= xt + Vk |
At |
E (At)2 |
|
2п At |
2 |
|
8 |
||
Ѵі |
~(2п А 1) At |
= V i A t ± |
E (At)2 |
(61) |
|
|
2п At |
|
|
2 |
|
Более полный анализ приводится в приложении 2.
126 |
Гл. 3. Модель «водяного мешка» |
§ 5. Р а с ч е т |
н е у с т о й ч и в о с т и «горб н а хвост е »1) |
Приведем некоторые результаты численного интегрирования неустойчивости «горб на хвосте» в плазме. Эта задача недавно исследовалась разными методами в работах [8, 9].
1. Равновесие и линейный анализ
На фиг. 13 показано начальное равновесное неустойчивое рас пределение. Параметры, определяющие это равновесное состоя
ние, равны: Vj = (1,0, 0,75, |
0,5, 0,25, 0,05, —1,0); |
= (0,4, |
—0,2, |
0,2, 0,3, 0,3, —1,0); ЮрДг |
= 0,05; VAtlДж = Ѵ8 и |
Ax/L |
= Ѵ64, |
-7 |
О |
1 |
Ф и г. 13. Равновесное распределение с «горбом на хвосте».
где 2Ѵ = ^jVjAfj = 1,44; L — длина периода; Да; — ширина эйлерова интервала сетки и At — шаг по времени.
Чтобы скорости двух внешних контуров были сравнимы, мы определили скорость в системе центра масс. Ясно, что неустой чивость возникает в результате взаимного «перетекания» несжима емой фазовой жидкости между областями 1 и 2. Ради удобства мы выбрали такие / 4 и / 3, чтобы в областях, где С2 и С3 срастаются, можно было исключить лагранжевские точки.)*
*) В оригинале: the bump-on-tail instability.— П рим , перев.
§ 5. Неустойчивость «горб на хвосте» |
127 |
Линейный анализ устойчивости показывает, что имеются пять приводящих к неустойчивости волновых чисел кп = (2яп)/Ь. Вещественные частоты сон и инкременты у для этих мод приведены в табл. 1.
Таблица 1
Частоты колебаний для неустойчивых мод
Номер
волнового числа, п
1
2
3
4
5
|
3 |
B«3 |
0,18
0,35
0,50
0,64
0,79
УМр
0,038
0,072
0,096
0,100
0,078
2. Взаимодействие волна — полость
Между распределением с «горбом на хвосте» и двухпотоковой неустойчивостью двух одинаковых взаимопроникающих потоков имеется важное качественное различие. В случае двухпотоковой задачи неустойчивые моды возникают только благодаря наличию полости, а если бы полости были заполнены, то этих мод не было бы вовсе. В случае распределения с «горбом на хвосте» система все еще может отдавать энергию волне при фазовой скорости, равной скорости полости, даже если полость заполнена. Таким образом, в случае нелинейного проявления двухпотоковой неустойчивости мы видим, что если «полости», или «дыры», образовались, то они имеют тенденцию двигаться как независимые частицы. «Дыры» притягивают друг друга, но из-за недостаточной вязкости жид кости окружающая плазма играет только пассивную роль. В случае неустойчивости типа «горб на хвосте» «дыры» эволюционируют и затем взаимодействуют с волнами основной системы. Описывая расчет, мы отметим наиболее интересные, на наш взгляд, явления, возникающие в результате такого взаимодействия волна — по лость.
3. Нелинейная эволюция
На фиг. 14 показана эволюция неустойчивости «горб на хвосте» в фазовом пространстве. В момент времени t = 0 самый верхний контур был возмущен сигналом, являющимся суперпозицией
