ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 288
Скачиваний: 6
138 |
Гл. 3. Модель «водяного мешка» |
Переходя к пределу в (69), получаем
т ~ £ г [ с о е л k)]’ (7°)
где символ Р означает главную часть. Мы получили стандартное выражение для энергии волны, непосредственно суммируя вклады от каждой области пространства скоростей.
Выражение для кинетической энергии, которая обусловлена взаимным обменом двух соседних контуров, лежащих в интервале Аѵ друг от друга, мы получим, подставляя в формулу (68) вели чину Аѵ вместо бѴі (х) и суммируя по всем контурам в области Аѵ. Так как возмущение энергии на каждом контуре пропорциональ но (Ди)2 и контуры лежат в области шириной Аѵ, то возмущение энергии пропорционально (Ди)3, и мы приходим к выражению (13) текста.
П р и л о ж е н и е Б . А н а л и з м ет ода с и н х р о н и з а ц и и
Чтобы проанализировать более детально метод синхронизации, рассмотрим линейное решение уравнения (47) в предельном слу чае, когда Ах —>- 0, но At остается конечным. Этот анализ анало гичен случаю, когда At ->• 0, и показывает, что линеаризованная модальная реакция выражается следующим образом:
/* |
г |
(М |
бVJ (П At) дг = г j dk exp [ikx^] 2 |
|
exp ( — inQ^) + |
а |
|
за |
/4\п. <£ — / 7Л
(71)
Е(п At, Xj){Atf = j dk exp [ikxf] 2 |
(k) exp ( - inQ+a) + |
|
|
a |
|
+ (— l) n I « |
(k) exp (— inQja), |
|
где |
|
|
Q j a — [<йа (k) -j- k V j ] A t , |
Ц;« — |
(k) -f- -д^- -j- kvjJ At, |
Приложение Б |
139 |
и обе величины, ®а и й)а, удовлетворяют дисперсионному соотношению
1 |
-л |
______ Af_j______ |
= |
0. |
(72) |
|
2kV 4* |
sin [(соа —kvj) Ai] |
|||||
|
|
|
|
Если соД^сД, то решение уравнения (72) отличается от решения уравнения (55) только множителем Ѳ ЦсоЛД2].
Для определения количественного эффекта синхронизации разложение по модам (71) нужно подвергнуть операциям фильтра ции, определенным уравнениями (60). Таким образом, получаются следующие средние значения координат:
бX] == |
j |
( t |
t |
e |
|
x |
p |
l |
i |
f |
a f |
’ ] |
2 |
X{ |
>«“ ■ ( • % ) - < |
|
|
|
|
|
|
« P |
[■-* |
( 2 * - + |
i ) |
<*.] } , |
|||
j At = i j |
dk exp [ikxf]] 2 |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ Qt„ |
|
\ |
|
%z |
|
exp |
X |
|
|
|
||
|
|
X cos ( 4 |
t ) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
vx |
T . |
|
sm Q ja |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0111 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
T)(Atf= |
^ d k expr - |
' ■ L ( 2i'r+ |
i |
) £ii“ ] sin ( i T L ) } - |
(73) |
|||||||||
[ikx^]r-7 (0)l |
2чп {f e,+ (k)/’- 'exp-------X |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X [ — 1 ( |
|
+ |
|
т ) |
|
|
cos ( —1 ~ )' |
|
|
|||
Заметим, что эта операция отфильтровывает антисинхронную компоненту и проектирует остаточную амплитуду Шй sin (Qja/2) на синхронное состояние. Если теперь использовать (61) для образования новой системы контуров и пренебречь остатком, то получим, что новое разложение по собственным модам приближен но выражается следующими формулами:
бXj = — j dk exp [ikxf^] 2
. exp( —i/iQ+e)
[1 + 6(Q4)]
sin2 Q+a
( —1)*6(Q3) |
g„exp( — inCija)- |
(Й+)2 ‘ |
||
4 sin2 |
Q+a } • |
|||
si n2 fita |
|
|||
140 |
Гл. 3. Модель «водяного |
мешка» |
bvj At = i j |
dk exp [ikxf'1] 2 { %a* |
^ - [1 + Ѳ(^4)] + |
аза
+ |
(~8ІП ^ЙЗ) |
еХР ( ~ inQ^“) } ’ |
(74) |
Е (Xj) (At)2 = j dk exp [ikx'p] |
2 {§« exP ( — іпЩа) [1 + Ѳ(Q4)] |
+ |
|
а
+ (— 1)” Ѳ(О3) Шаexp (inQja)}.
Теперь амплитуда новой антисинхронной моды порядка Ѳ(О3),
вто время как амплитуда синхронной моды остается неизменной
впределах ошибки Ѳ(Q4). Кроме того, метод синхронизации дает начало новой моде смещения с амплитудой
(bxh) = |
т 2 |
|
4 S in 2 Q + a • |
Эта мода получается при горизонтальных смещениях равновесных контуров без какого-либо вертикального перемещения. В случае линейной теории пространственно-однородных конфигураций, ко торую мы здесь рассматриваем, этим смещением можно прене бречь, так как таким движениям не соответствует какое-либо электрическое поле. В случае же нелинейных движений или пространственно-неоднородных равновесных задач эта мода мо жет быть более важной.
Оптимальная частота синхронизации определяется из условия минимизации вносимой ошибки на один шаг по времени. Вначале
амплитуда |
антисинхронной моды приближенно равна |
(0+)3 » |
|
~ ((OpAt)3. Если моды синхронизуются после N шагов, |
то эта |
||
амплитуда |
возрастает до величины (сорДt ) 3 exp ( N a > p A t ) |
и |
после |
фильтрации |
остаток (сорД£)4 ехр (N<x>p A t ) проектируется |
на син |
|
хронную моду. Средняя ошибка на шаг по времени, ER, опре |
|||
деляется как |
|
|
|
|
exp (Naip At) |
|
|
|
ER = (сйр Д^)5 |
|
|
|
N(üp At |
|
|
Это выражение минимизируется при N = 1/сорДС Для мини |
|||
мальной ошибки имеем |
|
|
|
|
ERmhh= (öp Atfe . |
|
(75) |
При получении этой оценки мы предполагали, что модой смеще ния можно пренебречь. Однако, поскольку большинство наших расчетов проделано для нелинейных задач, мы, по-видимому, должны считать, что эта мода смещения при каждой синхрониза ции будет источником ошибки искажения, равной Ѳ [(сорДг)2].
Приложение Б |
141 |
В этом случае средняя ошибка на шаг по времени равна
ER = |
(top At)3 |
(tflp At)5 |
|
IVcöp Af |
N (Op Ai exp (NcOp Af). |
|
|
|
|
|
|
Эта ошибка минимизируется |
при |
|
|
|
IV |
2 ln (соp Af) |
|
|
|
■cop Af |
|
когда она становится равной |
(Ыр Af)3 |
|
|
|
ERМИН /'s*' |
(76) |
|
|
|
* 2 ln (о)р Af) |
|
Был разработан метод чередующейся синхронизации, который может уменьшить величину асинхронного остатка до Ѳ (£13), хотя при этом искажается синхронная компонента на величину Ѳ (Q2). Возможно, такая схема будет представлять интерес при рассмо трении пространственных задач.
В новой схеме вместо фильтрации контуры той и другой чет
ностей сначала интерполируются к новым значениям |
координат |
|||
в один и тот же момент времени t — (2N + |
Ѵ2) Аt: |
|
||
x f [ ( 2N + 1 |
) А*] = xj [(2ЛГ + 1) At] - |
Vj (2N At) |
, |
|
^ 0)[ ( 2 ( V + |) |
Аг]=нИ2 |
Лг+1)АМ -£(2ДГАг, Xj) ^ - , (77) |
||
x f [ ( 2ЛГ + \ |
) A*] = X, |
(2N At) + v, [(2ЛГ + 1) At] |
, |
|
v f [ ( 21V + у ) At] = Vj (2N At) + E[(2N + i) At, x}]^ .
Антисинхронные компоненты затем отфильтровываются при
усреднении этих |
координат: |
|
|
|
|
|
х і = |
Jeh |
- |
I r |
(о) |
Je) 1 |
(78) |
Y lx f - |
Vj = |
- ö - |
[Vj - |
|
||
Эти новые координаты определяют новую |
плотность заряда, |
|||||
которая позволяет вычислить электрическое поле Е [(2п + Ѵ2)А£].
Затем |
для расчета новой системы контуров в |
моменты 2NAt |
и (2N |
+ 1)Аt можно использовать уравнение (61). |
|
Анализ мод этой схемы показывает, что синхронная мода |
||
искажается на величину порядка Ѳ(Q2). После |
каждой синхро |
|
низации устанавливается антисинхронная компонента с ам плитудой Ѳ(Q3), и проекция этой компоненты на синхронную
142 |
Гл. 3. Модель «водяного мешка» |
моду дает остаточную амплитуду
Q3 • Q3 exp (NQ) та (сор А7)2 exp (iVcop Ai).
Ошибка на шаг по времени равна
ER: |
(сор Аt)3 |
[1 + |
(wp Ai)4exp (Na>p Ai)]. |
iVcöp Af |
|||
Оптимальная |
величина |
N |
= ІѴ0ПТ и минимальная ошибка |
в случае этой схемы таковы:
4 ln (сор At)
N п |
(Op Ai |
|
|
(79) |
|
ERM |
(сйр At)3 |
|
4 ln (cöp Ai) |
||
|
Эти оценки ошибок несколько лучше, чем оценка (76), однако они пока еще не использовались в расчетах.
ЛИТЕРАТУРА
1.Berk Н . L ., Nielsen С. Е ., Roberts К . V., «Phase space hydrodynamics of equivalent nonlinear systems: Experimental and computational observa tions», Rept. UCRL-71438, Lawrence Radiation Lab., Livermore, Cal., 1959.
2.NASA Rept. SP-153, Symp. Computer Simulation of Plasma and Many Body Problems, Williamsburg, 1967.
3.Los Alamos Rept. LA-3990, Proc. APS Conf. Numerical Plasma Simulation
4. |
of Plasma, Los Alamos, 1968. |
|||
Killeen / . , Rompel S . L ., Journ. Comput. Phys., 1, 29 (1966). |
||||
5. |
Roberts |
К . |
V., |
Weiss N . 0 ., Math. Comput., 20, 272 (1966). |
6 . |
Buneman O., Phys. Rev., 115, 503 (1959). |
|||
7. |
Dawson J . M ., Phys. Fluids, 5, 445 (1962). |
|||
8 . |
Morse R . L ., Neilson C. W ., [3], p. A4. |
|||
9. |
Dawson J . M ., Hsi C. G., Shanny R ., [8 ], p. Al. |
|||
10. |
Knorr |
G., |
Zs. |
Naturforsch., 18a, 1304 (1963). |
11.Armstrong T. P ., Phys. Fluids, 10,- 1269 (1967).
12.Berk H . L ., Roberts К . V., [2], p. 91.
13.Dory R . A ., Midwestern Univ. Res. Assoc. Rept., 654., (1962).
14.Woods С. H ., «Interaction of a Vlasov System with dissipative Structures»,.
Rept. UCRL-71302, Lawrence Radiation Lab., Livermore, Cal.; Plasma Phys., в печати (1969).
15.De Packh-D. C., Journ. Electron Contr., 10, 13a (1962).
16.Gardner C. S ., Phys. Fluids, 6 , 839 (1963).
17. |
Fowler T. K ., Phys. Fluids, 7, 249 (1964). |
||||
18. |
Betrand P ., Feix M . R ., Phys. Lett., 28A, 68 (1968). |
||||
19. |
O'Neil T ., Phys. Fluids, 8 , 2255 (1965). |
||||
20. |
Berk |
H . |
L ., |
Roberts |
К . V., Phys. Fluids, 10, 1595 (1967). |
21. |
Berk |
H . |
L ., |
Roberts |
К . V., Phys. Rev. Lett., 19, 297 (1967). |
22. |
Flohl |
F., |
Feix M ., |
Phys. Lett., 22, 432 (1966). |
|
23.Веденов A . А . , Велихов E. 77., Сагдеев P. 3 ., Ядерный синтез, 1, 82 (1961).
24.Drummond W . E ., Pines D ., Nucl. Fusion Suppl., Pt. 3, 1049 (1962).
25.Berk H . L ., Book D . L ., Phys. Fluids, 12, 649 (1969).
26.Baldwin D . E ., Rowlands G., Phys. Fluids, 9, 2444 (1966).^
