ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 290
Скачиваний: 6
ГЛАВА 4
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПОТЕНЦИАЛА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Р. Хокни*
§1. Введенгіе
Численный эксперимент, или моделирование физических си стем с помощью вычислительных машин, стал удобным методом исследования свойств таких несходных между собой объектов, как плазма, звездные галактики и турбулентная жидкость. При этом решающую роль в большей части численных моделей игра ет вычисление поля (последнее обычно проводится с использова нием потенциала). Для плазменной модели может возникнуть
необходимость |
в определении |
электростатического |
потенциала |
по известному |
распределению |
зарядов [1], а если |
существен |
но собственное магнитное поле плазмы, то и составляющих векторного потенциала по заданному распределению тока. По добно этому в гидродинамике можно поставить задачу об оты скании функции потока по распределению завихренности [2], а в теории гравитации — потенциала поля тяготения по рас
пределению массы |
[3]. |
Во всех |
этих случаях потенциал ф свя |
||||
зан с распределением источников р |
уравнением Пуассона |
||||||
52ф |
52ф |
д2<р |
4яр(ж, |
у, z). |
(1) |
||
дх2 |
ді/2 |
dz2 |
|
||||
|
|
|
|
||||
Задача вычисления потенциала встает как в лагранжевых |
|||||||
моделях частиц, |
где |
потенциальное |
поле |
ускоряет |
большое |
||
количество отдельных |
частиц, |
так |
и в |
эйлеровых |
моделях, |
||
в которых усредненные величины, такие, как давление и ско рость, рассматриваются на фиксированной сетке. Быстрый и точный расчет потенциала по заданному распределению источ ников отнимает много труда и времени. И на практике часто именно трудности в расчете потенциала стоят на пути к умень шению общего времени счета. Этой проблеме и посвящена цели ком настоящая глава.
Хотя решение существенно трехмерной задачи и возможно [4], мы ограничимся рассмотрением более простых проблем. Тем не менее значительная часть обсуждаемых методов допускает естественное обобщение на трехмерный случай. Мы рассмотрим задачу определения потенциала в тех же самых узлах равно-
* R . W. Hockney, NASA, Langley Research Center, Hampton, Virginia.
144 |
Гл. 4. Методы расчета потенциала |
мерной двумерной сетки (х , у), где задано распределение источ ников. Прежде всего предположим, что плотность источников не зависит от третьей координаты z; тогда задача сведется к реше нию уравнения Пуассона для двух измерений, а именно
д 2 ф |
92ф |
— Алр(х, ѵ). |
( ) |
|
дх2 |
|
|||
|
|
Пуас |
||
Б § 2 использована разностная аппроксимация уравнения |
||||
2 |
||||
сона, причем специальный вид этих уравнений позволяет умень шить вычислительные трудности.
Этот двумерный расчет дает сеточную аппроксимацию по тенциала, созданного набором бесконечно длинных стержней, причем каждый стержень вносит свой вклад в величину потен циала в каждом узле сетки, примерно пропорциональный ло гарифму расстояния до этого узла. В § 4 мы в качестве обобщения опишем метод преобразования Фурье, который позволяет решить задачу с нелогарифмическим законом изменения потенциала взаимодействия; фактически этот закон может быть задан про извольным образом. В этом методе потенциал в некоторой узловой точке рассматривается как сумма вкладов от всех остальных узлов сетки в соответствии с данным законом взаимодействия. При вычислении двойной суммы используется разностный аналог теоремы о свертке. Если выбрано взаимодействие с величиной, обратно пропорциональной расстоянию, то наше рассмотрение соответствует потенциалу, созданному системой точечных зарядов, лежащих в одной плоскости. Такая зависимость имеет особое значение при моделировании полей тяготения звездных галактик, которые с хорошей точностью можно рассматривать как совокуп ность точечных звезд, движущихся в одной плоскости.
Краевые эффекты в плазме конечной длины можно приближен но учесть, если рассматривать взаимодействующие заряды как стержни конечной длины или если принять некоторую зависи мость плотности зарядов от координаты z. В обоих случаях можно найти потенциал взаимодействия и использовать его при вычис лении потенциала поля. В других приложениях может оказаться полезным представление о плазме как о совокупности экраниро ванных ионов, каждый из которых, имея собственное дебаевское облако, создает потенциал взаимодействия, пропорциональный г-1 ехр (—гІКц).
Поскольку потенциал взаимодействия может быть вполне про извольным, можно рассчитывать потенциальное поле, созданное набором молекул, что необходимо при изучении динамики моле кул [5]. Более того, если ошибки, связанные с разностной аппро ксимацией уравнения Пуассона в задаче о взаимодействии беско нечно длинных стержней, слишком велики, то всегда можно, взяв строго логарифмический потенциал взаимодействия, получить
§ 1. Введение |
145 |
точное решение дифференциального уравнения. Так, конечно, всегда бы и поступали, если бы метод преобразования Фурье не действовал медленнее и не использовал больший объем памяти, чем метод решения разностного уравнения Пуассона.
Возникают трудности с граничными условиями, так как метод преобразования Фурье более всего приспособлен для рассмотре ния периодической в двух измерениях системы зарядов без физических электродов. Наличие электродов даже на прямо угольной границе системы требует предварительного вычисле ния матрицы высокого порядка, необходимой для определения наведенного на электродах поверхностного заряда. Это в свою очередь требует двукратного решения периодической в двух измерениях задачи и, следовательно, удваивает затраты машин ного времени.
Изолированная система зарядов (при отсутствии каких-либо электродов) с произвольным потенциалом взаимодействия может быть изучена методом преобразования Фурье ценой четырехкрат ного увеличения как используемого объема памяти, так и затрат машинного времени по сравнению со случаем двумерно-периоди ческой системы без электродов. Следовательно, на выбор способа решения конкретной задачи влияет множество факторов, в осо бенности закон взаимодействия, граница и допустимые пределы ошибок аппроксимации.
Для случая, когда двумерное уравнение Пуассона связывает потенциал с распределением зарядов, мы опишем ряд прямых методов решения разностных уравнений. Другой распространен ный прием основан на использовании итерационных методов, которые рассмотрены в § 3. Итерационные методы проще програм мируются и лучше приспособлены для задач со сложной формой границы или электродов. Кроме того, привлекательна всегда
доступная возможность |
использовать «хорошее приближение» |
|
к решению, |
определяемое |
видом потенциала на предыдущем шаге |
по времени. |
Трудность |
в применении итерационных методов |
заключается в том, что никогда нельзя с уверенностью утвер ждать, что проведено достаточное количество итераций и ошибки уменьшены до разумных границ. Это — важное соображение, так как совсем небольшие изменения в потенциале могут вызвать значительные изменения в траекториях частиц, а общепринято проводить примерно в 10 раз меньше итераций, чем того требует теория итерационных процессов.
Теория итерационного метода последовательной верхней релак сации (SOR) хорошо разработана, и дана точная верхняя оценка величины ошибки как функции числа итераций. Эти результаты изложены ниже, отчасти в качестве предостережения, так как для подобных сеток априорные оценки дают очень малые скорости сходимости итераций.
:10—01236
146 |
Гл. 4. Методы расчета потенциала |
|
Например, |
для сетки 128 |
X 128 необходимо провести 233 ите |
рации метода |
SOR, чтобы |
обеспечить уменьшение ошибки до |
1 % от первоначального значения, а в течение первых 20 итераций ошибка может в 30 раз превышать свою начальную величину! То, что обычно делается значительно меньшее число итераций (обычно 20 или меньше), и, по-видимому, с удовлетворительными результатами, возможно только благодаря влиянию «хорошего начального приближения». Мы приведем некоторые результаты для скорости сходимости в модельных задачах, для которых известно точное решение и при хороших, и при плохих начальных приближениях. Как показывают эти результаты, применение итераций неоправданно, если может быть использован прямой метод, поскольку он позволяет получить точное решение разно стных уравнений за время пяти или шести итераций метода SOR. Напротив, при сложных граничных условиях нет никаких других методов, кроме итерационных. К сожалению, трудно делать общие утверждения о влиянии хорошего приближения, поскольку вид начального вектора ошибок зависит от распределения зарядов в конкретной задаче, которое будет изменяться от шага к шагу во время вычислений. Если, с другой стороны, во избежание этих трудностей взять такое число итераций, чтобы теория гарантиро вала определенное уменьшение ошибки (скажем скромно, до 1%) независимо от точности начального приближения, то необходимое машинное время становится недопустимо большим.
Параграф 5 содержит короткое описание типичной модели частиц, включающей в себя вычисление потенциала. Приведены затраты времени на один цикл расчетов по такой модели для раз личных ЭВМ. В § 6 мы обсуждаем приложения таких моделей частиц к ряду физических задач, указывая встречающиеся при этом трудности. В приложении приведены отлаженные рабочие программы.
§ 2. П рям ы е методы
Простейшая разностная аппроксимация уравнения Пуассона в случае двух измерений достигается использованием пятиточеч
ного шаблона типа «крест» и имеет |
вид |
|
|
||
Фа- l . t —2cps, t Ч~ Фй-Н, t |
‘ |
I <Ps, f-1 —2cpSi t+ |
cp.;, t+1 |
» |
/q\ |
ffX2 |
HY^ |
|
t» |
ѵ°/ |
|
Хокни [6] описал быстродействующий прямой метод решения этих уравнений с помощью разложения Фурье. В его работе указано время счета на IBM 7090 и число операций для программы, решаю щей разностное уравнение (3) на сетке 48 X 48 за 0,88 с. Ниже будет описана новая и более общая программа (названная РОТ1), предназначенная для CDG6600 и IBM 360/67, с оценками времени счета на этих ЭВМ.
