ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 318
Скачиваний: 6
218 Гл. 5. Метод частиц в ячейке
чтобы разрешить фокус. Тонкий ствол (фиг. 2), видимый на оси, находится полностью внутри первого ряда ячеек. Данную труд ность можно устранить путем использования более мелкой сетки в этой области, как сделано Робертсом и ниже при МГД-рассмот- рении проблем слоисто-непрерывного течения. В т о р а я же обусловлена тем, что температуры и градиенты магнитного поля в фокусе, получаемые из наших гидродинамических моделей, кажется, не полностью согласуются с гидродинамическими моделя ми, основанными на малости свободного пробега или малости ларморовского радиуса. В то же время необходимые бесстолкновительные методы, например бесстолкновительный PIC-метод, обсуж даемый ниже, недостаточно развиты, и нет достаточно больших и быстродействующих ЭВМ, чтобы рассматривать проблемы такой физической сложности, как проблема фокуса, хотя продвижение в этом направлении происходит.
2. Режим непрерывного течения для коаксиальной пушки
При втором режиме работы в плазменной пушке и в дрейфовом пространстве, куда она стреляет, вначале создается вакуум, а за тем быстрый клапан впускает порцию газа аксиально-симметрично относительно внутреннего электрода в точке примерно посредине между задней стороной и вершиной. (В этом режиме работы нужен внешний коаксиальный цилиндрический электрод для ограниче ния расширения газа.) Затем между двумя электродами прикла дывается разность потенциалов, и разряд развивается так, что газ превращается в плазму со вмороженным магнитным полем В ѳ раньше, чем возникает значительное течение плазмы. Это видно в эксперименте. Давление магнитного поля, которое на этой начальной стадии значительно превышает давление плазмы, должно вызвать истечение плазмы через сопло в дрейфовое пространство. Такая пушка называется пушкой Маршала. Если, кроме того, область между электродами достаточно длинная, то этот сгусток замагниченной плазмы может создать почти непрерывный поток на протяжении некоторого времени.
Гидродинамические РІС-расчеты были выполнены, чтобы изу чить работу пушки и предложение Морозова [4] о том, что непре рывное течение могло бы дать очень большие плотности и темпера туры на оси в так называемых «непрерывных пинчах» в результате адиабатического сжатия [5]. В этом случае гидродинамическое приближение менее обосновано, чем для плазменного фокуса, а начальное распределение плотности и намагниченности может сильно меняться и обычно хорошо не известно. Поэтому исходят из следующих идеализированных начальных условий. Плотность постоянна в области между коаксиальными электродами и падает до нуля у сопла. Отношение потока поля к массе также постоянно
§ 2. Гидродинамический PIC-метод |
219 |
на всех потоковых трубках, т. е. для всех модельных частиц. (Это предполагает, между прочим, что пока система ограничена радиально, скорость Альфвена также ограничена, что весьма полез но.) Последнее условие было названо Морозовым [4] изомагнитным и вместе с предположением об однородности начальной плотности требует, чтобы начальное поле В е совпадало с вакуумным полем В е ~ 1/г, что согласуется с экспериментальным методом создания плазмы. На фиг. 3 показано, как изменяется во времени распре деление частиц, определяемое этими начальными условиями. Рас пределение является всюду равновесным, за исключением поверх ности вакуум — плазма у сопла пушки. Основные уравнения движения (до перехода к разностным) имеют вид
где р, р и 1 — соответственно плотность плазмы, давление и удель ная внутренняя энергия, а и и к — скорости вдоль г- и z-направ- лений. Последний член в уравнении (2а) представляет эффект стя гивания от кривизны поля, который приводит как к неустойчиво стям типа перетяжек z-пинчей, так и к большим адиабатическим сжатиям, предсказанным Морозовым.
Сначала плазма по всей вакуумной поверхности расширяется прямо в дрейфовое пространство, в то время как волна разрежения бежит назад, к пушке, а затем, частично из-за эффекта стягивания (фиг. 3), поток начинает поворачивать к оси. Вплоть до момента, когда поток впервые достигнет оси, плазма остается хоаодной, имея только кинетическую энергию направленного течения, получен ную от расширения захваченного поля B q . Когда сходящийся поток достигает оси, он должен создать ударную волну, которая превращает часть энергии направленного движения во внутрен нюю энергию плазмы.
Вычислительная сетка содержит достаточное количество холод ной, замагниченной плазмы, чтобы допустить развитие квазинепрерывного течения в области сопла. Последний кадр на фиг. 3, который сделан чуть позднее, чем первые четыре, показывает эту более позднюю во времени структуру. Характерной чертой течения является существование стоячей ударной волны в форме тонкого конуса с вершиной на оси на расстоянии одного радиуса внутрен него электрода перед соплом и образующими, направленными вниз по течению и наружу пушки.
I
a
6
в
Ф и г . 3. Последовательные во времени стадии непрерывного течения.
§ 2. Гидродинамический PIC-метод |
221 |
На фиг. 4 представлен ряд графиков распределения скоростей в потоке, которые соответствуют по времени графикам частиц на фиг. 3 и ясно демонстрируют отклонение потока при прохож дении через эту ударную волну, которая по существу аналогична ударной волне, возникающей позади снаряда с прямоугольным концом в сверхзвуковом потоке. Вблизи электрода имеется почти вакуумная область, которая ограничена свободной поверхностью на внутренней стороне потока, простирающейся от угла внутрен него электрода к вершине ударной волны. Сама ударная волна, наиболее сильная вблизи вершины, постепенно ослабевает при удалении от пушки; в результате удельная внутренняя энергия (или температура I, см. фиг. 5) больше вблизи оси, где пересека ются линии тока, проходящие через области с наибольшим сжатием.
Фронт ударной волны на фиг. 5 был нарисован от руки на осно вании последнего на фиг. 3 распределения плотности частиц. Показанные два профиля температуры / были построены по табл. 1; внутренняя пунктирная линия показывает существование двух структур в области ударной волны, которые проявляются как
222 |
Гл. 5. Метод частиц в ячейке |
|
ступеньки на графиках I. Центральная часть определенна горячее, чем наружная. В горячей центральной области ударной волны
Ф и г, 4. Распределения скоростей в потоке, соответствующие фиг. 3.
имеется падение плотности, которое видно из распределениячастиц. Однако нужно проявлять некоторую осторожность при интерпре тации распределения частиц вблизи оси, полученного из любого цилиндрического PIC-моделирования, поскольку частица, кото рая фактически представляет собой кольцо с центром на оси, несет
§ 2. Гидродинамический PIC-метод |
223 |
постоянную часть полной массы, а не массы на единицу длины; таким образом, однородной плотности будет соответствовать такая плотность модельных частиц, которая растет линейно по радиусу от нуля на оси. Следовательно, хотя в горячей внутрен ней области ударной волны действительно имеется падение плот ности, некоторая часть наблюдаемого падения обусловлена этим
- »-—
I |
1 |
Ф и г . 5. Фронт ударной волны, показанной на фиг. 3, с профилями тем пературы I .
геометрическим эффектом. В некоторых гидродинамических моде лях освобождаются от этого затруднения, приписывая меньшие массы частицам, которые в начальной стадии находятся вблизи оси.
Физические выводы из этих расчетов суть следующие. В случае тупого внутреннего электрода большие сжатия, предсказанные Морозовым, невозможны из-за возрастания энтропии благодаря сопутствующей ударной волне, а рассчитанный пример потока, включая сопутствующую волну, дает качественно правильное описание подобных структур (они наблюдались экспериментально в плазменных пушках Маршалом х) и Маварди *2). Здесь уместно сделать несколько общих замечаний, прежде чем переходить к из ложению бесстолкновительного РІС-метода.
*) |
J . |
Marshall., частное сообщение, 1968. |
2) |
О. |
Mawardi, частное сообщение, 1969. |
224 Гл. 5. Метод частиц в ячейке
На последнем графике плотности частиц (фиг. 3) внутри сопла читатель может видеть радиальные страты плотности. Это отра жение нефизических колебаний (обсужденных выше), которые возникают из-за отсутствия усреднения по площади характеристик частиц, а равно и характеристик ячеек при выбранном способе моделирования пушки и которые можно было бы устранить при использовании такого усреднения. Однако в нашем случае ока залось, что эти скорости существенно не влияют на интересующие нас части потока. При расчетах плазменного фокуса, в которых усреднялись по площади только характеристики ячейки, такие страты не возникали. Это, возможно, связано с тем обстоятельст вом, что скорость потока всюду равна нулю или очень велика по
отношению к сетке. |
и размере ячейки эйлеровы |
При заданном временном шаге |
|
и лагранжевы коды работают |
обычно заметно быстрее, чем |
PIC-коды, и потому более привлекательны, когда машинное время ограничено. Однако PIC-коды имеют свои преимущества, которые компенсируют этот недостаток. Наряду с тем, что они свободны от эйлеровой диффузии и лагранжева искажения ячеек, они обычно довольно устойчивы и требуют меньше специальной наладки при переходе от одной проблемы к другой. Использова ние размера ячейки как меры разрешения приводит к несколько пессимистичным выводам, поскольку в некоторых отношениях распределение частиц внутри ячейки может дать лучшее разреше ние. Наконец, обычное распределение положений модельных частиц дает хорошее наглядное описание плотности жидкости или плазмы, в то время как для кодов, прямо вычисляющих плотность, построение таких распределений с помощью дополнительных под программ затруднительно.
§ 3. Бесс т о л к и о в и т е л ь н ы й Р ІС - м ет од
В соответствии с бесстолкновительным приближением для опи сания полностью ионизированной, высокотемпературной плазмы функция распределения по скоростям и координатам каждого сорта заряженных частиц f s (х, v, t) удовлетворяет бесстолкяовительному уравнению Больцмана с силой Лоренца
где поля Е и В определяются уравнениями Максвелла, в которых заряд р и плотность тока J выражаются через суммы моментов функций распределения:
(4)
§ 3. Бесстолкновительный PIC-метод |
225 |
На практике делаются дальнейшие приближения для упроще ния вычислений или для выделения отдельных эффектов. Целью бесстолкновительных PIC-расчетов является получение решений этой системы. Поскольку такое описание плазмы, при котором пренебрегается столкновениями, корреляциями и т. п., соответ ствует несжимаемому течению жидкости с плотностью / в фазовом пространстве (х, ѵ), то может возникнуть вопрос: зачем вообще использовать вычислительную модель с частицами? Почему бы не воспользоваться какой-либо подходящей гидродинамической мо делью для вычисления потока / в фазовом пространстве? Действи тельно, Армстронг и др. (см. гл. 2), используя преобразованный метод Эйлера, а также Бэрк и Робертс (см. гл. 3), используя метод Лагранжа (названный моделью «водяного мешка»), добились успе ха при рассмотрении проблем, которые благодаря симметрии сводятся к одномерному случаю в координатном пространстве, т. е. к двумерному случаю в фазовом пространстве (ж, ѵх), а Кил лин и Рэмпил [8] путем героических усилий изучили некоторые аспекты поведения плазмы в «Астроне» с помощью прямого метода Эйлера в фазовом пространстве (г, z, ѵТ, ѵѳ, vz).
Однако использование метода Эйлера или Лагранжа с сеткой, занимающей все фазовое пространство, сталкивается с двумя суще ственными ограничениями. В о - п е р в ы х , для многих важцых проблем необходимое число измерений фазового пространства оказывается больше двух и достигает шести. Оценки размеров памяти и машинного времени, требуемых соответствующими сет ками, приводят к выводу о том, что если нельзя найти лучший путь, то многие, если не большинство таких проблем просто нельзя рассчитать. В о - в т о р ы х , накопленный за последние несколько лет опыт в моделировании плазмы показал, что нелинейное раз витие неустойчивостей плазмы обычно сопровождается появле нием в фазовом пространстве многих течений с неоднородной ско ростью, иногда вихревого типа, которые требуют перераспределе ния зон для лагранжевых сеток и малого размера ячеек или сглаживания для эйлеровых сеток. Таким образом, с ростом вре мени все большее число точек требуется, чтобы определить гра ницы зон по методу Бэрка и Робертса (см. гл. 3) и все большее число элементов матрицы преобразования требуется в методе Армстронга и др. (см. гл. 2).
В бесетолкновительном PIC-методе модельные частицы имеют меняющиеся во времени скорости и координаты, которые вычис ляются и запоминаются, причем они движутся так, как если бы они были реальными заряженными частицами плазмы. Электри ческое и магнитное поля, которые ускоряют эти частицы, вычис ляются и запоминаются на регулярной пространственной эйле ровой сетке, но сетки для скоростей не существует. Почти во всех применениях каждая модельная частица эффективно представляет
1 5 -0 1 2 3 6
