Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

226 Гл. 5. Метод частиц в ячейке

большое число реальных частиц и соответственно дает вклад в вы­ числяемые токи и заряды ячеек. Автор, однако, предпочитает рас­ сматривать эти модельные частицы в ячейке не как некое собрание суперчастиц, а как представление / (ѵ) в ячейке типа Монте-Карло. Ответ на вопрос, распределяется ли вклад частиц в заряды и токи по соседним ячейкам в соответствии со схемой усреднения по пло­ щади [подобно формуле (1) и фиг. 1] при получении такой эффек­ тивной функции / (ѵ), зависит от применения. Заряды и токи, полученные в виде этих ячеечных сумм, можно затем понимать как интегралы по скоростям в формулах (4), вычисленные по методу Монте-Карло, который оказался особенно эффективным в случае многократных квадратур [9].

Усредняя по площади поля Е и В и продвигая модельные частицышагзаідагомвовременитак, как будто они реальные части­ цы, можно удовлетворить уравнению (3) в пределах ошибок обры­ вания. Затем численные решения уравнения Максвелла е р и / , определяемыми формулами (4), должны были бы замкнуть круг и дать искомые решения полной бесстолкновительной системы. Но ввиду особенностей модели остается вопрос — взаимодействуют ли модельные частицы друг с другом или с сеткой каким-то спо­ собом, который дает вклад в парные столкновения, вносящие недопустимо большую ошибку аппроксимации в форме диффузии и флуктуаций поля. Ответа на него, вообще говоря, нет. Большин­ ство прогнозов в этом отношении кажутся слишком пессимистич­ ными. Понятно, что псевдостолкновительные эффекты в бесстолкновительном PIC-методе доставят больше беспокойства в задачах, в которых рассматривается полное электростатическое взаимодей­ ствие, чем в моделях с полностью нейтрализованным или квазинейтральным зарядом.

Наиболее хорошо изучен класс проблем, в которых тяжелые ионы рассматриваются в качестве однородно распределенного, неподвижного положительного фона, электроны представлены модельными частицами, а уравнение Пуассона решается на каж­ дом временном шаге с плотностью заряда, которая получается в результате вычитания плотности модельных частиц в каждой ячейке из плотности однородного положительного фона. Любой работающий в этой области быстро обнаруживает, что усреднение по площади электронных зарядов сильно помогает делу. Отказ от усреднения проявляет себя в виде плохого сохранения энер­ гии — в среднем полная энергия возрастает, и одну возможную причину этого легко понять. Если электростатическое поле, дей­ ствующее на электрон, усреднено по площади, а вклада электрона в заряды соседних ячеек нет, то на электрон действует собствен­ ная сила, т. е. он взаимодействует с сеткой (дальнейшее обсуж­ дение подобных вопросов можно найти в гл. 8). Практически мож­ но оценить величину остающихся столкновительных эффектов

228 Гл. 5. Метод частиц в ячейке

этого приходится рассматривать малую часть плазмы, используя периодические граничные условия, на протяжении характерного времени микроскопического явления, а результаты нужно прев­ ратить в транспортные коэффициенты для макроскопической моде­ ли всей плазмы.

С другой стороны, существуют проблемы, которые требуют рассмотрения всей плазмы, поскольку, например, макроскопиче­ ская неустойчивость может разделить плазму на несколько боль­ ших частей. В некоторых задачах такого типа важная бесстолкновительная физика связана с ионами, которые создают постоянную анизотропию в давлении и имеют большой ларморовский радиус, тогда как микроскопическим движением электронов можно пре­ небречь, учитывая их только через гидродинамическое давление, которое действует на ионы через какую-то форму квазинейтрального приближения, когда дебавская длина стремится к нулю [10].

Мы обсудим один пример первого типа, когда микроскопиче­ ски рассматривается малая часть плазмы, и один пример второго типа, моделирование всей плазмы с помощью схемы, которая подавляет некоторые наиболее микроскопические детали. В обоих случаях мы уделим несколько больше внимания полезным числен­ ным приемам, чем это обычно делается в журнальных статьях по физике плазмы.

1.Двухпотоковая неустойчивость

Вэтом пункте мы сравним результаты моделирования электро­ статической двухпотоковой неустойчивости в] бесстолкновительной плазме в случаях одного, двух и трех измерений. Предполага­ ется, что ионы образуют однородный, неподвижный фон с поло­ жительным зарядом, а начальное распределение электронов пространственно однородно и представляет собой суперпозицию двух одинаковых встречных максвелловских потоков:

Без потери общности мы приняли, что ось х направлена парал­ лельно скоростям потоков, +и. Из линейной теории известно, что при заданной тепловой скорости ѵ0 достаточно большая направлен­ ная скорость и приводит к нарастанию электростатических коле­ баний, для которых возмущенный электростатический потенциал записывается в виде

и в случае неустойчивости таких колебаний наибольшие инкре­ менты, т. е. значение Im со, имеют моды с одной лишь компонен­ той кх. Эти инкременты оказываются наибольшими при средних

значениях к и падают до нуля при к -> 0 и при достаточно боль­ ших к.

Ввиду простоты и того обстоятельства, что наиболее быстро растущие моды можно наблюдать в одномерной (х, ѵх) проекции полной трехмерной проблемы, а также ввиду ограниченного клас­ са физических экспериментов, для которых достаточно одномер­ ного описания, одномерной проблеме уделялось много внимания. В частности, этому посвящены последние полные нелинейные моде­ лирования Армстронга (см. гл. 2), Бэрка и Робертса (см. гл. 3), а также Морза и Нильсона [11—13] (см. также модель плоских листов в гл. 1). Некоторые результаты этих одномерных моделей, включая устойчивую одномодовую структуру, противоречат основ­ ным предположениям турбулентной теории плазмы. Обычно пола­ гали, что эти одномерные результаты определяются симметрией из-за ограничения ^-зависимостью. Таким образом, имелся повод для обобщения этой работы на случай двух и трех измерений для того, чтобы можно было ясно увидеть влияние перехода от одного случая к другому.

Чтобы проделать это, выбирались трехмерная функция рас­ пределения /о (ѵх, Ѵу, vz) по формуле (5) и определенная длина периода L. Трехмерное моделирование выполнялось в кубе с реб­ ром L при периодических граничных условиях на движение элект­ ронов и на электростатический потенциал ф (х , у, z), причем оно начиналось с пространственно однородного распределения элект­

иначиналось с распределения по скоростям /0 (ѵх, ѵѵ), которое получается в результате интегрирования выражения (5) по vz. Одномерное моделирование выполнялось только по ж с периодом L

ираспределением / 0 (ѵх), которое получается в результате инте­ грирования выражения (5) по ѵу и ѵг.

Электроны рассматривались с помощью бесстолкновительного

PIC-метода. На каждом временном шаге координаты электрона использовались для вычисления новых усредненных по площади электронных зарядов ячеек. Эти заряды вычитались из заряда ионного фона, а разности зарядов р в каждой ячейке использо­ вались для разыскания решения уравнения Пуассона

на сетке из центров ячеек, удовлетворяющего периодическим гра­ ничным условиям. Для проблем с большим чем одно числом изме­ рений коллеги автора использовали метод последовательной верхней релаксации и прямой метод [14] (в одномерном случае уравнение Пуассона легко решается точно) и нашли, что, несмотря на использование очень тонкого критерия сходимости, релакса­ ционные результаты оказались хуже результатов, полученных