Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

ГЛАВА 5

МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНОЙ ПЛАЗМЫ

СПОМОЩЬЮ МЕТОДА ЧАСТИЦ В ЯЧЕЙКЕ

Р. Мора*

§ 1. В веден и е

Метод частиц в ячейке (PIC-метод) был первоначально развит Фрэнком Харлоу и его сотрудниками в Лос-Аламосе в 1955 г. для моделирования многомерной сжимаемой жидкости и обсуж­ дается в третьем томе настоящей серии. Идея PIC-метода заклю­ чается в том, что можно преодолеть численные неустойчивости и диффузию массы метода Эйлера и трудности искажения ячеек метода Лагранжа в результате объединения лучших черт этих методов. Метод использует регулярные ячейки Эйлера для вычис­ ления макроскопических переменных, например давления и ско­ рости жидкости, тогда как вещество переносится из ячейки в ячей­ ку лагранжевским образом, в виде отдельных модельных частиц.

и сохраняют свою индивидуальность на протяжении всего про­ цесса вычислений. На каждом временном шаге в соответствии с за­ конами сохранения подсчет энергии и импульсов дает внутреннюю, т. е. некинетическую, энергию в каждой ячейке. Эта внутренняя энергия вместе с непосредственно вычисляемой плотностью масс и уравнением состояния вещества определяют распределение дав­ ления, которое затем используется для определения ускорения жидкости и новых скоростей в ячейке. Эти новые скорости в ячей­ ках интерполируются на координаты частиц и используются для перемещения этих частиц по ячейкам сетки и т. д. Уравнение со­ стояния вещества устанавливается совершенно независимо от остального кода. В частности, при рассмотрении очень простой и удобной проблемы аксиально-симметричной плазменной пушки давление единственной компоненты магнитного поля B q удовлет­ воряет требованию скалярности без специальных видоизменений.

В данной главе мы кратко обсудим два применения гидродина­ мического PIC-метода к проблемам такой плазменной пушки, а затем изложим PIC-метод, который используется при модели­ ровании бесстолкновительной плазмы. Следует иметь в виду сле­ дующие различия между двумя областями применения. Скорость

* R . L. Morse, University of California, Los Alamos Scientific Laboratory, Los Alamos, New Mexico.

классической жидкости — однозначная функция координат и, следовательно, характеристика ячейки в гидродинамическом РІСметоде. С другой стороны, в бесстолкновительной плазме в каждой точке пространства существует некое распределение скоростей частиц и нужно детально рассматривать эту микроструктуру, чтобы получить важные физические результаты. Соответственно скорость становится характеристикой частицы, а модельная ча­ стица представляет некоторое число реальных частиц с теми же самыми электрическим зарядом, массой, координатами и скоростью. Характеристиками ячейки в этом случае являются электромагнит­ ные поля, суммарные плотности частиц и возникающие токи. Макроскопическое давление, которое используется в гидродина­ мическом PIC-методе, можно в принципе определить по распре­ делению скоростей в каждой ячейке в бесстолкновительном РІСметоде, но обычно оно не вычисляется.

§ 2. Г и д р о д и н а м и ч е с к и й Р ІС -м ет о д для м о д е л и р о в а н и я а к с и а л ь н о -с и м м е т р и ч н ы х

п л а з м е н н ы х п у ш е к

Поскольку двумерное аксиально-симметричное течение зависит от цилиндрических координат гиг , то используется обычная сетка с прямоугольными ячейками в этих координатах, а процедура вычислений отличается от случая декартовых координат только поправками к разностным уравнениям.

Благодаря большим плотностям и низким температурам, кото­ рые имеются в плазменных пушках, и из-за дополнительных при­ чин, связанных с малостью ларморовского радиуса заряженных частиц, часто можно рассматривать плазму в пушке как класси­ ческую жидкость. Для интересующих нас параметров, включая время процесса, можно пренебречь классической столкновительной диффузией магнитного поля в плазме. Всегда существует воз­ можность появления какого-то аномального сопротивления, но сравнение с экспериментом говорит о том, что при моделировании пушек предположение о нулевом сопротивлении вполне разумно. Кроме того, когда имеется магнитный поток, вмороженный в плаз­ му, отношение потока к массе модельной частицы постоянно во времени, а уравнение состояния связывает возникающее магнит­ ное давление с уравнением состояния вещества, которое обычно имеет форму адиабатического закона с у = 5/3.

Подробное изложение гидродинамического PIC-метода читатель может найти у Харлоу в третьем томе настоящей серии и у Амсдена [1]. Однако один вопрос полезно будет обсудить здесь, посколь­ ку, в частности, он существен для бесстолкновительного РІС-мето- да. Многим читателям известно, конечно, что PIC-коды содержат некоторое сглаживание, но они не представляют себе его формы

характеристики частицы по площади производится с помощью предположения, что вклад от частицы в такие характеристики ячейки, как плотность, в ближайших к частице центрах ячеек пропорционален коэффициентам А .

і. Плазменный фокус

Аксиально-симметричные плазменные пушки обычно работают в двух различных режимах. При одном режиме (фиг. 2) область внутри и вокруг пушки целиком заполнена неподвижным газом, обычнодейтерием. Электрическийразрядначинается позади цилинд­ рического электрода и создает пузырь нагретого газа, который магнитным поршнем, как снегоочистителем, выдавливается вперед, закручивается вокруг конца электрода и образует на оси z-пинч малой интенсивности, называемый плазменным фокусом. Дальней­ шее описание системы и ссылки можно найти в гл. 9, а также в работе Батлера и др. [2]. На фиг. 2 сопоставляется ряд последова­ тельных во времени гидродинамических PIC-распределений частиц с соответствующими экспериментальными фотографиями этого режима работы пушки [2]. Обычный внешний цилиндрический электрод исключался как при моделировании, так и в экспери­ менте, поскольку было выяснено, что в этом режиме фокуса внеш­ ний электрод только затрудняет диагностику и мало влияет на режим работы.

В этих численных экспериментах плазма и магнитное поле не перемешиваются. Магнитное поле B q занимает вакуумную область внутри пузыря и создает постоянное давление (~ 1 /г2) на свободной границе. Остальное сводится к чисто гидродинами­ ческому вычислению. Однородная область вне пузыря холодная. Очень резкая внешняя поверхность пузыря представляет собой ударную волну, которая сильнее при меньших радиусах, когда она движется быстрее. Слой между ударной волной и внутренней свободной границей состоит из нагретой ударной волной плазмы, которая обеспечивает засветку экспериментальных фотографий. Как было указано выше, PIC-метод очень хорошо подходит для описания таких взаимосвязанных поверхностей, как эта свободная граница (см. далее работу [1] и приведенную там библиографию); в частности, он устраняет трудность с условием Куранта, которое возникает, когда рассматривается непрерывный переход от конеч­ ной к бесконечной скорости звука поперек этой границы. Другое рассмотрение этой проблемы читатель найдет в гл. 9.

Эти PIC-вычисления явились первым полным двумерным моде­ лированием течения вещества в плазменном фокусе и, как видно из фиг. 2, они дают адекватный количественный расчет этого тече­ ния, включая вторичный пузырь, который появляется на оси у вершины самого фокуса [3]. Этот метод можно было бы обобщить,

чтобы включить другие физические эффекты в ударном слое, кото­ рые зависят от плотности и температуры, поскольку последние

Ф и г . 2. Последовательные во времени стадии плазменного фокуса.

известны на каждом временном шаге. Однако из-за двух причин этот метод терпит неудачу вблизи оси, где возникает высокотем­ пературный фокус.

П е р в а я заключается в том, что сетка, которая подходит для рассмотрения* всего плазменного потока, слишком крупная,