ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 325
Скачиваний: 6
236 |
Гл. 5. Метод частиц в ячейке |
случаях примерно за один плазменный период энергия электро статического поля достигает уровня тепловых флуктуаций, кото рый обсуждался выше и показан на фиг. 7.
Для того чтобы подавить этот уровень флуктуаций и его интер ференцию с ожидаемыми физическими результатами при малом числе модельных частиц, Дж. Байерс недавно предложил исполь зовать более однородное начальное распределение скоростей и ко ординат, которое было названо «спокойным стартом». Кажется, что эта схема может правильно передать некоторые нелинейные эффекты, прежде чем первоначально однородная «загрузка» фазо вого пространства исказится и разовьются большие флуктуации.
2. Аксиально-симметричная плазма, удерживаемая переменным магнитным полем
В качестве примера второго типа моделирования, при котором рассматривается вся удерживаемая плазма, и с целью показать читателю, что моделирование применимо не только к электроста тическим проблемам в постоянных магнитных полях, кратко обсу дим сейчас совершенно другую бесстолкновительную модель. Эта модель двумерна, поскольку все величины зависят от г и z, но не от Ѳ. Следовательно, можно наблюдать только моды с т = О (здесь использовано обычное обозначение теории устойчивости). Эти моды включают вращательную, тиринговую, желобковую и шланговую моды, которые в соответствии с линейной теорией будут нарастать, возникая из бесстолкновительного и приближен но не зависящего от z-равновесия типа равновесия в «Астроне» или в Ѳ-пинче с конечным ß (конечное ß означает, что существую щее магнитное поле не настолько сильно, чтобы его нельзя было исказить имеющимся давлением плазмы).
Электромагнитные поля полностью описываются Ѳ-компонен- той магнитного векторного потенциала А ѳ (г, z, t). Это означает, что вычисляются компоненты ВТ и Вг магнитного поля и инду цируемое электрическое поле Е ѳ, а Ве и все электростатические поля считаются равными нулю. Основанием для этих предположе ний, там где они применимы, служит то, что холодные электроны могут двигаться вдоль силовых линий магнитного поля между максимумами и минимумами возмущений или через торец, зако рачивая цепь, чтобы точно нейтрализовать плазму, и то, что эти нейтрализующие токи незначительны по сравнению с обычным диамагнитным азимутальным током J q . Э т и приближения могут быть хорошими или плохими, и их нужно рассматривать особо
вкаждом случае. Явно рассматривается только один сорт частиц.
Вслучае «Астрона» это инжектируемые электроны. В случае высокотемпературного Ѳ-пинча, где, как обнаружено экспери ментально, электроны относительно холодные, это горячие ионы.
§ 3. Бесстолкновителъный PIC-метод |
237 |
Ток / ѳ вычисляется непосредственно по этому единственному сорту тепловых частиц, а А ѳ вычисляется по / ѳ.
Эта методика, пока неточная ввиду вышеуказанных прибли жений, соответствует гамильтоновой системе и является точной, когда плотность и поля стационарны, причем они могут зависеть или не зависеть от z. Неточность этой модели, когда указанные величины изменяются, зависит от скорости изменения во времени и от типа задачи. В худшем случае эту модель плазмы можно пони мать как состоящую из двух сортов частиц с равными массами, но с противоположными зарядами. В этом случае моделирование сводится к точным вычислениям в рамках приближенной модели, а хотелось бы обратного.
Частицы имеют все три скорости вдобавок к двум координатам, поэтому фазовое пространство имеет пять измерений. В большин стве применений частицы имеют максвелловское начальное рас пределение, которое вращается как твердое тело и не зависит от z. Такой класс вращающихся максвелловских равновесий, которые имеют ВТ — 0, зависящую от г плотность и Вг Ф 0, рассмотрен подробно в трудах конференции [3], а также Дикманом и др. [15, 6], где также обсуждается используемая безразмерная система единиц. Начальный тепловой разброс вдоль ъ делается большим или меньшим, чем перпендикулярная (т. е. по г и Ѳ) температура, чтобы стимулировать соответственно шланговую или желобковую неустойчивости.
Используя размерные единицы, определим ток в ячейке в ре зультате суммирования по всем частицам в этой ячейке:
|
/ѳс |
(9) |
|
|
|
і=1 |
|
где N c — число частиц |
в |
ячейке, Q — число настоящих частиц |
|
в модельной частице, |
а |
г; — радиус частицы. |
Множитель 1/гг |
обусловлен тем обстоятельством, что модельная частица пред ставляет собой кольцо с постоянным полным зарядом и потому имеет больший заряд на единицу длины, когда находится при меньшем радиусе. Скорость ѵ&каждой частицы определяется прямо из закона сохранения ее канонического углового момента
Ре = Г (ѵѳ + Ад) = const, |
(10) |
который вычисляется и запоминается вначале. Тогда
(“ )
І = 1
Значительное упрощение в вычислениях достигается в результате введения статистического предположения о том, что частицы
238 |
Гл. 5. Метод частиц в ячейке |
Ф и г . 8 (а—г). Распределения частиц в плоскости (г, z), полученные из'чис-
ленного расчета шланговой неустойчивости.
в каждой ячейке распределены однородно по этой ячейке таким образом, что величины rt и ЛѲг в формуле (И) можно заменить на значения этих величин гс и ЛѲі в центре ячейки. Иногда форму ла (11) принимает вид
nc
/ос = т Н ^ 2 p e t - N cA0c)- |
(На) |
г = 1 |
|
После выполнения суммирования в (11а) потенциал А ѳ вычис ляется из размерного уравнения для поля:
д2Аѳ |
д |
( 1 |
д_ |
— — Je- |
( 1 2 ) |
r9z2 |
' дг |
\ г |
дг |
§ 3. Бесстолкновшпелъный PIC-метод |
239 |
Если формулу (11а) подставить в обычную разностную форму вто рого порядка для уравнения (12) и использовать метод последо вательной верхней релаксации (SOR), то окончательная итера ционная схема для значений А§ в центре ячейки примет вид
A q (J ’ К * = D (К) + [QGN (/, К)/г (К)} Х |
|
|
|
X { С Ы Ѳ(J ! -1, К) + G2Ae (J - |
1, К) + В (К) Аѳ (J, К + 1) + |
||
|
W(7, К) |
|
|
+ C(K)Aq( J , K - 1 ) + ^ |
2 |
1 |
P i } + ( l - W ) A e (J,K), |
|
г= |
( 13) |
|
|
2К — 1 |
||
|
|
||
240 |
Гл. 5. Метод частиц в ячейке |
J и К — г- и z-индексы центров ячеек соответственно, а новые значения используются в правых частях там, где выгодно. Гранич ные условия на А ѳ накладываются во время релаксации. На прак тике используются линейные экстраполяции от последних двух временных шагов, чтобы получить начальные значения потенциала А ѳ (/, К) для итерационного решения уравнения (13). Если вре менной шаг At достаточно мал, чтобы обеспечить приемлемую точ ность в других частях проблемы, то эти экстраполированные зна чения оказываются превосходными начальными приближениями. Любое сравнение итерационных методов с другими методами, например с преобразованием Фурье, незаконно, если не учитывать этот факт. Практически сходимость с точностью до ІО-3 достигается после 10—20 итераций с SOR-фактором W ж 1,7. Если используют достаточное число частиц, чтобы удержать статистические флук туации на приемлемом уровне, то эти итерации отнимают примерно 15% от полного времени вычислений. После определения Ад (J, К), поля ВТ и Вг вычисляются по формуле В = V х А, или
(14)
методом центрированных разностей. Вплоть до этого момента положения частицы известны в текущий момент, а компоненты скорости ѴГ и Vz известны в предшествующее время, отдаленное на половину временного шага. Далее частицы перемещаются в соот ветствии с уравнениями движения
Ѵг, +іІ2 = Ѵг,-гІ2 + [ѵд,0Вг + ^ - ] |
At, |
||||||
Vz, |
+ |
1 / 2 |
- |
l / 2 — VgBrAt, |
(15) |
||
|
|
= F Z>~f- |
V r, |
+ /2A |
|
||
|
r+i = Tg |
i |
t, |
|
|||
z+i = z0 + Fz, +1/2At.
Взятые в таком виде, эти уравнения центрированы во времени, фактически обратимы (полезный результат сохранения Рд) и, сле довательно, дают ошибки обрывания порядка (At)s.
Величины Ад, Вти Bz в уравнениях (15) определяются для поло жения каждой частицы отдельно путем усреднения по четырем ближайшим центрам ячеек. Нужно заметить, что пока () 1,
