Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

В случае kkDIS > 1 колебания сильно затухают. Таким обра­ зом, в плазме из облаков при увеличении к затухание резко нара­ стает, когда kXD~ 1 или когда kR достигает достаточно больших значений (см. фиг. 2 и 3). Для некоторых форм облаков, например для облаков с однородной плотностью [S (к) = sin kRlkR], S — О при конечных к. Когда это происходит, асимптотические решения

для сильного затухания ведут себя так, что Im © -»----оо, Re © -»- 0, как было уже показано на фиг. 2 и 3. Конечно, когда S очень мало, электрическое взаимодействие нарушается, облака не взаимодействуют и изменение во времени не описывается более функцией ехр (— ш£).2

2. Потенциальная энергия экранированного пробного облака; статическая сила

В линейном приближении потенциал пробного облака, центр которого движется через однородный устойчивый бесстолкновительный газ и имеет координаты х0 + \ 0t, определяется

Ф и г. 4. Потенциальная энергия в окрестности шарового пробного облака однородной плотности с зарядом дт, находящегося в теплой плазме из подоб­ ных облаков.

Отметим конечное значение потенциала V (0) и быстрый спад его при возрастании R.

V (k) = qS (к ) ф (к ) получим

В качестве примера на фиг. 4 представлен график V (х) для обла­ ков с однородной плотностью.

В случае малых облаков (й<С^д) можно заменить S на 1 в зна­

приближенно совпадает с энергией для точечной частицы, умно­ женной на квадрат S (х), и, следовательно, отличается от энергии точечной частицы только в области г ^ R, где она представляет неэкранированную потенциальную энергию облаков, а не точеч­ ных частиц. Максимальная энергия

где N D = гік\>, может стать меньше тепловой энергии Ѳ, позволяя облакам легко проходить друг через друга и подавляя соударе­ ния, приводящие к большим отклонениям.

В случае больших облаков, R > XD, потенциальная энергия существенно другая из-за того, что плазма может поддерживать зарядовую нейтральность на расстояниях г > ß и Хв\ нейтрали­ зующий плазму заряд находится внутри пробного облака, а не-

Ф и г . 5. Сила F, с которой сферическое облако однородной плотности,, находящееся в точке г = 0, действует в теплой плазме на облако, находя­ щееся в точке г.

Максимальное значение F (и приближенно вся кривая) изменяется примерно пропор­ ционально (Ад/Д)3, поэтому близкие и дальние взаимодействия быстро уменьшаются

с ростом Д. Кривые для двумерного и одномерного случаев подобны приведенным, но показатель степени 3 заменяется на 2 и 1 соответственно.

снаружи, как раньше. Это проявляется в следующем: при к < кс энергия V (к ) близка к Ащ2Хв , затем спадает к нулю как 4яд2£ 2//с2, когда к становится больше кс, где кс находится из равенства кІХЬ = S 2 (кс). Если S быстро падает до нуля при к > Д -1, то кс ~ ß -1. График V (к) будет иметь пик шириной ~ R. Учитывая это и общие свойства преобразований Фурье, мы заключаем, что радиус V (х) будет порядка /сё1 ~ ß и F (х) может иметь несколь­ ко осцилляций благодаря резкому спаду V ( к ); эти свойства про­ демонстрированы на фиг. 4. Кроме того, поскольку

j dxV (х) = V ( к = 0) = Ащ2ХЬ

250 Гл. 6. Система частиц конечных размеров

не изменяется, когда радиус увеличивается, то необходимо, чтобы

ном случае и приблизительно как (KD/R)2 и (XD/R) соответственно в двумерном и одномерном случаях. Следовательно, увеличение R от нуля быстро уменьшает силу и сечение рассеяния, которое рас­ сматривается в следующем параграфе.

§ 3. С еч ен и е р а с с е я н и я

Выше мы использовали уравнение Власова и пренебрегали столкновениями. В реальной плазме оправданием такого прене­ брежения является условие N D^> 1, которое трудно выполнимо при двумерном моделировании и нереально по затратам при трех­ мерном моделировании. Следовательно, нам нужно сравнить частоту столкновений или сечение рассеяния для облаков с соот­ ветствующим значением для точечных частиц. Сначала мы проде­ лаем это, используя статическую силу, которая найдена в пре­ дыдущем параграфе, и определяя транспортное сечение рассеяния а для трехмерного случая,

где р — прицельный параметр и Ѳ — угол рассеяния.

Для плазмы из точечных частиц существует небольшое расхож­ дение между транспортными коэффициентами и, следовательно, сечениями рассеяния, полученными для кулоновского взаимо­

3кТе, что возможно для і — е- же — е-соударений; пгг — приведен­ ная масса, ѵт— относительная скорость.

При рассеянии облаков потенциальная энергия хорошо ведет себя аналитически, т. е. не имеет сингулярностей, но не является простой функцией от г, поэтому интегрирование для нахождения о

252Гл. 6. Система частиц конечных размеров

1.Связь с бесстолкновительным подходом в численном

моделировании

Рассмотрим двумерную плазму с размерами 100 XD на 100 k D. Частота столкновений точечных (линейных) частиц равна

где N D = nnXjj. Если мы потребуем выполнения условия ѵ/соре *£!

Такое уменьшение числа частиц в 10 и 100 раз, необходимое для снижения эффектов от соударений, делает более реальным моделирование плазмы больших размеров с использованием мето­ дики точных траекторий. Примером успешного применения этих идей является недавний эксперимент Морза и Нильсона [9]. Они работали с N = 332 750 облаками в трехмерной плазме в фор­ ме куба с ребром 100 kD, находящейся в сетке 32 X 32 X 32. При этих параметрах nkf) « 0,3, так что, будь частицы точками, их нельзя было бы рассматривать как плазму. Однако частицы Морза и Нильсона можно трактовать как облака с N c ж п (Ах)3 « 10, поэтому можно надеяться, что они будут вести себя как плазма. Используя теперь формулу (15) и фиг. 7, получаем (ѵ/сор)0блако ~

существенным.