Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 339

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

274

Гл.

7. Модели плазмы без столкновений

в виде

 

 

 

р " + 1 =

( І + А ) ( І + В) (I + C)(I + D) p 11.

Вычислительный процесс, выполняемый на каждом шаге по вре­ мени, делится на четыре этапа. На первом этапе вычисляется

перенос в направлении Z,

на втором — в

направлении R с ис­

пользованием

результатов

первого этапа,

затем — в направле­

нии uz с использованием

результатов второго этапа и, наконец,

в направлении

иТ с использованием результатов третьего этапа.

Для уравнения (44) соответствующие разностные уравнения даются формулами (59а) — (59г); при этом дробная запись времени

используется для удобства обозначения этапов

и не представляет

дробных

временных

шагов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п-j-l/ 4

I —

П

 

 

1

 

3, ft,

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p i, j , ft,

P i,

3, ft, 2

“Г

~T

2

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k h * K X

ft, i ) (P?+1. з, ft, I — P?—l, j, ft, i) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 m h l f ,

j,

 

 

 

 

/ k h * Л т \ 2

 

1

 

/

ft'1

 

 

 

 

a

},

ft,

l

 

 

■j, j, ft, г

— pi—l, j, ft, i

\

 

 

 

P ii-+ 1 , i,

ft, l — p i,

 

 

 

V mh

/

i f

3 , h,ft, I2

\'

liY i­+ 1 ,

3,

ft, 2~t~ l

},1

j,

ft,

l

 

 

i f ,

j, ft, i

l

i —.i , i, ft, i

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(59a)

„ n + 1 /г

 

„ n + i /4

,

1 „

.

ft,

л -

 

/

 

№ * А т

 

\ 4,

 

 

 

 

 

P i, 3,

ft, г —

Рг, 3, ft, 2

+

4

° i ,

3,

 

 

 

 

 

 

 

ft I j

X

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

/ n + l/4

 

 

_

n + l/4

 

ч

,

/

г л * д т

\ 2

 

 

 

X

 

 

 

 

 

X

( P i,

З'-И ,

ft, 2

 

P i,

3-

1,

ft,

i ) +

(

ll

 

 

>

If ,

3 , ft,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

X /

n + i /4

 

_ n n + 1/4

 

Г .П + І /4

 

_

п П + і / 4

 

 

 

(596)

 

 

 

 

Ш ,

3 + 1 ,

ft,

г

" i,

з', ft, г

 

 

Иj,і j,3,ft,i~Pj,i,

3- - 1,ft,,г

\

 

 

 

 

 

V7?V", j+i, ft, г + Ѵ", j, ft, г

 

 

Vi?,. 3, ft,

 

г +

Ѵ?,

j - ц

ft, г

'

 

P ®

, г

=

П+1/2

■ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P?,t ft,І

+ T °i. + ft. ;ÄT+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(pz)i, 3At \)

lftn,11+1/2+ 1l l

 

 

„ n + 1/ä

 

4

,

 

 

 

 

 

 

 

 

+(2^ * 7 ?, 3, ft, 2 J (Pi, 3, ft+i, г— Pi, 3, ft-i, гҢ-

 

 

 

 

 

 

 

,

п (pм z )іf, з аА тт

~[1 2

1

 

 

/

П + І / 2

 

 

 

-ПП+Х/2

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P i, j ,

f t + i, г

 

 

P j,i. j3,. ft,.

 

 

 

 

 

 

+ L

A*

 

J l ? , 3 , h , i \ l f , 3 , h + i , i + l i , 3 , k,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И+1/2

 

_

П+1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi, 3, h, г

 

Pi, 3, ft—l, г

 

( 5 9 b )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vi)

j , ft,

 

i

+

Y ? ,,-,f t -

l, i >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n + l

 

_

n + 3 / 4

 

1

 

 

 

л -

 

I

 

(Л-)? .-Дт

\

 

, ,

 

 

 

 

 

 

ft, 2

 

 

 

 

 

l ^ r , i ■

h I

)

 

 

 

 

 

 

Pi, 3,

— Pi, 3,

ft, 2

I 4

 

j. ft, l^-x

\

( 2h*yV-

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V /

n+3/4

 

 

 

П+З/4

 

,

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (Pi,

3, ft, 2+1 ~

Pi, 3, ft, 2- 1 ) +

 

 

 

 

 

 

§ 2. Решение

уравнения

Власова

 

275

(РгУі

1

п « + 3/4

 

п П + 3/4

 

 

/ Рі,. 3,і. k,. Iг+ 1

Рі, з, к, I

 

+ [ Э Д

«г, з, К I V 7 ? 4 ь

і+ЧІ

 

 

 

 

nn + 3/l

.™+3/4

 

 

 

Рі, з, k, I

i,

ft, i—1 \

(59r)

 

 

 

 

n

/ *

 

 

 

 

г, j,

ft, г -1 7

 

Условия устойчивости для этого конечно-разностного метода ука­ заны в соотношениях (58).

Так как конечно-разностная сетка четырехмерного фазо­ вого пространства состоит из очень большого числа узлов, то для каждого момента времени только часть информации можно по­ местить в оперативной памяти; остальная часть размещается на магнитных дисках. В оперативной памяти находятся все значе­ ния р и у для четырех полос по і, т. е. при фиксированном значе­

нии

і величины уі у, h<и р£ у, к и рі1- іj , и, i,

Уі - і, і, ки рГ+ і, і, и, і

и т. д. при всех і,

к, I используются для вычисления р"£ь(4г при

всех і, к, I. Величины рГ,у)й,2г ПРИ всех />

2 вычисляются и по­

мещаются на место р?—і

которые в дальнейшем не нужны;

затем вычисляются

р"

и помещаются на место р н а к о -

нец,

вычисляются

р,, у , fe, г

и помещаются

на место рі, у, и, і- До

перехода к следующему значению і вычисляются вклады в раз­

личные интегралы, такие, как I, и проводится контроль консер­ вативности. Когда циклы вычисления р закончены для всех значе­ ний і, можно решить уравнение для ц, завершая самосогласован­ ное решение на шаге по времени.

Рассмотрим реализацию граничных условий для уравнения, которому удовлетворяет функция р, и вопрос о сохранении числа

частиц. Частицы могут теряться

на физических границах Z =

I*,

Z - — I*, R

=

Ri и R — R 2.

В ходе вычислений они могут

теряться также и на границах

области скоростей.

мы

При і = I

(Z = -f- l*)

для

/с >

0 вместо формул (59а)

используем

 

 

 

 

 

 

П+і/4

_

п

kh*Ат

 

 

Рі, 3, К I — РI, 3, к, I- (

mh-fjI,

з,к, I

) (РІ,і,к,1 — Рі-1, з, к, l),

(60)

и затем используем формулы (596) — (59г) для вычисления р/.уД,;, /с > 0. В этих формулах мы полагаем И/, у, ft, і = 0 для к ^ 0. При і = I для к < 0 инжектируются частицы. В этом случае формула (59а) принимает вид

kh*&.x

РЙ '/h, I = Рі, з, к, I+ °І, 3, к, іАт + ( ■) р?-1, 3, к, I + >Zmhyj' jt К,,

/ kh*Ат \ 2

1

/

— Р?, у, ft, I

Pi, j, k, i ~ P?-i, j, fe, i \

(61)

mh ) yn

K ,

\

2y?, y, ft, ,

V?, y, ft, I+V?_i, у, k, i /

 

18*

276 Гл. 7. Модели плазмы без столкновений

Дальше для вычисления р п р и к < О используются фор­ мулы (596)—(59г). Необходимо также вычислить поток теряемых

частиц при

Z — l*.

Для к > 0

значения

 

включаются

в сумму

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п + І

К

L

J

nm .

 

 

 

■= h*3hAx 2

2

И

2

Pj,

и h, £

 

(62)

 

V?I ,

i , К I

 

 

 

771=1 k = l

l= —L j = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

При i = - /

(Z =

Z*) для

Z c<0

вместо (59a) мы используем

 

 

АТг*Ат

 

) (p-i+i,j, ft, г — Р-r, i, ft, i)

(63)

P-г, i, /I, г ■: p-i, j, k, I— ( m/iy™

ft, г

 

 

/, j,

 

 

 

 

 

 

 

и затем для вычисления р—/Д, и, і

при к ^

0

используем форму­

лы (596)—(59г). Так как с этой стороны при к >

0 частицы не

инжектируются, мы

ставим условие р"/Д, й, г = 0.

При і ~

— I

для /с <2 0

вычисляем сумму

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ti-f“1 —К

L

 

J

 

 

 

 

M l ?

2

2

 

2 і *

 

 

 

(64)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тп— 1 /г— — 1 ? = —L . ? = /

 

 

 

 

Внутренней границей по радиусу для уравнения (44), і? =

R t,

мы считаем

значение /Д = /мин/і и другой

границей — значение

R 2 =

/р/і. При / = / р и Z< 0 мы ставим условие р™j p, h, і~ Одля

всех і, /с, п. При Z^

0 и /

= / р

значения р вычисляются.

Для

этого

сначала

по формулам

(59а)

вычисляются р і Д ^ Д , Вместо

(596)

мы используем

lh*Ax

 

 

 

 

 

„П-И/2

rtn+V4

\ / «+Ѵ4

П+І/4

.

(65)

Pi,

Jp, ft, г =

Рг,

Jр, ft,

<.hyf

 

)(Pi, Jp.-ft, г

■Pi,7p-1, ft, l)‘

 

 

 

 

i,Jp, ft, г

 

 

 

 

 

Затем значения

p™j p, s, г (Z ^

0)

вычисляются по формулам (59в)

и (59г). В сумму теряемых частиц добавляются частицы, потерян­ ные при R = R 2,

 

 

 

п + і

К

L

I

т-

 

 

 

(fi+l = h*3(mh)Ax 2

2

2

2

 

 

h l

 

( 66)

 

Р

 

m'—i k = - K 1=1 i = - J

Н J

 

 

 

 

 

г’ V

 

 

 

(mh = AZ и т' — индекс суммирования).

 

 

 

 

 

При / = /мин и Z>

0 мы ставим

условие р£ ,мин, Кг = 0 для

всех г, /с, п. Для Z^ 0

сначала вычисляются р £ ^ д , s, г по форму­

лам (59а). Вместо (596) мы используем

 

 

 

 

 

 

Итг. +і/г

: р”11/4 ft, г

■

lh*Äx

I'

 

 

1+1 ’

 

 

тг—f—i/4

I №

 

 

 

 

Рь

 

■’мин ft, 11

 

- )(P ”11/4

 

fe’

г —

 

’ м и н ’ ft, г)•

'мт

 

 

 

 

(67)

§ 2. Решение уравнения Власова

277

Затем вычисляем рГ.^мин-М U ^ 0), используя формулы

(59в)

и (59г). В сумму теряемых частиц добавляются частицы, ные при R = Ri

 

71+і

К

- L

I

»771'

QV1

к *3(т к) Дт 2

2

2

2

і, Імин’ k» *

vT1'.

х умин

 

 

 

 

т'= 1 к = ~ К 1=—1 г—- I

гг, ;мин’ ^

 

 

потерян­

( 68)

Вдоль границ в пространстве скоростей /с = + К и I = + £ мы вычисляем р по обычным формулам (59а)—(59г). При этом мы ставим условие

PÜ і, к+1 , 1 = Р?, з, - к - 1 , 1 = 0

для всех г, /, Z, /г, когда используются формулы (59в), и

Р?, 3, ft,L+1 = р£ І, ft, —L—1 = 0

для всех і, j, I, п, когда используются формулы (59г). Чтобы такая процедура была оправданной, необходимо взять Кк* и Lh* достаточно большими.

Кроме сумм М и Q для потерянных на материальных Границах

частиц, вычисляются

также сумма инжектированных частиц

и сумма частиц на сетке.

Общее число частиц,

инжектированных в систему в момент t,

 

t

дается выражением АиТ АигАг Az j S dt', где Aur Аuz Ar Az — эле-

 

o

мент фазового пространства, используемый для инжекции. Если

мы инжектируем частицы в одну

ячейку, то

вычисляем безраз­

мерную величину

п+1

 

 

 

N n+1= k*2k2m

2 от 'Атт ' .

(69)

 

m'—i

 

Полное число частиц в системе в момент времени t = tn+1 пропор­ ционально

I

J

К

L

 

SUMn+1 = k*2k2m 2

2

2

2 PVIКI-

(70)

г= -І з= 1 f t = — К l=—L

При сохранении числа частиц должно выполняться равенство

SUMn+1 + M n+1 + Qn+1 = N n+1,

(71)

в котором М и Q означают полное число частиц, потерянных на

физических границах и определенных формулами

(62), (64),(66)

и (68).

 

электромагнитного поля

выражением

Определим энергию

 

2 я

I

г м а к с

 

 

 

[ rdr[B2 + E2}.

 

0

- I

"о

Смотрите также файлы