Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

где Е = — d(p/dx и р есть правая часть уравнения (3). Аппрокси­ мация уравнения (22) имеет вид

<Р?+ 1 — 2<р? + <р?_і = — (Аж )2 р?.

Написанные выше разностные уравнения использовались в про­ грамме Дж. Кларка, предназначенной для изучения проблем ограниченной плазмы. Математической моделью плазмы служили уравнения (1)—(3) с соответствующими граничными условиями. Результаты будут опубликованы как часть его диссертации. Про­ грамма продемонстрировалапревосходные консервативные свойства в таких задачах.

Другая одномерная модель реализована в программе RESIST [2, 3], которая предназначалась для изучения эффекта сопротив­ ления захваченного электронного слоя в экспериментах на уста­ новке «Астрой». В качестве математической модели плазмы ис­ пользовалось уравнение Власова для функции распределения электронов в фазовом пространстве (z, vz). Вычислялись также самосогласованные электрическое и магнитное поля, которые за­ тем подставлялись в уравнение Власова. Для решения уравне­ ния Власова применялась обобщенная на двумерный случай раз­ ностная схема «вниз по течению — вверх по течению», представ­ ленная формулой (14).

Еще одна одномерная модель реализована в программе MINILAYER. Это упрощенный вариант программы LAYER [4]. Программа MINILAYER рассчитана на решение уравнения Власо­ ва для функции распределения электронов в фазовом пространст­ ве (z, vz), в то время как прграмма LAYER предназначена для четырехмерного фазового пространства. При этом использова­ лась схема второго порядка точности типа уравнений (17), обоб­ щенная на случай двух измерений с применением техники рас­ щепления. Мы обсудим программу LAYER в следующем пункте.

Келлогом [5] при изучении двухпотоковой неустойчивости были решены уравнения (1)—(3) с применением разностной схемы «с перешагиванием».

2. Двумерная модель

а. Введение

Существуют программы для решения двумерного уравнения Власова, т. е. в четырехмерном фазовом пространстве. Рассмотрим уравнение

для каждого сорта частиц и уравнение Пуассона

. д2Ф , д2ф =

(24)

9ж2 ' ду2

266 Гл. 7. Модели плазмы без столкновений

в выражение для сил включается не зависящее от времени маг­ нитное поле. Важной особенностью этих программ является быст­ рый метод решения уравнения Пуассона.

Уравнение (23) можно решать также конечно-разностными ме­ тодами. Двухшаговый метод типа уравнений (20) и (21) можно ■обобщить на четыре измерения. Такая четырехмерная задача возникает при вычислении самосогласованного магнитного поля установки «Астрон», которая была решена конечно-разностными методами [4].

В экспериментах по управляемому синтезу на установке «Аст­ рон» (Ливермор) релятивистские электроны инжектируются в ци­ линдрическую область с внешним магнитным полем. В результа­ те формируется A-слой (цилиндрический слой электронов), соб­ ственное поле которого превышает внешнее поле. Результирующая конфигурация предполагается аксиально-симметричной без ази­ мутальной компоненты магнитного поля.

Математической моделью, описывающей формирование элек­ тронного слоя и собственного поля, служит уравнение Власова, которое интегрируется по времени совместно с уравнениями Макс­ велла. При этом компоненты поля Вг и B z могут быть записаны с помощью функции потока ф (г, z, t). Канонический угловой мо­ мент pq является интегралом движения, и мы предполагаем, что все электроны инжектируются с фиксированным значением рѳ. Таким образом, необходимо рассматривать функцию распределе­ ния электронов /, определенную в четырехмерном фазовом про­ странстве (г, z, рТ, pz). В настоящем обсуждении мы считаем, что система электрически нейтральна в каждой точке. Распределение ионов явно не вычисляется, но предполагается, что их присутствие нейтрализует заряд слоя.

В настоящее время М. Бретшнайдер разрабатывает новый вари­ ант программы, в котором снимается предположение о нейтраль­ ности. В этом варианте электрический потенциал ф (г, z, t) также вычисляется конечно-разностными методами.