Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

в. Безразмерные уравнения, граничные условия

При выполнении такого рода расчетов естественно ввести под­ ходящую систему безразмерных переменных. Вместо функции ф,

определяемой равенством (30), введем переменную р, которую

определим следующим образом: р = ty!(pö/m0c). Для оценки р ѳ рассмотрим равновесную орбиту в вакуумном поле. Будем счи­ тать, что в средней плоскости z = 0 влияние граничного пробоч­ ного поля пренебрежимо мало, т. е. поле в вакууме при z = 0 определяется соотношением A q (г, 0) = V2 B Qr, где В 0 — констан­ та, зависящая от энергии инжекции, радиуса и угла наклона. Для равновесных орбит при z = 0 из радиального уравнения движения мы имеем

m0yr0Qz= — ~ r0QB0,

где г0 — радиус равновесной орбиты при z = 0. Следовательно,

Введем следующие безразмерные переменные:

С учетом этих обозначений из соотношений (30), (32) и (40) имеем

Удобно положить p = Pc + p, где pc характеризует поле в ваку­ уме, которое создается внешними катушками, а р — вклад элек­ тронного слоя. Функция рс удовлетворяет уравнению

Вместо электронной функции распределения введем безразмерную

Это потенциал движения электронов, и уравнения движения в но­ вых переменных принимают вид

Полную систему уравнений можно записать теперь в безразмерной форме. Уравнение (39) принимает вид

Мы хотим решить задачу с начальными условиями, определяе­ мую уравнениями (43) и (44) с учетом обозначений (45)—(50). При t = 0 мы имеем

(X= Цс = 1 “Ь 2Пй0е«

Следовательно, начальное условие для уравнения (43) имеет вид

влияние электронного слоя было, пренебрежимо малым. Гранич­ ные условия ставятся для проводящих стенок и имеют вид

В новой программе конечно-разностным методом вычисляются также электрический потенциал ф (г, z, t) и аксиальная компо­ нента векторного потенциала A z (г, г, t). В явной записи разност­ ные уравнения для этих величин сходны с уравнениями (51). Существует вариант программы, в котором решаются три урав­ нения для полей методом переменных направлений.

Рассмотрим теперь конечно-разностные методы решения урав­ нения (44). Оно является уравнением с частными производными гиперболического типа, и, следовательно, подходящими будут методы, обсуждавшиеся в п. 1,6. Схема «вниз по течению — вверх по течению», определенная формулой (14), может быть обобщена на случай четырех измерений, и условия устойчи­ вости принимают вид

В первом варианте программы LAYER использовалась эта схема и явная аппроксимация для уравнения (43). К сожалению, такая схема вызывает искусственную диффузию, которая через короткое время портит результат.

Рассмотрим центрированную по пространству и времени трех­ слойную аппроксимацию типа «с перешагиванием», определяемую формулой (15). Обобщение на несколько измерений выполняется непосредственно и приводит к условиям устойчивости схемы вида (58). Такая схема использовалась во втором варианте про­ граммы LAYER. Вычисления, выполненные этим методом, дали довольно хорошие результаты, однако на грубой сетке, применяв­ шейся при решении задачи, они были недостаточно точны для вычислений на большом промежутке времени. Кроме того, метод оказался невыгодным из-за трехслойности формул, и когда шаг по времени приходилось уменьшать по соображениям устойчиво­ сти, возникало много затруднений.

В третьем варианте программы LAYER использовалась трех­ точечная аппроксимация переносного члена, аналогичная форму­ ле (17). Схема имеет второй порядок точности и обладает тем преимуществом, что является двухслойной. Обобщение на не­ сколько измерений нетривиально и может привести к неустойчиво­ му методу, если не выполнить его корректно [6]. Аппроксимацию (17) для одномерного уравнения можно записать в матричной форме: рп+1 = (I + А) р”. Если мы рассмотрим двумерное урав­ нение и возьмем аппроксимацию вида pn+1 = (I -j- А -)-; В) р", то получится нустойчивая схема. Однако если использовать опера­ торное уравнение рп+1 == (/ + А) (I + В)рп, то схема будет устойчивой. Такая схема и была реализована в третьем варианте программы LAYER. Разностные уравнения можно представить

18-01236