ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 337
Скачиваний: 6
306 Гл. 8. Применение принципа Гамильтона
Важное следствие вывода уравнений для параметров вариа ционным методом —- строгая теорема энергии для этих уравне ний, которая будет справедливой независимо от конкретного выбо ра функций Ф, и Мп- Например, если эти функции не зависят явно от времени и если система консервативна, то из уравнений для параметров следует точное сохранение энергии.
Из-за сложности поведения плазмы в приближении Власова очень желательна большая свобода выбора функций Ф, & и Мп- Эти функции должны выбираться так, чтобы отразить наши зна ния или интуитивные представления о самых важных особенно стях плазмы, характерные для решаемой задачи; они должны модифицироваться по мере накопления информации или обостре ния интуиции. При каждом выборе из вариационного принципа следует единственная система уравнений для параметров. Более того, вариационный принцип можно видоизменить так, чтобы учитывать дополнительные приближения, которые можно сделать для конкретной физической задачи. Большая общность вариа ционного подхода — ценное свойство для численного решения задач, возникающих при экспериментальных исследованиях.
В простейшем случае применения принципа Гамильтона кон тинуум частиц, характерный для приближения Власова, аппрок симируется конечным числом частиц, а потенциалы — некоторым классом непрерывных функций. Некоторые аппроксимационные схемы, полученные таким образом, тесно связаны с находящимися постоянно в употреблении численными методами. Например, если пренебречь магнитным полем, а для скалярного потенциала использовать кусочно-билинейную аппроксимацию, то для послед него можно получить формулу конечных разностей, которая включает процедуру учета «весов» для областей, используемую в расчетах типа «частицы в ячейке» (PIG или СІС) [3—5]. В этом случае из принципа Гамильтона следует специфическая разност ная схема для уравнения Пуассона и специфический метод расчета электрического поля, обеспечивающий выполнение закона сохранения энергии. Вариационный подход для системы с конеч ным числом частиц непосредственно применим в трехмерном слу чае с полными уравнениями Максвелла и внешними полями. Таким образом, можно вывести класс схем, которые будут обобще ниями метода «частиц в ячейке», учитывающими закон сохране ния энергии.
Принцип Гамильтона применим и к задачам, в которых конти нуум частиц приближенно описывается конечным числом пара метров. Частный пример такого рода рассматривался в работе [6 ]. В этом примере исследуется двухпотоковая неустойчивость при низких температурах. По-видимому, из этого исследования мож но получить полуаналитическое описание асимптотического сос тояния этого типа неустойчивости. Вероятно, наиболее привле-
308 |
Гл. 8. Применение принципа Гамильтона |
оптических явлений. Вывод аппроксимационной схемы из прин ципа Гамильтона приводится в § 3. Мы рассмотрим два подхода, метод Лагранжа и метод Гамильтона, и получим теорему энергии. В § 4 мы разовьем метод для рассмотрения конечного числа часстиц и тем самым получим различные сохраняющие энергию обобщения метода «частиц в ячейке». Применение вариационного метода к исследованию двухпотоковой неустойчивости при низких температурах в случае бесконечного числа частиц мы опишем в § 5.
§ 2. О п и с а н и е ф и зи ческой сист ем ы методом
.1 агранж а
1. Физическая система
Рассмотрим плазму, состоящую из частиц N типов, и обозначим массу и заряд частиц типа к через M h и Qk соответственно. Одно частичную функцию распределения для частиц типа к в фазово.м пространстве (г, ѵ) обозначим через f k (г, v, t) и нормируем ее на полное число частиц типа к. Частицы движутся в «самосогласо ванном» электромагнитном поле и, возможно, в обобщенном неэлектромагнитном поле, потенциал которого для частиц типа к обозначим через Uk (г, v, t). Мы также допускаем возможность существования внешних зарядов и токов с плотностями р0 (г, t) и j0 (г, і). Полные плотности зарядов р (г, t) и токов J(r, t) опре делим выражениями
N |
|
Р (г, t) = Ро (г, t) + 2 Qk j d3xfh (г, V, t) |
(2a) |
H r>0 = Jo(r, 0 + 2 |
[ d3x x - f k (r, X, |
t ) . |
(26) |
h= 1 |
|
|
|
Сила Fft ( г , V , t),\ действующая |
на частицу типа |
к, |
положение |
искорость которой определяются в момент времени t векторами
ги V , есть сила Лоренца плюс сила, представляемая обобщенным
потенциалом Uk (г, у, I):
Ffe (г, у, t)r=Qk |^Е (г, 0 + ~ ѵ X В (г, £)J — |
|
~ V rUh(r,x,t) + ^ r VvUk (T,x,t), |
(3) |
где Е — электрическое поле, В — магнитное поле |
и с — ско |
рость света. Точные выражения градиентов по переменным г и ѵ, действующих на функцию от г и ѵ, приведены в приложении А.
