Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 333

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

310 Гл. 8. Применение принципа Гамильтона

при этом не возникнет трудностей, если использовать вариацион­ ный принцип. Это также может быть полезно для некоторых задач нелинейной оптики. Рассмотрение такого класса сред может найти применение и в физике цлазмы, хотя мы и не предлагаем здесь ничего конкретного. Чтобы рассматривать поляризуемые и нама­

гничиваемые среды, мы запишем уравнения Максвелла

в виде

Ѵ.В = 0,

(10а)

Ѵ х Е = - ~ В ,

(106)

V-D = 4jtp,

(На)

V x H = ^ j + i l ) .

(116)

Векторы D

и H определяются скалярными функциями ф (Е, г, t)

и X (В; г,

t) с помощью формул

D (г,

£) = 4яѴЕф (Е,

г,

t)

(12а)

и

 

 

 

 

Н(г,

*) = 4яѴвХ(В,

г,

*)•

(126)

Векторы D и Н зависят от г и t неявно, через зависимость Е и В от г и <. Кроме этой неявной зависимости, допускается также явная зависимость от г и t. Функции ф и х могут быть полезны, когда природа и распределение поляризуемой и намагничиваемой среды изменяются в пространстве и времени. Обычно в областях, где могут быть частицы, мы будем использовать

* = 8 Ѵ в г

"

* =

<13>

так что

 

 

 

D = E

и

Н = В.

(14)

Скалярный и векторный потенциалы, ср (г, і ) и А (г, t), мы введем стандартным способом:

Е = — Ѵф — у Â

(15а)

и

 

 

В =

V X А.

(156)

В этом случае уравнения

(10) удовлетворяются

автоматически.

§ 2. Метод Лагранжа

311

2. Вывод точных уравнений из принципа Гамильтона

Для конечного числа точечных частиц, которые взаимодей­ ствуют через электромагнитное поле, имеется точный лагранжиан для описания и частиц, и поля [7]. Лагранжиан, который мы будем использовать,— обобщение лагранжиана точечных частиц на случай непрерывных систем, которое учитывает возможность описания нелинейной среды и обобщенных неэлектромагнитных потенциалов [8 , 9]. Впервые на возможность описания плазмы в приближении Власова такой аппроксимацией лагранжиана для

случая

непрерывных систем указали Лоу 110] и Старрок

[11]

в связи с анализом линеаризованных уравнений.

 

Лагранжиан имеет

вид

 

 

N

 

 

 

 

L = 2

J d h ' d W h i x ’, v', 0) | у MfeR | — Uk (It*, R,t, t ) ~

 

fc=i

J

 

 

 

—

+

o } +

j d3r {ф(Е, r, t) — x(B, r, t) —

 

 

 

V

 

 

 

— Po(r, і)ф(г,

0 + y io(r, 0*A(r- o } •

(16)

В этой формуле ради простоты мы использовали запись Rfe вместо Rft (г% v', t). В последующем, если аргументы у функции Rfe будут опущены, их следует иметь в виду. Интегрирование по г' и ѵ' выполняется по всей области изменения этих переменных. Инте­ грирование по г производится по объему V, на границе которого должны быть заданы соответствующие граничные условия для электромагнитного поля. В объеме V должны находиться все частицы в течение всего рассматриваемого времени, т. е. вектор Rfe (r', v', t) должен лежать внутри объема для всех значений г' и ѵ' в течение этого промежутка времени. Впрочем, если система обладает бесконечной периодической структурой, то можно моди­ фицировать уравнение (16) таким образом, чтобы интегрировать по г' и г только внутри «ячейки периодичности». Интеграл по «ячейке периодичности» не зависит от выбора ячейки, поэтому интегрирование по одной ячейке вместо интегрирования по всему объему изменяет лагранжиан лишь на несущественный числен­ ный множитель. Векторы Е и В должны быть выражены через <р и А из уравнений (15).

Точные уравнения для физической системы могут быть выве­

дены из принципа Гамильтона

 

І2

(17)

6 j L d t^ O .

ti

 

312

Гл. 8. Применение принципа Гамильтона

Функции ф, А и Rh в (17) варьируются независимо, tt и t2 — два произвольных момента времени. Б этом пункте мы выведем точ­ ные уравнения из (17) и в процессе вывода определим, какие огра­ ничения должны быть наложены на вариации функций ф, А и Rft.

Вариация интеграла от лагранжиана по Rft имеет вид

НІ2

8Ч j L d t= j dt J <ZVdV/ft(r\ v', 0) { [ - V Rftt7*(Rft, Rft, t ) ~ ti ti

<?ftVRfc(p (Rfe, t) + ± Q k (VRfeA (Rft, t))• Rfe] • ÖRft-f

+ [M ftRfe- V Ä Uh(Rh, Rk, t) + ± Q hA(R*, f)]-6Rfe} =

<2

= \ d t j dh'dWfbir', v', 0) { - M hRh- V KhUk (Rh: Rfe, t) +

и

+ -jf ^ Uk (Rfe, Rfe, t) — (?ггѴк^ф (Rfe, t) — — Qh (Rfe, t)

+ — Qk [(VRfeA (Rfe, t)) •Rfe— Rfe• VRjA (Rfe, i)] I • 6Rfe+

■г I [л /feRfe— ^ Ufe (Rfe, Rfe, t) + — (?ftА (Rfe, t)J -öRfe I . (18)

Ограничим вариации no Rh, потребовав, чтобы они обращались в нуль при t = ti и t = t2:

öRfc (r', v', ti) = öRfc (r', v', 12) = 0.

(19)

Это означает, что Rft варьируется в классе функций, которые совпадают при t = и t = t2 с искомым решением. В результате этого ограничения часть выражения (18), представляющая зна­ чения вариации для и t2, исчезает:

{[M feRfe-V^tM Rfe, Rfe, t)-\-~QkA (Rfe, i) ] .6Rfc} |;; = 0. (20)

Так как вариация (18) должна обращаться в нуль для произволь­ ной öRfe, удовлетворяющей условию (19), то подынтегральное выражение в (18)/1?акже должно обращаться в нуль. Если прирав­ нять нулю подынтегральное выражение (18) и воспользоваться векторным тождеством

(VRfeA (Rfe, «))-Rfe- Rh-VRftA (Rfe, t) = Rfe X (VRft у А (Rh, t)), (21)

то получим уравнение движения частицы (4).

 

 

§ 2. Метод Лагранжа

313

Вариация интеграла от лагранжиана по ср есть

 

І2

-TV

t%

 

бф J L d t =

— 2

j dt ^ d3r'd3\ ' f k (r', v', 0 ) < ? f e t)6 +c p

( R Ä ,

t,

k= i

t\

 

І2

 

 

 

+ j dt j <33r{ — [ѴЕф(Е, r, i)]-6 [V(p(r, £)]—p0(r, i)öq>(r, t)}. ( 22>

<1 V

В подынтегральном выражении к-то члена суммы в (22) перейдем от переменных г' и ѵ ' к переменным г и ѵ в соответствии с (7) и (8). Можно показать, что якобиан этого преобразования равен едини­ це. Используем также тождество (9). Тогда вариацию по ср можно* записать в виде

h

<2

 

 

N

 

 

 

бф j L dt =

j dt j

d3r I — Г 2

Qh j d3\fk (г, v, г)] бср (r, t) —

 

<1

<1

 

 

 

V ft = l

 

 

 

 

— 4)TD (r ’ ^)-ö[Vcp (r, 01— Po(r, Обф(г, *)} =

 

 

 

 

<2

 

 

 

 

 

 

 

=

J d t

J d3r

{ ~

р (г’ *) +

’é r v , D (r’ *)} M n

<) —

 

 

 

«1

V

 

 

 

 

 

 

 

<2

 

 

 

 

 

 

~

T

n \ dt

1

dS-[8<p(r, t)D(r, t)].

(23>

 

 

 

t1

граница V

 

 

 

Наложим

теперь

граничное условие

 

 

 

 

 

j

dS- [бф (г, if) D(r,

£)] = 0 .

(24)

граница V

Один из способов удовлетворить этому граничному условию — положить ф (г, і) равным такому значению на границе V, чтобы на этой границе бф (г, t) была равна нулю. Так как выражение (23) должно обращаться в нуль для произвольной бф, удовлетворяю­ щей условию (24), то подынтегральное выражение в интеграле по объему тоже должно обращаться в нуль. Полученное таким обра­ зом уравнение есть одно из уравнений Максвелла, (На).

Вариация интеграла от лагранжиана по А есть

/2

N

Н

 

бА j

L d t = 2

 

dt j d3r'd3\ ' f k (r', v', 0 ) ± Q hk h-ÖA(Rh, <)+

ti

h=i tj

 

 

 

І2

 

 

+

f dtJ

Vf d3v { - ~ [ѴЕф (E, r, 01-6 [Â (r, t)] -

[Vbx (B, r, if)] • 6 [V X А (г, *)] + — jo (г, г)*бА(г, о } • (25)

314 Гл. 8. Применение принципа Гамильтона

Преобразуем интегралы, входящие в сумму в (25), таким же образом, как и интегралы в (22). Тогда вариация по А может

быть

записана

в

виде

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

N

 

 

 

 

 

 

j

dt

^

d3r I у [

2

Qh j d3\vfk (г, V, it)j-8A(r,

t) —

 

 

ti

 

V

h= 1

 

 

 

 

 

 

— 4^

D (r ’ 0-6[Â(r,

01 —-^ -H (r,

0 ' б [ ѵ X A(r, *)] +

 

 

 

 

 

+ 7 -І0 (r, t)- 8A (r, 0 } =

 

 

<2

dt j dh { y j(r, ^ + 4^ D ( r , 0 —'

X H (r, *)}-öA(r, t) —

= j

ti

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 4 SF j ^ { D ( r , «)-бА(г, 0 f ö -

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І2

 

d S - [6A (r, t) X H (r, £)].

 

 

 

 

 

— 4~ j

^

j

(26)

 

 

 

 

ii

 

граница V

 

 

 

Ограничим вариацию компоненты 6 А,

параллельной вектору D

потребовав,

чтобы она обращалась

в нуль при t =

и t

= t2-

 

 

D (r,

*i)*6A(r,

ij) = D(r,

t2)-öA (r, t2) = 0.

 

(27)

Это означает, что А варьируется в классе функций, компоненты которых вдоль D совпадают с аналогичными компонентами иско­ мого решения для А в моменты и t2■В результате этого ограни­ чения предпоследний член в (26) исчезает:

D(r, г)-SA (г, t) |(1 = 0.

(28)

Наложим также граничное условие

[ dS-[ÖA (г, t) X H(r, t)] = 0 ,

(29)

граница V

чтобы и последний член в (26) исчезал. Один из способов удовлет­ ворить этому граничному условию — положить А (г, t) равным такому значению на границе F, чтобы вариация 6А (г, t) обрати­ лась в нуль на этой границе. Однако так сильно ограничивать 6 А нет необходимости. Так как правая часть выражения (26) должна исчезать для произвольной вариации 6 А, удовлетворяющей усло­ виям (27) и (29), то подынтегральное выражение интеграла по объему также должно исчезнуть. В результате получится другое требуемое уравнение Максвелла (116).

Подытоживая, отметим, что из принципа Гамильтона (17) следуют правильные уравнения для физической системы, если вариации ограничены условиями (19), (24), (27) и (29).

Смотрите также файлы