Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

3. Обсуждение ограничений, налагаемых на вариации векторного потенциала

Мы будем рассматривать такие аппроксимационные схемы, в ко­ торых приходится накладывать ограничения на все компоненты вариации вектора А (г, t). Мы будем требовать, чтобы все эти компоненты обращались в нуль при ty и t2. Конечно, это намного более сильное ограничение, чем (27), которое было единственным ограничением, налагаемым на ÖA, при выводе точных уравнений из принципа Гамильтона. Сейчас мы покажем, что требование калибровочной инвариантности для электромагнитного поля поз­ воляет потребовать обращения в нуль вариаций А (г, t) при tx

и<2 без потери общности.

Прежде всего заметим, что электромагнитные потенциалы используются только для расчета электрического и магнитного полей. Поэтому если варьируются потенциалы в лагранжиане, то варьироваться они должны в определенном классе функций.

Последние должны удовлетворять граничным и начальным услови­ ям, которые мы получили в предыдущем пункте, и из них должны выводиться все нужные электрические и магнитные поля. Имеется множество таких классов функций, и все они связаны калибровоч­ ным преобразованием.

Вариации векторов Е и В, которые следуют из вариаций <р и А,

Начальные условия, согласно которым поле В (г, t) должно быть единственным, эквивалентны фиксированию В (г, t) в моменты tl и t2. Поэтому мы должны рассматривать только такие вариации, при которых бВ (г, ti) и бВ (г, t2) равны нулю. В этом случае из уравнения (306) следует, что 6 А (г, t%) и 6 А (г, t2) — градиенты скалярных функций. Пусть г) (г, t),— некоторая скалярная функция. Используя калибровочную инвариантность, введем новые (штрихованные) вариации потенциалов:

Следовательно, применяя принцип Гамильтона, мы можем заме­

Га м и л ьт о н а

1.Метод Лагранжа

Чтобы использовать принцип Гамильтона для вывода аппрок­ симационных схем расчета функций ф, А и Rfe, надо сначала выб­ рать соответствующий способ аппроксимации этих функций. Мы рассмотрим такие аппроксимации, которые можно представить с помощью набора зависящих от времени параметров. Зависимость этих параметров от времени подлежит определению. Иными сло­

где Ф, j# и Мъ — выбираемые функции своих аргументов, а за­ висимость от t параметров ап (t), ßm (t) и ykl (t) должна быть опре­ делена. Функции Ф, и и начальные условия для ап (t), ßm (t) и ykt (t) должны выбираться таким образом, чтобы удовлет­ ворить граничным и начальным условиям для потенциалов и тра­ екторий, соответствующих рассматриваемой задаче. Сущность нашего вывода аппроксимационных схем — в использовании прин­ ципа Гамильтона для получения единственной системы уравнений

случае можно выбрать функции Ф, jf- и M h, которые не зависят от времени явно и выражаются линейными комбинациями конечного числа линейно-независимых базисных функций с зависящими от времени коэффициентами:

Такой частный выбор, когда используется линейная зависимость от конечного числа параметров, часто очень удобен. Однако это очень специальный выбор. Функции можно определить так, чтобы зависимость от параметров была бы существенно нелинейной. Выражения (32) должны быть совершенно общими, с тем чтобы при решении конкретной задачи выбрать на основании имеющихся знаний и интуитивных представлений о физической системе удоб­ ный тип аппроксимации. В самом деле, если точное решение выра­ жается через Ф, j#, то при этом не делается никаких при­ ближений.

Если функции Ф, и Mh определены, то их можно использо­ вать в лагранжиане (16) вместо обычных функций ф, А и Rft.

ванию каждого из параметров в отдельности, были линейно-неза­ висимыми, должны быть линейно-независимыми три набора функ­ ций, дФ!дап, д&Ід$т и dj%k/dyы для всех t. Как следствие этой линейной независимости на вариации ßm (t) и уы (t) в моменты ty и t2 должны быть наложены ограничения, чтобы удовлетворить условиям (19) и (31), налагаемым на 6Rft и бА в те же моменты времени:

Оставшиеся условия (5), (24) и (29), которые требуются для приме­ нения принципа Гамильтона, также удовлетворяются, так как

318 Гл. 8. Применение принципа Гамильтона

граничные и начальные условия для потенциалов и траекторий удовлетворяются в силу формул (32).

Единственная разница между использованием принципа Гамильтона для вывода точных уравнений физической системы и использованием его для вывода уравнений для зависящих от времени параметров в том, что в последнем случае определяются вариации внутри ограниченного класса функций Ф, и Из-за условий (35) уравнения, полученные из вариационного принципа для параметров,— это обычные уравнения Эйлера — Лагранжа, в которых L считается функцией обобщенных координат ап, ßm.

и ум, обобщенных скоростей ßm, yki и, возможно, t. Величина ап

отсутствует, так как ф не входит в выражение точного Лагран­ жиана. Уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид

Это приближенные уравнения, полученные из принципа Гамиль­ тона. Следует заметить, что уравнение (36в) — не дифференциаль­ ное. В принципе его всегда можно решить и выразить а„ (t) через остальные переменные, а результат подставить в уравнения (36а)

и (366).

2. Метод Гамильтона и теорема энергии

Теорема энергии, которая была охарактеризована в § 1 как важнейшее следствие вариационного подхода, может быть про­ иллюстрирована при переходе к методу Гамильтона. Этот метод может быть полезен и в случае численных расчетов, так как систе­ ма уравнений Эйлера —• Лагранжа (36) заменяется системой диф­ ференциальных уравнений первого порядка.

Определим обобщенные моменты от и тм, которые соответ­ ствуют обобщенным скоростям ßm и уы\