ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 315
Скачиваний: 6
§ 2. М ГД-модели |
35? |
для тепловой энергии нейтральной компоненты:
(59>
еп — внутренняя энергия на единицу массы нейтральных частиц^ а хіп — время выравнивания температур между ионами и ней тральными частицами при упругих столкновениях. Последнее слагаемое в уравнении (59) описывает увеличение тепловой энер гии нейтральной компоненты, вызванное «химическими реак циями».
В каждой из трех описанных выше моделей уравнение дли энергии электронов модифицировано путем учета «химических» реакций. Эпплтон и Брей [68 ] показали, что для оптически тон кой плазмы в правую часть уравнения (2 1 ) можно добавить допол
нительный член |
Qe, |
|
|
|
Qe = Іі (Snnne — атпе) — <?rad, |
(60> |
|
где Іі |
— энергия |
ионизации, а @rad — излучение из |
единицы |
объема |
при неупругих столкновениях. Если потребуется, то |
в соответствующие уравнения можно также включить упругий обмен энергией между электронами и нейтральными частицами. Модель одномерной частично ионизованной плазмы, в основном аналогичная случаю 3, была описана Дж. Тейлор и К. Роберт сом; подобный же код был развит Дачсом [15, 7].
б. Расчеты для плазмы с примесями
Небольшая доля примесных ионов может привести к сущест венному эффекту охлаждения лабораторной плазмы [71]. Такой механизм потерь энергии можно в явном виде включить в МГДуравнения ценой минимального их усложнения. Ранее в уравне ние для энергии электронов (2 1 ) были включены потери на тор мозное излучение, учет влияния примесей осуществляется добав лением члена —(?imp в правую часть уравнения (2 1 ).
Предполагается, что примесные атомы связаны с ионным течением, описываемым МГД-уравнениями. В конце каждого шага по времени остается вычислить локальные потери энергии, вызван ные примесями, при найденных значениях электронной плотности и температуры. Механизм потерь энергии обусловлен взаимодей ствием электронов с атомами примесей, в котором рассматривают ся два процесса: ионизация электронами
N (Z, z, g) + е -+ N (Z, z + 1, g) + е + е |
(61> |
352 |
Гл. 9. МГД-методы |
|
|
и радиационная рекомбинация |
|
|
|
N ( Z ,z ,g ) |
+ e - + N ( Z , z - l , g ) |
+ К , |
(62) |
где N (Z , z, g) — ион с |
атомным номером Z и зарядом z. |
термо |
|
Обычно нельзя считать, что установилось |
локальное |
динамическое равновесие, и использовать стационарные уравне ния для ионизации, так как типичное характерное время уста новления равновесного состояния этих процессов может быть больше времени жизни плазмы. Используются нестационарные уравнения из модели солнечной короны [72]:
dNh |
2 ^ihNf |
(63) |
dt |
Здесь Nb — число примесных атомов (ионов) в состоянии к, при чем правая часть (63) описывает различные атомные процессы со скоростями a ih (пе, Те).
6. Граничные условия
а . І-коды
При изучении идеализированных физических явлений есте ственно выбирать простейшие граничные условия. Обычно сеточ ную область считают ограниченной жесткими непроницаемыми стенками, плоскостями симметрии или геометрически выделенны ми точками модели. Другая возможность — введение периодиче ских граничных условий.
Наиболее просты граничные условия на симметричных пло скостях, так как в вычисления можно включить дополнительную сеточную плоскость, на которой легко восстановить физические
переменные. При вычислениях |
по явной схеме это |
относится |
и к периодическим граничным условиям. |
|
|
Особые точки, например г = |
0, в цилиндрических и сфериче |
|
ских системах часто наиболее |
удобно рассматривать, |
применяя |
точные интегральные законы сохранения к сеточной окрестности особой точки. Так, для плотности в начале координат одномерной цилиндрической системы имеем
- jf (я (Ar)2 р (0)) = — 2яДгр (Дг) ѵг (Дг),
где предполагается, что р (0) представляет среднюю по цилиндру радиусом Дг плотность, в то время как азимутальное магнитное
|
|
|
|
§ 2. М ГД-модели |
|
|
|
353 |
|
поле B q (0) = |
0 и |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 г (2АгВв (М ) = |
Ег (2Дг) - Е г (0). |
|
|
|||
Входящее в закон Фарадея электрическое |
поле |
Е г (0) можно |
|||||||
связать |
с |
током |
соотношением |
Ег (0) |
= т) |
(0) jz (0). |
Так как |
||
(djzldr)0 |
= |
0 , |
то |
можно предположить, |
что |
ток |
jz |
однороден |
в цилиндре радиусом Дг; тогда полный ток внутри этого цилиндра
равен |
J = л (Ar)2 jz (0). Отсюда, |
определяя В ѳ (Ar) обычным |
путем, |
находим |
|
|
я г(0) = » |
М . |
Однако если шаг сетки в окрестности особой точки становится
очень мелким [например, шаг |
гД Ѳ вблизи начала координат на |
|||||||||
(г, Ѳ)-плоскости], то при яв |
|
|
|
|
||||||
ной схеме |
счета |
возникают |
|
|
|
|
||||
численные трудности и при |
|
|
|
|
||||||
ходится |
пользоваться |
спе |
|
|
|
|
||||
циальными |
методами, чтобы |
|
|
|
|
|||||
шаг At |
не |
стал неприемлемо |
|
|
|
|
||||
мал из-за условия Куранта — |
|
|
|
|
||||||
Фридрихса — Леви. |
|
|
|
|
|
|||||
На непроницаемой стенке |
|
|
|
|
||||||
скорость |
|
выбирается |
рав |
|
|
|
|
|||
ной нулю, |
а для уц исполь |
|
|
|
|
|||||
зуются два крайних условия: |
Ф и г . 1. Граничная |
|
ячейка. |
|||||||
либо плазма |
беспрепятствен |
Только ее половина площадью 2Дг прилегает |
||||||||
но течет |
вдоль стенки |
(сво |
к етенке. Чтобы применить |
законы сохра |
||||||
нения, предполагается, что |
те переменные, |
|||||||||
бодное |
|
проскальзывание), |
которые не равны в точности нулю на стенке, |
|||||||
|
смещены внутрь на расстояние Д/2 (штриховой |
|||||||||
либо |
она |
связана со стенкой |
кружок). Аналогично поступают |
с параллель |
||||||
(нц = |
0 , отсутствие скольже |
ными |
потоками. |
|
||||||
ния). |
Для |
вычисления уц |
|
можно |
использо |
|||||
в случае свободного проскальзывания опять |
||||||||||
вать |
точный интегральный |
закон сохранения, применив его |
||||||||
для прилегающей к стенке полуячейки (фиг. |
1). В этом случае |
|||||||||
некоторые переменные, такие, |
как уц, эффективно вычисляются |
|||||||||
на расстоянии Д/2 |
от стенки. |
При вычислении нормальных про |
изводных полезно иметь это в виду.
Для уравнений магнитного поля предположим, что стенки либо идеально проводящие, Е ц = 0 , либо идеально проводящие и по крытые тонким изолирующим слоем, /Д = 0 , так что на границе могут происходить обменные движения [73]. Это препятствует прониканию изменяющегося магнитного поля за пределы области вычислений. В случае уравнений для энергии стенки можно рас сматривать как термостат постоянной температуры Те = Т г = = const.
2 3 -01236
354 |
Гл. 9. МГД-методы |
|
б. R-коды |
При изучении реальных экспериментальных установок возни кают гораздо более серьезные трудности. МГД-модель, пригодная для задачи внутри области, может оказаться неадекватной на стенке, и для согласования граничных условий придется решать отдельную систему уравнений (соответствующую физическим условиям на стенке и учитывающую нейтральные частицы и рабо ту выхода материала стенки). Такой метод слишком сложен и обыч но не используется. Более привлекательный подход состоит в ис пользовании подходящих эвристических граничных условий, о которых будет сказано ниже. Можно отметить четыре типичных ситуации.
1) Простейший случай ограниченной плазмы, удерживаемой на расстоянии от стенок магнитным полем, силовые линии кото рого замыкаются внутри плазмы, как в тороидальном пинче. По скольку разряд сжимается, то маловероятно, чтобы влияние стенки было велико, хотя возможен и критический эффект, кото рый трудно рассчитать на ранней стадии. Для «Токамака» или «Стелларатора» может оказаться необходимым внимательное изуче ние граничных условий на диверторе или диафрагме.
2) В Ѳ-пипче силовые линии выходят из плазмы на концах катушки и проходят через изолирующую стенку камеры, так что плазма удерживается в области, форму которой трудно опреде лить. Основные трудности в этой части стенки связаны с элект рическим полем Ez, которое может распространяться в виде альфвеновской волны с круговой поляризацией, а также с тепловой связью между электронами и стенкой. Это интересная двумерная задача, которая все еще удовлетворительно не решена.
3) Тесная связь между плазмой и стенкой существует в уста новках с плазменным фокусом, где в (г, 2)-плоскости возникает течение вдоль коаксиального канала между двумя цилиндриче скими электродами, в котором магнитное поле существует только в Ѳ-направлении. Можно ожидать, что на поверхности электродов будут возникать довольно сложные граничные гидродинамические слои. В отличие от соответствующей ситуации в обычной гидро динамике здесь мы до сих пор не знаем достаточно адекватных граничных условий.
4) Наконец, можно отметить стабилизированный линейный z-пинч, в котором пронизывающие плазму силовые линии выходят из двух электродов, приводя к сильному охлаждению и загряз нению плазмы металлическими примесями.