ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 321
Скачиваний: 6
342 Гл. 9. МГД-методы
вид |
|
U = Y рѵ2+ Y В2+ ер. |
(7) |
Обычно внутреннюю энергию на единицу массы е и давление р
определяют с помощью |
соотношений |
|
(8 ) |
где Т — температура, |
у = 5/ 3 — адиабатическая постоянная. |
Электрическое поле определяется из закона Ома для движущей ся среды в простейшей форме:
|
|
Е + V X В = r)j, |
О) |
где j = |
rot В — ток иг) — электрическое сопротивление. Вектор |
||
потока |
энергии |
имеет вид |
|
|
g = v (T |
Ру2 + ер + р) —Уц”&] + Е X В — xgradJ, |
(10) |
где е — единичный вектор, а к — коэффициент теплопроводности. Шесть слагаемых в этом выражении представляют перенос кине тической и тепловой энергии, работу сил давления среды и вяз кости, вектор Пойнтинга и теплопроводность.
Поскольку уравнения (1) — (4) записаны в консервативной форме, их нетрудно решить консервативным разностным методом, например обобщением схемы Лакса — Вендроффа, используемой в гидродинамике [25]. В этом случае точное сохранение массы, импульса, магнитного потока и полной энергии обеспечивается автоматически, так как каждый член правой части дифференциаль ного уравнения входит дважды, описывая сначала вытекание из одной ячейки сетки и затем втекание в соседнюю ячейку. Могут, однако, возникнуть некоторые трудности, если величины трех членов в [7] сильно различаются. Например, при низких значе ниях ß (ß — отношение давления среды к магнитному давлению) малые ошибки в вычислении магнитного поля могут возрасти и проявиться как аномальный нагрев или охлаждение плазмы. Поэтому может оказаться, что предпочтительнее использовать неконсервативную разностную схему, основанную на уравнении для тепловой энергии:
— div(pev) — pd ivv - f 7 i;- - |^ + r]f + div(xgradr). (И)
В такой записи все описывающие нагрев члены входят явно, причем первые четыре слагаемых в правой части содержат произ водные только первого порядка, вычисляемые в центре ячейки сетки, так что их легко найти численно. [В уравнении (4) вели чины j и Vij приходится вычислять на краю ячейки.]
§ 2. М ГД-модели |
343 |
Теперь мы запишем три системы уравнений, соответственно (А), (В) и (С), которые описывают поведение идеализированных несжимаемых и сжимаемых жидкостей с постоянными коэффициен тами переноса. Выбрав прямоугольную декартову сетку с просты ми граничными условиями, можно будет использовать эти урав нения для изучения трехмерных МГД-процессов на крупнейших из существующих ЭВМ (§ 7).
1. Магнитная гидродинамика несжимаемого течения
Уравнения |
движения несжимаемой жидкости с постоянной |
|
илотностью и |
вязкостью имеют вид |
|
p [4 f + v <Vv) ] = —gr&d р + j X ß + |
(12) |
|
Для численного решения этого уравнения существуют два основ ных метода.
П е р в ы й м е т о д состоит в исключении давления, для чего вычисляем ротор от уравнения движения:
S - = rot(vx g) + W 2g + p_1rot (j ХВ), |
(13) |
где £ = rot V — завихренность, а ѵ = р/р — кинематическая вяз кость. Соответствующее уравнение для магнитного поля имеет вид
= rot (v X В) -f- т]Ѵ2В, |
(14) |
где сопротивление ц также считается постоянным. Скорость опре деляется с помощью функции потока oj^, а последняя вычисляется из завихренности с помощью решения уравнения Пуассона:
V = rot т|5, |
У2,ф = |
—£. |
(15) |
Несжимаемость учитывается тем, что |
уравнение (15) |
решается |
|
по неявной схеме. Поскольку |
и £, и j |
распространяются с альф- |
|
веновской скоростью [61], то при решении уравнений (13) и (14) по явной схеме на шаг по времени накладывается условие Куран та — Фридрихса — Леви.
В т о р о й м е т о д состоит в том, чтобы, вычислив диверген цию от уравнения (12), получить уравнение Пуассона для давле ния. Естественно объединить давление среды и магнитное давле ние:
дѵі |
dvj |
dBj |
dBj |
(16) |
|
Р dxj |
дхі |
' dxj |
дхі |
||
|
После вычисления полного давления его подставляют в уравне ние (1 2 ), которое решают обычным способом.
§ 2. МГД-модели |
345 |
коэффициентами переноса. Введение отдельной электронной тем пературы с необходимостью приводит к членам, описывающим уравнивание энергии и джоулев нагрев, а также к учету тормоз ного излучения. При этом предполагается, что столкновения в плазме играют определяющую роль,
^се^еі ^
где (£>се = еВ/гПрС — электронная циклотронная частота, а хеі — характерное время электрон-ионных соударений. Случай трех пространственных измерений описывается девятью уравнениями,, а именно уравнениями (1) — (4) и уравнением для электронной энергии
(рее) = — Ре div V— div (peev + хе grad Те)~f-
+ Tu-2 _ p i£ p fz — CradP^ . |
(21> |
Tcq |
|
В последнее явно входят члены, описывающие потерю тепловой энергии электронов через передачу к ионам (характерное время выравнивания тед) и через тормозное излучение (постоянная Ста)- Уравнение состояния связывает ее и Те
ее
Те
7 -1 ’
Как уже говорилось выше, уравнение для ионной энергии может оказаться предпочтительнее уравнения сохранения полной энер гии
dtд_ (ре,•) = — Pi (div v) — div (регѵ + хг grad Tt) + |
|
|
+ P |
13 dxj |
(22) |
Если это не так, то в уравнение (4) необходимо включить член, описывающий тормозное излучение.
Для рассматриваемого случая с определяющей ролью столк новений подходят коэффициенты переноса, данные Спитцером [62]:
сопротивление |
|
ТПр |
|
(23) |
|
■1 |
пе2 еі’ |
||||
электронная теплопроводность |
|
Ъпк2Те |
(24) |
||
|
|
|
|||
ионная |
теплопроводность |
Щ |
Ъпк^Ті |
|
(25> |
mivii |
' |
||||
ионная |
вязкость |
г |
Ъпк2Тi |
(26> |
|
ГПіѴіі |
’ |
||||
время выравнивания температур |
Топ- = |
mi |
1 |
(27) |
|
2те ѵе |
|||||
