Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

356 Гл. 9. МГД-методы

Так как альфвеновская скорость СА — В/p1!2 становится боль­ шой в области низкой плотности и сильного магнитного поля, явные методы приводят к жестким ограничениям на шаг по вре­ мени и, казалось бы, техника неявных расчетов предпочтитель­ нее. С другой стороны, математически не установлено, что обыч­ ные неявные методы переменных направлений и дробных шагов ([25], гл. 8) пригодны для случая сильной анизотропии, а с физи­ ческой точки зрения это выглядит весьма сомнительным.

Поскольку многие физические величины переносятся вместе с плазмой, было бы естественно использовать лагранжевы коор­ динаты, устраняя вместе с тем и эффект фиктивной численной диффузии [24]. Однако это выполнимо лишь при весьма простом движении среды, так как иначе сетка слишком искажается. Поэто­ му обычно приходится применять эйлерову схему с высоким порядком аппроксимации переносного члена. В этом случае корот­ коволновая рябь, распространяющаяся со слегка неточной ско­ ростью (численное размытие), может привести к нефизическим значениям переменных — например, плотность или температура могут стать отрицательными. Для предотвращения этого прихо­ дится применять специальные меры.

До сих пор не создано единой разностной схемы, пригодной для решения многомерных МГД-задач общего вида, и лишь ограниченное число проблем может пока вообще рассматриваться. В связи с этим данный параграф содержит описание ряда приемов и предложений, а не является полным обзором разностных мето­ дов. Особо выделим три схемы: неявную схему Хейна и явные схемы: «с перешагиванием» и Лакса — Вендроффа.

Лагранжев вариант неявного метода Хейна, дающий общее решение одномерной задачи, распространяется на случаи двух и трех измерений, хотя все еще не ясно, насколько хорош этот метод в анизотропном случае. Для І-кодов с изотропными и по­ стоянными коэффициентами переноса подходит схема «с переша­ гиванием» (§ 7), которая позволяет решать задачи весьма общего типа. Для аппроксимации диффузионного члена в этой схеме используется метод Дюфора — Франкела [25], но, поскольку последний становится неудобным, когда коэффициенты диффузии

Сформулированные во второй главе системы дифференциаль­ ных уравнений в частных производных, описывая МГД-модели возрастающей сложности, содержат четыре основных типа физи­ ческих процессов:

а) эллиптические,

дом шаге по времени п. В принципе в результате такого решения

можно найти ufjfe для всех ijk. Эту неявную схему всегда можно построить так, чтобы она была численно устойчивой, при этом At ограничивается только соображениями точности. Однако такая схема будет полезна только в том случае, если существует неко­ торый алгоритм, обеспечивающий эффективное решение системы уравнений.

4. Метод прогонки в одномерном случае

Совокупность систем алгебраических уравнений можно запи­ сать в виде

(здесь правая часть известна, I — единичный оператор) или в бо­ лее компактной форме

071 + 1 7 1 + 1 г р Т І 71 (72)/^ 0 \

Л uijh = Т Щ;к.

В специальном случае одномерного линейного уравнения с одной неизвестной функцией матрица S 1l+1 сводится к трехдиагонально­ му виду и легко обращается с помощью простой рекурсивной про­ цедуры ([25], гл. 8). Если L+ и L_ — операторы сдвига, такие, что

где А, В, С — диагональные матрицы, а w = w (tn) — известное выражение. Удобно разделить двойную рекурсию в уравнении (73) на две стадии, определяя диагональную матрицу X и вектор у соотношением

Здесь А, В, С, X — диагональные матрицы, поэтому, сравнивая уравнения (75) и (74), получаем