ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 307
Скачиваний: 6
366 |
Гл. 9. МГД-методы |
Для получения консервативной разностной схемы разделим об ласть R на семейство прямоугольных параллелепипедов, огра ниченных пространственно-подобными поверхностями с объемом Аѵ, и представим (94) в виде
2 N |
|
(un + 1 — un)Ai>= 2 AxAt, |
(96) |
a — 1 |
|
где каждый член в правой части представляет собой поток через одну из 2 N (N — 1 )-мерных времениподобных поверхностей. Поскольку каждая такая поверхность, лежащая внутри обла сти R, находится между двумя параллелепипедами с противопо ложно направленными нормалями, при суммировании равенст ва (96) по R вклады внутренних поверхностей попарно уничто жаются и останется лишь вклад непарных поверхностей, которые образуют границу S. Таким образом, разностная схема обеспечи вает выполнение точного интегрального закона сохранения, экви валентного равенству (95). Преимущество этого типа схем состоит в том, что каждый поток приходится вычислять лишь один раз, после чего он сохраняется до следующего раза.
б. Неустойчивая схема
На фиг. 2 показан простейший вариант явной схемы для двумерного случая. [Узлы сетки, в которых вычисляется поток,
обозначим через N, Е, S, |
W, а центральный узел — через С. |
|
Угловые узлы обозначим через NE, SW и т. |
д., а более удален |
|
ные узлы — через FN (far |
north — дальний |
север), ЕЕ и т. д. |
В случае трех измерений |
добавятся два дополнительных узла: |
|
U (upper — верхний) и L (lower — нижний).!
Если поток в узлах N, Е, S, W вычислять на слое tn, то схе ма (96) неустойчива. Проще всего убедиться в этом, заметив, что временная разность смещена и на самом деле представляет собой комбинацию производных
д At д2 dt + 2 dt2 '
Поэтому в первом приближении со в истинном дисперсионном
уравнении заменится на |
. Л« |
о |
. |
||
(О + |
I - у |
CÖ |
[мы предположили, что возмущение имеет вид ехр (ш£)]. Следо
вательно, частота любого корня |
со0 заменится на |
|
. |
Аt |
2 |
( ö q I |
£ |
<D0 , |
что даст вещественную скорость нарастания Я — Аш\!2.
§ 3. Разностные методы |
367 |
Другая интересная особенность этой схемы состоит в том, что она на самом деле описывает четыре несвязанные ячейки, поме ченные на фиг. 2 цифрами 1—4. Сохраняющаяся величина течет из ячеек с центрами в узлах FN, FE, FS, FW в ячейку с центром
|
Ф и г . |
2. Неустойчивая |
схема. |
|
Ячейка площадью 4Д2 с центром в узле С связана с четырьмя ячейками с центрами в FJV, |
||||
FE , F S и F W |
потоками через |
стороны JV, |
Е , S и |
W . Узлы 1 , 2, 3 и 4 не связаны |
с |
остальными и |
подчиняются |
своему |
закону сохранения. |
в С, но существуют три других множества ячеек, которые подчи няются собственным законам сохранения. В случае трех измере ний всего будет восемь таких групп.
в. Схема Лакса
Устойчивую схему можно получить, заменяя ип в уравне нии (96) на среднее между пространственными узлами, в которых вычисляется поток [74]. Это вносит численную диффузию, и схема на самом деле представляет собой аппроксимацию дифференциаль ного уравнения
Д2 |
Ѵ2и |
At d2u |
(97) |
2 N M |
T H W ' |
где А — шаг по пространству. Если с — максимальная скорость распространения, то
d2u
1 W < c 2V2u,
3 68 Гл. 9. МГД-методы
и схема будет устойчива, если выполнено условие
At < |
А |
с у ж ■ |
|
Эта схема консервативна, |
но течение теперь стало весьма |
сложным, потому что член V -F связывает, как и прежде, ячейку с центром в С с группой из четырех ячеек с центрами в FN, FE,
Перенос
Численная диффузия
Ф и г . 3. Схема Лакса.
Эту схему можно представлять в виде ячеек площадью А2 с центрами в узлах сетки. Переносный член попарно связывает ячейки, обведенные сплошными линиями, а чис ленная диффузия связывает штриховые ячейки N, Е, S, W с ячейками С и тем самым между собой.
FS и FW , а член V2« теперь связывает ячейку С с группой ячеек N, Е, S, W (фиг. 3). Все четыре ячейки теперь связаны вместе, и схема свободна от ложных численных мод, которые вызываются узлами, не входящими в схему.
г. Двухшаговая схема Лакса — Вендроффа
Устойчивая схема Лакса в действительности должна содер жать диффузию, связанную с введением второй производной, поскольку первый член в правой части уравнения (97) всегда должен превышать второй на конечную величину. Однако, при меняя трехслойную схему, мы можем обойтись без обоих этих
§ 3. Разностные методы |
369 |
членов — источников дополнительных ошибок. Для этого заме ним (96) на
2N |
|
К + і - и " - 1) Дн =2 2 Fa (tn)At, |
(98) |
а=і |
|
что позволит должным образом центрировать как пространствен ную, так и временную производные.
К этому типу принадлежит двухшаговый метод Лакса — Вендроффа [75, 76, 25], в котором в качестве шаблона используется
оЧетный слой
*Нечетный слой.
Ф и г . 4. Сетка схем Лакса — Вендроффа и «с перешагиванием».
Обе схемы используют одну и ту же сетку со структурой NaCl. Все переменные опреде ляются в кружках на четных временных слоях и крестиках — на нечетных слоях. В схеме Лакса — Вендроффа в крестиках хранятся вспомогательные переменные, которые зати раются в машинной памяти в конце каждого двойного шага.
решетка кристалла поваренной соли (фиг. 4). Узлы, обозначен ные на фигуре кружком, соответствуют четным временным слоям 2mAt, а обозначенные крестом — нечетным слоям (2т + 1) At. В начале t 2m- T o двойного шага по времени переменные определены только в кружках. Сначала по методу Лакса в крестиках строятся вспомогательные величины на промежуточных слоях t2m+l, затем по этим значениям определяются потоки, используемые в (98) для перехода по основным переменным от t2r^ к t2m+2. Вспомога тельные величины используются один раз и не хранятся в ма шинной памяти.
24—01236
