Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

используется для начала итераций (р = 0). То, что область R все время изменяет свою форму, оказывается несущественным.

Как указали Гарабедьян [79] и Юнг [78], схема (110) на самом деле аппроксимирует гиперболическое уравнение с затуханием

нение (ИЗ), так и разностная схема (110) имеют консервативную форму и потому должны описывать поток сохраняющейся величи­ ны (а именно разностной ошибки) от места к месту по сетке. Если опустить последний член в (ИЗ), то уравнение станет параболи­ ческим и ошибка сможет лишь расплываться к границе за время t ~ N 2. В случае гиперболического уравнения ошибка может рас­ пространяться как волна за время t ~ N. Сеточная ошибка (основ­ ное собственное колебание) может исчезнуть только на границе, хотя ошибки противоположного знака могут взаимно уничто­ житься внутри R , чем и объясняется более быстрое затухание высших мод.

Поскольку мы вычисляем вакуумное поле явным методом, который допускает распространение ошибки на расстояние поряд­ ка всего одного шага сетки за одну итерацию, потребуется значительное число итераций. Но схема (110) настолько проще уравнений плазмы, что процесс вычислений по ней займет лишь небольшую часть всего времени расчета. Если нужно, схему (110) довольно просто запрограммировать в автокоде.

в. Решение уравнения Пуассона

Системы уравнений (А) и (В) второй главы, описывающие несжимаемое МГД-течение, требуют решения уравнения Пуассо­ на (15) для завихренности £. В двумерном случае систему (А) можно записать в виде

Для решения этой системы удобно применить схему «с переша­ гиванием» (фиг. 6), определяя на четных слоях (£, ф, В) в кружках (А, ѵ) — в крестиках, а на нечетных слоях наоборот. Основными неизвестными функциями являются два скаляра £ (завихренность) и А (функция магнитного потока или z-компонента векторного потенциала). Если на слое tn известна величина £, то, решая урав­ нение Пуассона, строим функцию тока среды ф, а затем находим ѵ дифференцированием. Если известна функция А, то дифференци­ рованием находим В. Лишь с вычислением тока j дело обстоит несколько сложнее, так как требуется его значение в том же узле, где известно В, и потому ток j можно определить, дифференцируя В в двух диагональных направлениях (фиг. 6):

Точность и скорость расчетов в основном ограничены необхо­ димостью решать уравнение Пуассона на каждом шаге по време­ ни, но для прямоугольной области существует ряд методов, осно­ ванных на быстром разложении и суммировании рядов Фурье [57, 58, 80]. Пековер разработал вариант программы Хокни для решения уравнения Пуассона, который годится для сетки, пока­ занной на фиг. 6 , и использовал его для решения двумерных задач МГД-конвекции (не опубликовано).

Уравнение (114) описывает изменение завихренности за счет переноса, диффузии и магнитных сил. Его можно решить в консер­ вативной форме, используя метод Дюфора — Франкела для диф­ фузионного члена. Исключение завихренности затруднено тем, что первое слагаемое в правой части связывает узел N с угловыми узлами N E — NW, второе слагаемое — с узлами N — И7 и третье — с узлами FN — FW. Все вспомогательные узлы связаны вместе должным образом, если для аппроксимации уравнения (115) применен метод Дюфора — Франкела.

г. Метод дробных шагов

Так как уравнения реальной магнитной гидродинамики описы­ вают большое число квазинезависимых физических эффектов, оператор L уравнения (66) часто представляют в виде суммы ряда слагаемых:

Формальное решение уравнения (66) во втором порядке точности запишется в виде

а. Основные сеточные операторы

Для простоты будем рассматривать только равномерную декар­ тову сетку с узлами, находящимися во всех или в некоторых из точек (/Ах + кАу -j- lAz + пАі), где (/, к, I, п) — целые числа. Операторы переноса на расстояния (Ах, Ay, Az, At) обозначим через

соответственно, а дифференциальные операторы (d/dx, dldy, dldz, dldt) — через

б. Операторы deld и dotd

Вдальнейшем мы будем в основном иметь дело с сеткой схемы «с перешагиванием» или с шахматной сеткой, на которой функции

определены только в узлах, для которых (/ + к + I + п) — нечетное число. Выразим поэтому разностную производную по времени в центрированной форме: