ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 301
Скачиваний: 6
§ 5. Двумерные коды |
389 |
2. Коды для моделирования плазменного фокуса
Пикок [53] впервые сообщил о разработанном рядом авторов двумерном коде, предназначенном для изучения движения в (г, z)- плоскости аксиально-симметричной установки с vq - - 0 и един ственной отличной от нуля компонентой магнитного поля, B q . Эта работа была стимулирована прежде всего широко распростра ненными в последнее время исследованиями по плотному плаз менному фокусу [44—46, 8 8 , 52], который представляет собой пинч высокой плотности, созданный у конца плазменной пушки сжа тием тока, текущего в (г, г)-плоскости вдоль оси. Этот эффект особенно интересен тем, что в нем наблюдаются высокие темпера туры, Те т 2 кэВ [53] и аномально большое время жизни пинча.
а. Физическая модель
Рассматривается двухкомпонентная полностью ионизованная плазма, описываемая уравнениями непрерывности (1 ), радиаль ного и продольного движения (2 ), азимутального магнитного поля (3), электронной энергии (21) и полной энергии (4). Входя щее в закон Фарадея (3) электрическое поле определяется из обобщенного закона Ома (30), включающего в себя эффект Холла и градиент электронного давления. Что касается коэффициентов переноса, то сделана попытка охватить общий случай предполо жением, что величины <всетеі и сосіт ;і могут принимать конечные значения. Это совершенно необходимо при изучении плазменного фокуса, так как, несмотря на высокую плотность, очень большие значения электронной и ионной температур обеспечивают выпол нение условий о}сегеі Э> 1 и (осіТ;і ~ 1. Если не учитывать эффект циклотронного вращения, то величина электронной теплопровод ности (пропорциональная Т ^ 2 в пределе больших частот столкно
вений), безусловно, будет совершенно ошибочной. Поэтому для описания электронной и ионной теплопроводностей и тензора напряжений использовались соответственно уравнения (33), (35) и (37); впрочем, последнее было модифицировано. В бесстолкновительном пределе ионное давление, конечно, следует описывать раздельными величинами Рщ и Р і±, удовлетворяющими уравне ниям (28) и (29), но при этом модель магнитного поля, перпендику лярного к расчетной плоскости, чрезвычайно проста для рассмот рения, так как поле сводится к скаляру. В расчетной плоскости тензор напряжений диагоналей, и параллельное давление, ограни ченное Ѳ-направлением, по-видимому, не имеет существенного физического значения в плазменном фокусе. Поэтому ионная температура считается изотропной, и в соответствии с этим в чис лителе тензора напряжений опущены члены, пропорциональные (<°сгтгг)2- Это эквивалентно предположению о том, что время выравнивания температур Т гц и Т г[_ мало.
390 |
Г л . 9 . М Г Д - м е т о д ы |
б. Численная схема
Так как течение происходит на звуковых скоростях, то при годен явный метод, а точность и простота двухшагового метода Лакса — Вендроффа говорят в пользу его применения. Схема Дюфора — Франкела для диффузионного члена неудобна, если коэффициенты переноса зависят от координат и времени, и по этой же причине здесь менее удобна другая консервативная схема — метод «с перешагиванием» (§ 7). Диффузия описывается рассмот ренным в § 3, и. 8 , а, методом с взятой вперед разностью по вре мени. Сложные коэффициенты переноса за двойной шаг по вре мени вычисляются только один раз, и необходимое для этого время счета не превышает остального расчетного времени.
в. Выравнивание температур
При рассмотрении уравнения для электронной энергии возни кает одна трудность, состоящая в обязательном появлении некон сервативных членов, в частности, может оказаться большим член, описывающий выравнивание электронной и ионной температур. Если время теплообмена меньше чем Аt, то явная аппроксимация этого члена, как показано Фримэном и Лейном [8 6 ], может при вести к неустойчивости. В коде Хейна и Робертса эту трудность удалось избежать путем отдельного точного решения уравнения теплообмена через экспоненциальные функции в духе метода дробных шагов, но в двумерной программе может оказаться неже лательным слишком частое обращение к подпрограмме вычисления экспоненты. В код, моделирующий плазменный фокус, член, описывающий выравнивание температур, входит неявно, и, по скольку электрон-ионное время теплообмена является функцией температуры теч = теч {Те), для определения самосогласованного решения используются итерации. На каждом шаге метода Лакса — Вендроффа описывающий выравнивание температур член вычис ляется в центральный момент в'ремени с помощью операции усред нения:
„«-Л/г__ г,п+1/2 |
1 Р і |
1 р”+ 1 - рГ+ 1 |
|
||
*і |
ге |
(149) |
|||
|
^eq |
eq |
2 |
rn + l |
|
|
|
||||
Первый член из (149) подставляют в явную схему Лакса — Вендроффа для того, чтобы по уравнениям полной энергии и элект ронного давления найти значения р'" +1 и р'?+1.
Окончательные значения р'” +1 и р'п+1 определяются из формул
|
1+ е |
|
8 |
п+ 1 |
|
|
Р е |
~ "1 + 28 Р е |
1 |
п" |
(150) |
||
1+ 28 |
Р і |
|||||
|
1+ 8 |
‘ 1+е28 |
'п+ 1 |
(151) |
||
Р і |
1+ 2е Р е |
|||||
Р і |
||||||
§ 5. Двумерные коды |
391 |
где е = А£/2тед. Так как тед = тед (Те), то уравнение (150) решают с помощью итераций, используя последовательно улучшающиеся значения для е = е (Те). Итерации всегда сходятся, причем сходимость будет быстрой, если е не стремится к Ѵ2. Это обеспе чивает безусловную устойчивость при вычислении члена, описы вающего выравнивание температур. Фриман и Лейн [8 6 ] исполь зовали подобный же метод решения, но без итераций, полагая
в = в { Т ' Г 1)-
г . Г р а н и ц ы
Условия на фиксированной границе понимаются как условия сохранения величин в примыкающей к границе ячейке. Например, на оси локальная ячейка сетки представляет собой цилиндр
Zâz
Ф и г. 8. Осевая ячейка. Около оси ячейка сетки является цилиндром объема
2л (Ar)2 Az.
Переменные, не обращающиеся тождественно в нуль на оси, представляют средние зна чения по объему ячейки, а потоки — средние по торцам и боковой поверхности цилиндра.
объемом V = 2л (Ar)2Az, где Ar — шаг сетки в радиальном направлении, а Az — в продольном (фиг. 8 ). Для этой ячейки разностные формулы перестраиваются так, чтобы описывать тождественное выполнение в объеме V законов сохранения для всех функций, за исключением потока компоненты поля B q, которая в случае конечного удельного сопротивления обращается на оси в нуль.
Аналогично рассматривается и граница на окружающей стенке. Тепловая энергия переходит от плазмы к холодным электродам, поэтому, следуя Хейну и др. [1], начальная температура ионов и электронов полагается равной небольшому постоянному значе нию температуры на электродах (обычно Те = Т t = 2 эВ). Однако такое предположение нельзя считать вполне удовлетворительным, так как, если некоторый объем плазмы остается около электрода, плотность плазмы в нем будет непрерывно увеличиваться, пока не дорастет до максимального значения, при котором достигается равновесие давлений с гораздо более горячей внутренней плазмой. Таким образом, это предположение связано, видимо, с сильным преувеличением влияния холодных электродов. Разумной аппро ксимацией будет считать температуру на границе постоянной
392 Гл. 9. МГД-методы
лишь при условии, что характерная толщина пограничного слоя X больше, чем шаг сетки А.
Предпочтительнее метод, в котором электронная и ионная температуры на электродах вычисляются из уравнений сохране ния, причем в приграничной ячейке происходит конечная потеря тепла АQ согласно формуле
А@~ МТЬІг (Т ~ Т0).
Коэффициент пропорциональности вычисляется на основании выбора некоторой характерной толщины пограничного слоя X.
Эта проблема характерна для течения в канале, которое происходит в первой стадии эксперимента по плазменному фоку су, а также в МГД-трубах, но она не возникает в расчетах одноили двумерного пинча, в котором плазма отталкивается от стенок в начале разряда. Тем не менее подобные вопросы встают в дву мерных расчетах стабилизированного z-пинча, где концевые элек троды всегда находятся в контакте с плазмой.
д. Область низкой плотности
Трудности, связанные с очень высокими альфвеновскими скоростями в области низкой плотности вокруг основной плазмы, преодолевают, изменяя метод расчета электромагнитных полей везде, где плотность р падает ниже некоторого минимальногозначения рмин. Так как ток /_)_ пропорционален градиенту давле ния Ѵр ~ 0 , а ток /ц строго равен нулю, то область низкой плот ности ведет себя как изолятор. Объединим поэтому индуктивность данной области с индуктивностью внешней цепи, с которой она соединена последовательно, и разделим полный магнитный поток
между ними так, чтобы получить |
ток |
I. Тогда поле B q |
будет |
определено на сетке как B q ~ И г . |
Ток |
вычисляется на каждом |
|
основном и вспомогательном шаге. |
|
|
|
Это модифицированное магнитное поле можно использовать |
|||
в уравнении движения плазмы. Очевидно, что всюду, где р < |
рмин, |
||
сила равна нулю, так что волны распространяются только со зву ковой скоростью, которая не зависит от р, и условие Куранта — Фридрихса — Леви не накладывает ограничений на шаг по вре мени. Неточная аппроксимация характеристик плазмы во внеш ней области не влияет на основной объем плазмы, поскольку их взаимодействие очень мало, и потому при рассмотрении движу щейся плазменной границы со сложной конечной формой не воз никает никаких трудностей даже в том случае, если она разбита на несколько частей. (Особое рассмотрение требуется, если внеш няя область состоит из нескольких несвязанных частей, но этот случай до сих пор не наблюдался.)
