Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

ших расчетах всегда учитывали амбиполярный потенциал при учете роли электронов. Как показали ранее полученные резуль­ таты [в], такой способ учета, из-за того что амбиполярный потен­ циал несколько превышает среднюю энергию электронов, делает это предположение довольно хорошим. Оно сделано для того, чтобы упростить вычисления и сократить время счета.

Наконец, в § 5 мы выполним расчеты для случая, когда добав­ ляется одна пространственная переменная — координата вдоль магнитных силовых линий. Как функции этой координаты одно­ временно рассчитывались распределения ионов, плотность и тем­ пература электронов и амбиполярный потенциал. Однако мы пренебрегали любыми эффектами, которые могут возникать из-за градиентов, перпендикулярных магнитным линиям.

Мы использовали классическую модель ловушки с магнитными пробками, образованной двумя одинаковыми кольцами на неко­ тором расстоянии друг от друга. Для простоты можно полагать, что расчеты относятся к распределениям на оси этой аксиально­ симметричной системы. Мы также предполагали наличие симме­ трии относительно плоскости, проходящей через середину уста­ новки. Однако результаты можно применять к силовым линиям вне оси, к установкам с несимметричными магнитными пробками и к силовым линиям более сложной геометрии, например к сило­ вым линиям поля с минимумом В.

§ 2. М ат ем ат и ческая , модель п л а зм ы с уч ет ом

ст о л к н о в е н и й

1.Уравнение Фоккера — Планка

Обычное уравнение переноса для частиц в плазме имеет вид

(1)

где/ 0 (г, V,t) — функция распределения для частиц типа а в шести­ мерном фазовом пространстве. Член (dfjdt)c учитывает столкнове­ ния, член S a (г, V, t) описывает источники частиц, F — сила, действующая на частицу.

Левая часть уравнения (1) есть d fjd t — полная производная по времени функции / вдоль траектории частицы. Мы исполь­ зуем этот факт при решении уравнения (1 ) с учетом пространствен­ ной зависимости. Сейчас же заметим, что если пространственных градиентов нет и сила возникает только от магнитного поля, отно­ сительно которого функция / обладает азимутальной симметрией, то левая часть сокращается до dfjdt, так что уравнение (1 ) при-

27*

нимает вид

(2)

Наиболее часто в теории плазмы используется оператор столк­ новений Фоккера — Планка. Выражение для этого оператора выводится в работах Розенблюта и др. [81 и Монтгомери иТидмана

[91:

Впредь будем считать, что выражение (dfa/dt)c в уравнениях (1)

и(2 ) дается формулой (3), и будем оба эти уравнения называть уравнениями Фоккера — Планка. В § 3 и 4 будут приведены выражения всех членов выражения (3) в соответствии с выбором координатной системы и условиями симметрии. Заметим, что уравнение (2 ) — дифференциальное уравнение в частных произ­ водных параболического типа в пространстве время — скорость. Следовательно, к этому уравнению можно применять те же ме­ тоды решений, которые разработаны при решении задач диффузии

итеплопередачи. Более того, левая часть уравнения (1) будет преобразована таким образом, что это же утверждение окажется справедливым и для пространственных задач.

Вслучае использования формализма уравнения Фоккера — Планка можно показать, что в отсутствие потерь и источников число частиц, полный импульс и энергия сохраняются. Более того, при тех же условиях в однородной среде в отсутствие сил функции распределения будут стремиться к максвелловским. Эти свойства удобны для проверки точности численных решений.