ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 286
Скачиваний: 6
§ 2. Модель плазмы с учетом столкновений |
423 |
•(Может оказаться, что любой ион с равной нулю параллельной компонентой скорости будет удерживаться в точке z = 0 , где электрическое поле равно нулю. Но это будет точка неустойчивого равновесия для частиц с р < ѵті, кроме случаев удержания из-за особой конфигурации поля, как будет показано в следующем параграфе. Если потенциал и магнитное поле — «прямоугольные
Энергия
Ф и г. 2. Конфигурация, приводящая к захвату из-за эффекта Юшманова.
ямы», то равновесие метастабильно.) Область потерь для электро нов трансформируется в двухполостный гиперболоид. Минималь ная скорость электрона, при которой он может быть потерян (если его угол Ѳ = 0), определяется соотношением
І ' л і е = Кре.
Рассмотрим теперь, как изменяются области потерь вдоль магнитных силовых линий. Ограничимся областью 0 ^ z ^ L, помня, что конфигурация симметрична относительно z = 0 . При отсутствии амбиполярного потенциала изменение области потерь с z очень простое. Угол при вершине конуса потерь увели
чивается |
при уменьшении пробочного отношения, приближаясь |
к Ѳк п = |
зг/2 в пробках. При наличии потенциала форму области |
потерь для электронов описать тоже просто. Пусть Ф (г) моно тонно убывает. Тогда Ѵте монотонно уменьшается до нуля и чаше подобная область потерь расширяется и удлиняется с увеличением Z. Однако для ионов при наличии потенциала картина усложняется. Пусть индекс 0 относится к величинам при z = 0, а индексы J_ и ]| — соответственно к направлениям, перпендикулярным и па раллельным по отношению к магнитному полю. Юшманов [14] предложил потенциальную функцию для параллельной компо
ненты движения ионов. Это эквивалентно потенциалу |
|
V = Ze Ф + цтВ, |
(6) |
424 |
Гл. 10. Решение уравнения Фоккера — Планка |
|
где цт = |
mv\J2Bn — магнитный момент. При таком определении |
|
V уравнение движения для ионов имеет вид |
||
|
т ■ I |
dV |
|
dt |
dz |
Юшманов показал, что в этом случае удерживаются медленные ионы. Этот факт нельзя было предсказать из анализа одной раз ности потенциалов между точками z = 0 и z == L. Ситуацию иллю стрирует возможный вид потенциала V (з) на фиг. 2. Мы учли удер жание из-за эффекта Юшманова в некоторых наших расчетах. Возможны, конечно, и другие эффекты из-за вида Ф (з), но они не представляют большого значения и потому мы их не учитывали.
§ 3. О дн ом ерн ы е (и зо т р о п н ы е и к в а з и и з о т р о п н ы е ) за д а ч и
1. Введение
Расчеты функции распределения ионов, зависящей от двух переменных в пространстве скоростей, показали, что приближен ные результаты могут быть получены, если функцию распределения представить как произведение двух членов [4, 5]. Первый член является функцией у и £, а второй — функцией только Ѳ. Урав нение для функции Ѳ — дифференциальное уравнение Лежандра в области — Ѳп ^ Ѳ ^Ѳ П, где Ѳп определяет конус потерь магнит ной ловушки. Уравнение для / (ѵ, t), которое нужно решать чис ленно, задается в настоящей главе соотношением (1 2 ) для каж дого типа частиц. Граничное условие для функции распределения при решении задачи с учетом конуса потерь имеет вид / (ѵ, Ѳп, t) = = 0 для всех и я t для каждого типа частиц, откуда следует усло вие / = 0 при V = 0 в случае решения с разделенными перемен ными. Если при решении задач предполагалось, что функции рас пределения изотропны, то использовалось условие симметрии при V — 0 , т. е. dfldv = 0 для всех t.
В уравнения для ионов и электронов мы включили источники частиц, которые соответствуют экспериментам по инжекции ней тральных частиц на установках «Алиса» [15] и «Феникс» [16]. Мы также учитывали потери обоих типов частиц из-за рассеяния в конус потерь магнитной ловушки и потери горячих ионов из-за перезарядки с остаточным газом.
Потенциал плазмы рассчитывался на каждом шаге по времени
из условия зарядовой |
нейтральности. Критическая |
скорость |
|
і;кр (t) определялась из |
требования, чтобы электроны |
с ѵ < укр |
|
удерживались, |
а с н > н кр могли быть потеряны из-за |
рассеяния |
|
в конус потерь. |
На каждом шаге по времени плотность электронов |
4 26 |
Гл. 10. Решение уравнения Фоккера — Планка |
В уравнении (7) не учитываются потери и источник частиц, т. е. d njdt = 0. Можно учесть потери частиц из-за кулоновского рас сеяния. В этом случае интенсивность потерь определяется выра жением, предложенным Чандрасекаром [17]:
dnа |
СО |
|
СО |
|
|
|
|
(4я)2 j |
fa (V, t) Ѵг [ 2 |
j |
ka(v, v')fb(v', |
tfv'^dv'^dv , (1 1 ) |
|||
dt |
о |
b |
о |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ka{v, t/) = Pa (к) Гоk ab уЗ |
|
|
3 У2 ’ |
Ѵ>ѵ', |
||
|
|
у |
|
||||
|
2 |
|
v^Cv'; |
||||
|
|
|
|
3 |
V |
’ |
|
|
|
|
|
|
|||
^аь — константа |
разделения, |
которая |
может |
быть определена, |
|||
Р а V ) —■вероятность того, что частицы типа а, |
имеющие скорость |
||||||
V, будут( |
потеряны. Вид функции ра (ѵ), который мы использовали, |
обсудим позже. В уравнение (7) можно также включить источник частиц sa (V, t). Подробно этот член обсуждается в § 3, и. 4.
Если использовать формулы (8) и (9) для вычисления коэффи циентов в уравнении (7) и включить в это уравнение источники и потери, как сказано выше, то уравнение для f a (v, t) примет вид
{2 [зИ Л V- О^ +
ъо
оо |
V |
+{I w */]}+%■{(-2 Й 4 J м*'. О"'2*'—
V |
Ъ |
0 |
V |
оо |
|
— Згз” j fb(v', t)vridu' j |
fb(v', t)v' d i/J} 4- |
0 |
V |
+u(2 |
h) -.и { 2 |
u |
[U (■>'. о »,г *>’- |
b |
|
b |
0 |
V |
CO |
|
|
—-зрг J fb(v'i t)v '* d v '+ ^ - j |
/ь(у', *)у'Л >']} + s a (K, «). (1 2 ) |
Для ионов в правую часть уравнения (12) нужно добавить член, учитывающий потери из-за перезарядки. Член sa (ѵ, t) опи сывает источники инжектированных частиц.
Рассмотрим электроны и ионы с Z = 1. Введем безразмерную переменную х = ѵ/ѵп, где ѵ0 — характерная скорость. Пусть
§ 3. Одномерные задачи |
427 |
/ = (4яі;®/ІІГе) /е, где К е определяется из уравнения
оо
пе(0) — K e ^ f (X, 0) X2 dx,
о
т. е. К е определяется из начальных условий через начальную плотность электронов пе (0). Аналогично положим g = {^пѵ\ІКі) / г, где
ОО
|
|
Пі (0) = К і |
j g{x, 0 ) x2dx. |
|
||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Введем безразмерную |
переменную |
т = |
(Ѵ2 TeK eliP) |
t. Пусть р, = |
||||
= mjjtii и К = |
Кі/Ке. Определим функционалы |
|
||||||
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
М ф = |
j |
f(y, т) ydy, |
(13) |
||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
IV (/) = |
j |
/ (у, |
7) у2 dy, |
(14) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
(15) |
|
|
|
|
E ( f ) = \ |
f(y, |
г)уЫу. |
|||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
В этих новых переменных уравнение для функции распределе |
||||||||
ния |
электронов |
принимает вид |
|
|
|
|||
|
|
n |
A ? L + B ° L + Cf + D, |
( і |
||||
|
|
д% |
дхг |
1 |
дх |
|
|
|
а = |
4 { [ ± - E ( f ) + M ( f ) ] + K |
[ 4 п Ж е ) + м (*>]} |
• |
|||||
ß = i s r { [ i ' v ( f l - é r £ ( / ) + ^ ( / ) ] + |
|
|
||||||
|
|
|
+ K \ y , ^ N |
{ . g ) - ^ E { g ) + M { g ) ] ) , |
||||
С = |
2 ( / + к м ) - |
р. (*> д а { |
Х » [ |
^ |
Л , т " ^ |
+ £М( (,)) ] + |
||
|
|
|
+ K K i \ J ; N ( g ) - ^ T E ( S) + M ( S) \ ) ■ |
Член D {х, т) описывает зависящие от времени источники элек тронов.