428 |
Гл. 10. |
Решение уравнения |
Фоккера — Планка |
|
Уравнение же для функции распределения ионов принимает |
вид |
|
|
|
|
|
|
^ ==Fl i ^ + G i |
JrHg + L ' |
(17> |
где |
|
|
|
|
F = fl^ { [ ^ E { i ) |
+ M ( f ) ] + K [ - ^ E ( g ) + M{g) ]) |
, |
G = |
|
E{f) + M(f ) + |
|
Н==2^ { |
^ + К ё ) — Н 1 (*, т) — |
- |
Ѵ2Рі (х) |
{h e [ i N { f ) - ^ E (/) + М (/)] + |
+ ^ 4 [ ^ N { g ) - ^ E ( g ) + M ( g ) \ } -
Член Hi (X, т) описывает потери из-за перезарядки, a L (х , т) — зависящие от времени источники ионов.
и |
На любом шаге по времени мы можем определить плотность |
среднюю энергию для каждого типа |
частиц. |
Пусть /~ (т) и |
/4 |
(т) — второй |
и |
четвертый |
моменты |
функции |
распределения |
для электронов, |
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
І Л Х) = |
j |
f(x, x)x2dx, |
(18) |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
/4 (т) = |
j" / (x, т) xi dx. |
(19) |
Плотность электронов |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ne( т ) — KeI 2 ( t ), |
|
(20) |
а средняя энергия электронов |
|
|
|
|
|
|
Ев (х) = ^ к Т е = ± т еі % ^ . |
(2 1 ) |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
Ц (т) = |
J g (х, т) X2 dx, |
(22) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
/4 (т) = |
j |
g (х, т) х4 dz. |
(23) |
§ 3. Одномерные задачи |
429 |
Плотность ионов |
|
|
т (х) = К іЦ ( г), |
|
(24) |
а средняя энергия ионов |
|
|
Et (т) = ± k T i = ± m lvl |
П (И |
(25) |
|
Ч (И |
|
3. Случай, когда распределение одного типа частиц предполагается максвелловским
Б только что описанной модели с двумя типами частиц мы мо жем иногда предполагать, что функция распределения для одного типа задана. В этом случае нужно решать только одно уравнение в частных производных, и проблема очень сильно различающихся временных масштабов для ионов и электронов снимается.
Пусть
g (X, т) = а (т) е~ь(т)х2;
тогда
X
iV te) = ~ і ь хе~Ъх*+ і J е_Ьг/2
о
г<г>= - f (*2+ і ) е-Ьі'+ ѣ |
] |
|
О |
Написанные функционалы, которые входят |
в коэффициенты А, |
В и С уравнения (16), легко вычислить, используя стандартные программы для экспоненциальной функции и интеграла ошибок. Функции а (т) и b (т) вычисляют исходя из плотности и средней энергии частиц второго типа.
Рассмотренный выше метод использовался для вычисления энергии, передаваемой горячими ионами холодным электронам в плазме [18]. Считалось, что ионы поддерживаются при постоян
ной температуре, а уравнение для электронов решалось численно
іт.
В настоящем варианте программы для изотропной задачи [61 оба уравнения (16) и (17) решались одновременно. Поскольку разностная схема устойчива, то шаг по времени может быть уве личен на несколько порядков. Поэтому проблема различных мас штабов для времен релаксации электронов и ионов несущественна при решении изотропной задачи.
430Гл. 10. Решение уравнения Фоккера — Планка
4.Члены, описывающие источники и потери
Вэтом пункте мы опишем вид членов для источников и потерь, которые фигурируют в уравнениях (16) и (17). Механизмы захвата нейтральных атомов из пучка — это лоренцевская ионизация возбужденных атомов водорода и ионизация нейтральных атомов из-за столкновений с молекулами остаточного газа и с захвачен ными ранее ионами и электронами. Возрастание плотности ионов и электронов описывается уравнениями [19]
где / — инжектированный поток нейтральных атомов; V — объем плазмы; / * — доля нейтральных атомов в пучке, ионизованных силой Лоренца; L — длина пути пучка через плазму; ѵт— отно сительная скорость между взаимодействующими частицами; ѵ0 — характерная скорость, введенная ранее и определяемая скоростью' атомов в пучке; а| и of — сечения ионизации атомов в пучке из-за
столкновений с горячими ионами и электронами; а- и а- — сече ния ионизации остаточного газа горячими ионами и электронами и, наконец, п0 — плотность остаточного газа. Холодными ионами (возникающими из-за перезарядки и ионизации остаточного газа) можно пренебречь, так как в магнитном поле пробочного типа они быстро рассеиваются в конус потерь и теряются системой. Поэтому соответствующие члены в написанном выше уравнении для ионов опущены.
Предположим, что инжектированные электроны и ионы имеют функции распределения по скоростям, которые мы обозначим через
S e (X) и Si (х). Пусть
со
о |
|
|
о |
|
Тогда в уравнении (16) |
|
|
{ die \ |
|
D (x , x) = Se{x) |
( I ) |
1 |
(28) |
|
\~dT ) |
|
|
|
|
и в уравнении (17)
§ 3. Одномерные задачи |
431 |
В процессе счета выбором потенциала плазмы обеспечивалось ра венство пе (т) = пг (т). Поэтому уравнения (28) и (29) можно переписать следующим образом:
D{x,x) = Se(x)[l0 + l1ni (x)], |
(30) |
L(x, х) =Si(x) [ро + РіПі (т)], |
(31) |
2^ |
\ |
1 |
гек е ) |
K eN (Se) |
2ѵ% |
\ |
1 |
гек е ) |
K eN ( S e) |
2ѵ% \, |
1 |
ТеКе )1 |
K i N ( S i) |
If* |
’ |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
t |
a\vr |
aet vr |
|
\ |
IL |
l |
|
vo ) + |
Щ Ѵ H + ai)] - |
L |
V |
< |
v0 |
|
if* |
\ |
|
’ |
|
|
|
|
V |
|
|
|
2ѵ% \1 |
1 |
г |
IL |
/ |
<4yr |
aetvr |
ѴЛе .1 K i N ( S i) |
L |
V |
1 |
v0 |
vo )] |
и Пі (т) определяется уравнением (24).
Мы можем включить в уравнение до десяти источников вида (31), которые будут соответствовать инжекции пучка ионов с раз личными энергиями. Выше мы принимали, что (сш)-члены — кон станты; однако сечения зависят от скорости и эта зависимость определяется экспериментально. Мы использовали полиноми альную аппроксимацию этой зависимости, так что члены оѵп (т) могли быть заменены интегралами от функций распределения. Это проделано в следующем абзаце с членом потерь из-за пере зарядки.
Потери из-за перезарядки учитываются в уравнении (17)
членом — Hi (X) g (ж, т), |
где |
|
Hi (X) = ^ |
п0ѵосх (ѵ) = щѵ0хосх (ж) |
(32) |
и осх (V) — сечение перезарядки. Мы аппроксимировали экспе риментальное сечение осх полиномом пятой степени
H i (ж) = X [ Н аі -f- Н ъ іХ -(- Н СіХ2-j- Н ^iX? НеіХ* 4- H h i X 5], (33)
где коэффициенты — константы, включающие постоянный мно житель {tlx) щѵ0, который является входным параметром задачи.
Определим] теперь функции ре (х) и p t (ж) в уравнениях (16) и (17). Эти функции определяют вероятности того, что соответ ственно электроны или ионы, обладающие скоростью ѵ0х, будут рассеяны в конус потерь установки с магнитными пробками. Если потенциал плазмы не учитывается, то эти два члена одинаковы. Этот случай рассмотрен Саймоном [20]. При наличии потенциала,
