ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 274
Скачиваний: 6
452 |
Гл. 10. Решение уравнения Фоккера — Планка |
Теперь у нас два обыкновенных дифференциальных уравнения
(59)и (60), которые нужно решить относительно неизвестных пв
иѵ\. Эти уравнения интегрировались методом Рунге — Кутта второго порядка. Интегралы в выражениях (57) и (58) можно вычислить с помощью метода Уэддла. Для интеграла ошибок ис пользовалась аппроксимация Гастингса [21].
7.Уравнение Фоккера — Планка с учетом амбиполярного потенциала и второго типа частиц
а. Метод учета потенциала
Прежде чем обсуждать результаты решения уравнений для электронов и их точность, необходимо описать изменения метода решения уравнения Фоккера — Планка в случае учета влияния амбиполярного потенциала и второго типа частиц на искомое распределение.
Граница в пространстве скоростей, на которой функция рас пределения должна обращаться в нуль, определена равенством
(5) для любого типа частиц и электростатического потенциала. Это граничное условие аппроксимировалось следующим образом: для данного j (точка на сетке ѵ) находилась такая величина і (обозначалась через г0), что угол Ѳі0 оказывался ближайшим к углу Ѳп (vj), определяемому из (5). Полученные точки і0 (/), / на сетке V образуют дискретную систему точек, которая аппроксимирует границу области потерь. При решении разностных уравнений массивы E i j и F определяемые в приложении Г, формируются таким образом, чтобы /j0<J), 7- и все f t,j внутри области потерь рав нялись нулю.
В § 2, п. 2, мы заметили, что граничные условия при задан ном знаке потенциала значительно различаются для частиц с раз ным знаком заряда, или, что то же самое, для заданного типа
частиц при потенциале разного знака. Когда |
Ф (z) — ф (L) |
||||
положительно, |
что имеет место для всех наших задач, |
граница |
|||
области потерь для ионов начинается при |
Ѳ = я/2 |
и некотором |
|||
V и асимптотически стремится к Ѳк.п при н — оо. Следовательно, |
|||||
с течением времени граничное условие для ионов / (ѵ, |
Ѳп) == 0 |
||||
сохраняет тот |
же вид при увеличении разности |
Ф (z) |
— ф (L) |
||
от 0 до |
конечной положительной величины. С другой |
стороны, |
|||
граница |
для |
электронов начинается при |
Ѳ — 0 |
для |
ѵ = ѵре |
и асимптотически стремится к Ѳк.п с противоположной стороны. Граничные условия для электронов при ѵ<^ѵре изменяются и определяются уравнениями (45) — (47), как и требуется для задач
в полном |
пространстве скоростей. |
Массивы E Lj и Fitj, опреде |
|||
ляемые в |
приложении Г, |
должны |
быть соответственно изменены |
||
при |
решении |
уравнения |
Фоккера — Планка для электронов, |
||
как |
описано в |
§ 4, п. 8, |
б. |
|
|
§ 4. Двумерные задачи |
453 |
б. Учет второго типа частиц (с максвелловским распределением)
Как замечено в § 4, п. 6, при наличии второго типа частиц решение уравнения Фоккера — Планка в общем случае — труд ная проблема. Однако рассчитывать необходимые коэффициенты намного проще, если предположить, что распределение частиц второго типа изотропно. Если к тому же предположить, что рас пределение частиц второго типа максвелловское, то коэффициенты выразятся через экспоненциальные функции и интеграл ошибок.
Мы начнем с уравнения (50) — уравнения Фоккера — Планка для ионов при наличии электронов. Пусть
f (у ) = (Z2) ' 1 J dv'/e (v ')|v —ѵ'І, r(y)= j d v / i ( v ' ) [ v - v ' | ,
так что
£i(v) = ge (v) + / ( v ) .
(Заметим, что в написанных формулах верхние индексы различают полное g и вклады от каждого типа частиц.) Если принять
/е(у) = ^ е ^ х р (-г а д
^ |
’ |
(2n f h vl |
|
то |
|
|
|
С( Ѵ) = ~ ( 1 - У ) |
j |
f e (ѴГ) |
d v' + j f e (V') v ’ ä v ’ = |
И |
|
|
|
|
Se(V) = :w [ |
I fe |
V'2du' + |
|
|
°o |
0 |
) ”” <*■>']= -Jr [ ( t ) : |
|
|
+ (/.(■>')( 1 + 4 |
“ P ( — |
) + |
||
+ ^ rf( y U +JM y k ) ] -
Так как fe, а следовательно, С и ge не зависят от Ѳ, то из уравне ния (50) следует, что, кроме /е, необходимы следующие три члена:
дС |
пе |
1/гехр( —ѵ2/2ѵІ) |
дѵ |
Z2 |
ѵѵе |
454 |
Гл. 10. Решение уравнения Фоккера — Планка |
Необходимые добавления к коэффициентам разностного урав нения легко рассчитать из написанных выше формул на каждом шаге по времени для каждого j на сетке скоростей.
Интеграл ошибок вычислялся по аппроксимационной формуле Гастингса [21], кроме случаев, когда аргумент был мал. Заметим, что все эти три формулы содержат член типа
— \ 1/2 е~*2/2 — X
Когда X мало, оба члена в правой части приблизительно равны и формула Гастингса недостаточно точна, чтобы по ней можно было вычислить их разность. В этом случае можно использовать первые три члена разложения G (х) в ряд Тейлора:
8. Решение уравнения Фоккера — Планка для ионов с учетом максвелловских электронов и амбиполярного потенциала
а. Процедура. Трудности
Перечислим последовательность операций, которая соблю далась на каждом шаге по времени, при одновременном расчете функции распределения для ионов, плотности и температуры элек тронов и потенциала. Эта последовательность очень похожа на описанную в § 3.
1)Решалось уравнение Фоккера — Планка для ионов. Член, учитывающий столкновения между ионами и электронами, рас считывался с использованием плотности и температуры электро нов. При определении граничных условий для ионов использо вался амбиполярный потенциал. Рассчитывались плотность и энер гия ионов.
2)Решались уравнения для электронов. Потери электронов вычислялись исходя из плотности и энергии ионов, рассчитанных на предыдущем шаге по времени, и амбиполярного потенциала.
3)Полученная плотность электронов и ее изменение сравнива лись с таковыми для ионов. Необходимо было поддерживать заря довую нейтральность. Поэтому если плотность электронов ока зывалась меньше плотности ионов, а изменение плотности элек тронов — меньше изменения для ионов, то амбиполярный потен циал увеличивался на некоторую величину и этап 2 повторялся.
