Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

где полная производная dldt — производная вдоль траектории частицы.

Маркс [24] показал, что скорость изменений числа частиц мож­ но выразить следующим образом:

орбита

где орбиты ведущих центров определяются уравнениями сохра­ нения энергии и магнитного момента:

Приближенное уравнение (61) достаточно точно для описания столкновений во многих системах с магнитными пробками.

Ф и г . 16. Трубка в фазовом пространстве, образованная орбитами ведущих центров.

Показана только Ѵ4 полной орбиты.

Заметим, что оно определяет распределение при z = 0. Одно из основных допущений, сделанных при выводе (61),— квазистационарность распределения, т. е. в любой данный момент вре­ мени распределение является приближенным решением не завися­ щего от времени уравнения Власова. Поэтому функция распреде-

где V, Ѳ, ѵ0, Ѳ0 связаны уравнениями (62). Заметим, что при этом исключаются из рассмотрения частицы, орбиты которых не пере­ секают плоскости z = 0. Хотя такие случаи и не невозможны, однако они не представляют интереса.

Смысл равенства (61) можно пояснить, если рассмотреть «труб­ ку» в фазовом пространстве, образованную соседними орбитами (фиг. 16). Пусть Ап — число частиц в трубке и АѴ — ее объем. Тогда

Ѳ02-Ѳ0І -»■о Ді-0

Числитель и знаменатель в (61) соответствуют числителю и зна­ менателю в (64).

б. Пространственная зависимость распределения электронов

иамбиполярного потенциала

Как и в случае ионов, распределение электронов должно бытьприближенным решением уравнения Власова. Однако мы будем предполагать, как и в § 4, п. 6, что распределение электронов — максвелловское с отсутствием частиц в области потерь. Предпо­ ложим, что скорости изменения плотности и температуры в каждой

которых необходимо для решения этих уравнений, являются ло­ кальными величинами, вычисляемыми для каждого z.

Ранее считали, что предположение о максвелловском харак­ тере распределения электронов довольно хорошее и без учета отсутствия частиц в области потерь. Область потерь учитывалась только статистически при расчете интенсивности потерь частиц. Однако при рассмотрении зависимости плотности электронов и потенциала от пространственных координат необходимо очень аккуратно учитывать отсутствие частиц в области потерь. Обоб­ щая (56), предположим, что

' пе (0) ехр { —(г2 Ң- Гфе)/2у|}

где Р и Q подбираются так, чтобы получить нужное пробочное отношение, с учетом условия, что правая часть равенства при z = 0 равна единице. Поскольку в уравнения входит только отно­ шение магнитных полей, то реальная величина поля несущест­ венна и можно оперировать с введенной нормированной функцией.

На фиг. 17 показана зависимость угла конуса потерь от z при отсутствии потенциала. Магнитное поле определяется выра­ жением (66) при пробочном отношении 2. Горизонтальные линии

Ф и г. 17. Зависимость угла конуса потерь от координаты zlL для пробоч­ ного отношения, равного 2.

Нанесены сетки по Ѳ и г.

на этом графике — сетка по Ѳ, которая используется при реше­ нии уравнения Фоккера — Планка. Соблазнительно использо­ вать точки пересечения этих линий с кривой конуса потерь в каче­ стве сетки для координаты z. Действительно, из-за ограниченных памяти и быстродействия ЭВМ для всех ъ должна использоваться одна и та же сетка по Ѳ и наиболее естественно ставить граничное условие / = 0 при точном значении угла конуса потерь. (Наличие потенциала, однако, изменяет угол потерь, так что ценность подоб­ ной операции становится сомнительной.)

Однако из фиг. 17 видно, что первое пересечение происходит при zIL л# 0,25. Поэтому ясно, что несколько точек на сетке по z должно быть расположено до пересечений, чтобы определять пра­ вильные значения плотности при малых z, где плотность частиц максимальна. Величины z для 11 точек сетки показаны на фиг. 17, причем две точки расположены между zIL = 0 и zIL = 0,25,

бить интервал на две равные части и вычислить интегралы мето­ дом Симпсона, используя интерполяционную формулу для А/”,

z = z*. Предположим, что мы имеем дело с простой сингулярно­ стью, т. е. что

(69)

Вспомним [см. (6)], что цт = у2 (z*)/B (z*). Тогда ясно, что если бы левая часть выражения (69) равнялась нулю, то z* была бы точкой экстремума потенциала V. Это означало бы, что z* — не истинная точка поворота, а только точка неустойчивого равнове­ сия для ведущего центра. Как будет показано, нет необходимости точно вычислять переменные в точках поворота. Следовательно, мы сделаем незначительную ошибку, если всегда будем предпола­ гать, что точка поворота для орбиты лежит ближе этой точки, когда подобная ситуация встретится при вычислениях.

Интегралы с сингулярностью вычислялись следующим образом. Во-первых, определялась величина z* с использованием интерполя­ ции для расчета Ѵф (z), подстановки sin2 (z*) = 1 и применения метода Ньютона к уравнению (68). Затем в окрестности z* инте-