Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

Они содержат также различные функции от іу, 0ц, Ѳг, Ѳц, фигури­ рующие в уравнении (50), и коэффициенты квадратурных формул, используемых для интегрирования по сетке в пространстве скоро­ стей. Так как полное число коэффициентов превышает 300 0 0 0 , то необходимо разместить их на магнитной ленте или дисках и переписывать в оперативную память ЭВМ небольшими блоками в процессе расчета g.

Производные g рассчитывались простым разностным методом:

Для разностей А Ѳ обозначения аналогичные.

Важно отметить, что, хотя величина g нечувствительна к форме /, она прямо пропорциональна полной плотности. Поэтому вели­ чины коэффициентов в уравнении (50) изменялись на каждом шаге по времени пропорционально изменению п. Хотя множитель ln D t очень нечувствителен к небольшим изменениям плотности и темпе­ ратуры, проще всего рассчитывать его на каждом шаге по вре­ мени, чтобы сохранить, насколько возможно, точность и согласо­

Это параболическое уравнение в пространстве двух измерений (напоминаем об аналогии с уравнением теплопроводности). Для решения уравнений этого типа особенно хороша неявная конечно­ разностная схема метода переменных направлений (ADI) Писмана

Сущность метода состоит в том, что за первую половину шага по времени разности сначала вычисляются неявно в одном на­ правлении (по ѵ) и явно в другом, а за вторую половину шага по времени способы и порядок вычисления разностей меняются ро­ лями. (Коэффициенты щ, а2 и т. д., так же как и S, должны иметь индекс п в обоих уравнениях, но он опущен, чтобы не загромо­ ждать уравнения.) Для решения уравнений (54) и (55) существуют стандартные методы. Подробности приведены в приложении Г.

Следует подчеркнуть, что метод переменных направлений имеет преимущество по сравнению с полностью явной разностной схе­ мой благодаря большему шагу по времени, который может быть использован без нарушения устойчивости расчета. В применении к уравнению теплопроводности с постоянными коэффициентами в декартовой системе координат этот метод, как можно показать, безусловно, устойчив. Эмпирически было установлено, что это не так в случае рассматриваемой задачи. Однако исследования условий устойчивости для явных разностных схем заставляют поверить, что метод переменных направлений значительно улуч­ шает положение.

На этом мы завершаем обсуждение способов, позволяющих упростить уравнение Фоккера — Планка для неизотропных задач в отсутствие электронов и амбиполярного потенциала. Как мы увидим, учет электронов при предположениях, которые будут сделаны, приведет только к добавлению сравнительно простых членов к коэффициентам дифференциального уравнения для ионов. Наличие же потенциала скажется на уравнении для ионов только в том отношении, что границы распределения ионов при­ дется изменить довольно сложным образом. Вид правой части уравнения (1 ) совсем не изменится и при введении пространствен­ ной зависимости. Следовательно, проведенное обсуждение является полным анализом способов вычисления dfldt для задач всех типов, которые мы будем рассматривать. Перед тем как при­ вести результаты некоторых расчетов, обсуждаемых в § 4, и. 8 , б, заметим, что рассмотренный выше метод столь же эффективен и при описании столкновений электронов с электронами.

444 Гл. 10. Решение уравнения Фоккера — Планка

5. Применения для одного типа частиц

а. Релаксация произвольной функции распределения к максвелловской

Рассмотрение релаксации анизотропного распределения позво­