Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

и полное число электронов, и изменение в этом числе меньше соот­ ветствующих величин для ионов, то, как и в задаче без простран­ ственной зависимости, потенциал при z = L увеличивается на некоторую заданную величину и пропорционально увеличивают

Ф/, чтобы сохранить одну и ту же функциональную зависимость

Фот z. Иными словами,

Уравнения для электронов снова решаются, и цикл повторяется, пока не окажется выполненным одно из условий:

Наоборот, если число электронов и его изменение больше анало­ гичных величин для ионов, то потенциал при z — L уменьшается и вычисления повторяются, пока не окажется выполненным одно из условий:

п. 1, б. Величина Фь все время полагается равной значению, полу­ ченному на этапе 3. Приравнивались не полные числа электронов и ионов, а их плотности, умноженные на отношение полных чисел электронов и ионов.

Эта схема дала хорошие результаты. Как и раньше, требование на скорость изменения полного числа электронов и самого пол­ ного числа электронов спасает от неустойчивых флуктуаций из-за большой разницы в интенсивностях потерь, которые могут иметь место до уравнивания полных чисел частиц. Однако при таком сравнении скоростей изменений необходимо соблюдать чрезвычай­ ную осторожность, чтобы не возникло каких-либо ложных потерь или источников частиц из-за способа вычисления функций распре­ деления. Чтобы исключить ошибку такого рода, делались про­ верки путем расчета полного числа частиц и изменений в этом числе различными методами. Полное число ионов определяется уравнением (70). Другой метод расчета того же числа — исполь­ зование следующей формулы:

ооЯ

Нами также использовались три различные формулы для рас­ чета dNjdt:

В этих выражениях индекс Ъ отмечает величину функции распределения после применения оператора Фоккера — Планка, но до использования уравнения (67), с помощью которого вычис­ ляются новые значения функции распределения. Расчет по этим трем формулам должен давать одинаковый результат, но из-за вычислительных ошибок не дает, особенно при плотностях, близ­ ких к стационарным, когда изменение в полном числе частиц за один шаг по времени — лишь малая доля полной плотности. В этих случаях интерполяционная процедура, которая использовалась для расчета функций распределения для значений z, отличных от нуля, может привести к довольно большой ошибке в dNJdt. Формула (72) должна давать наилучшее приближение, и потому следует так перенормировать функцию распределения, чтобы согласовать результаты расчета по формулам (72) и (74). Расчет по формуле (73) обычно очень хорошо согласуется с вычислениями по формуле (72) (в пределах 10—15% в худшем случае), пока распределение не очень близко к стационарному, когда относи­ тельная точность расчетов по двум формулам уменьшается из-за очень малых изменений за шаг по времени. t

Оказалось, что применение в лоб операций этапа 4 в описан­ ной выше последовательности вычислений приводит к осцилля­ циям потенциала вблизи пробок. Это происходит потому, что плотность ионов в этих областях очень чувствительна к относи­ тельно небольшим изменениям распределения в центре установки с магнитными пробками. Один из эффективных способов изба­ виться от этих осцилляций — ограничить изменение потенциала за один шаг по времени до доли величины, необходимой для урав­ нивания плотностей ионов и электронов. Например, если измене­ ние в величине Ф должно равняться АФ, чтобы получить пе = nt, то потенциал следует изменять следующим образом:

ФР+1 =ф?-|-ѵДФ ,

где V — положительная константа, меньшая 1. Такая процедура приводит к «гашению» осцилляций потенциала. Если выбрать

V надлежащим образом, то расчет проходит очень ровно. Эмпи­ рически мы нашли, что удобно выбрать ѵ = 0,1.

Другая трудность, которая возникает при численном реше­ нии, — невозможность точного расчета функции распределения при больших z, особенно в случае, когда потенциал увеличивается до заметной доли энергии ионов. Мы использовали уравнение (63) для расчета распределения при z Ф 0. Так как у частиц, орбиты которых проходят вблизи пробок, значения ѵ0 и Ѳ0 очень близки к величинам у границы области потерь при z = 0, то прямое использование уравнения (63) потребовало бы очень точ­ ных значений функции распределения в этих точках простран­ ства скоростей. Однако граница области потерь аппроксими­ руется на сетке координат пилообразной линией и высокая точность в этом случае практически невозможна. Поэтому распреде­ ление при z = 0 аппроксимировалось гладкой функцией, которую подставляли в (63) для вычисления распределения при больших г. Мы использовали следующую функцию:

образом, чтобы выполнялось равенство /* = 0 на границе обла­

распределения в тех случаях, когда уравнение (63) можно при­

а. Расчеты накопления

1)Сравнение с расчетами для прямоугольной ямы. В интере сах краткости впредь будем называть расчеты без пространствен­ ной зависимости расчетами для «прямоугольной ямы», а расчеты

сучетом пространственной зависимости — расчетами, «завися­ щими от z». Будем предполагать, что функциональная зависимость

магнитного поля определяется уравнением (66). Таким образом, расчеты, зависящие от z, можно было бы называть расчетами для «косинусоидальной ямы».

При сравнении расчетов, зависящих от z, с расчетами для прямоугольной ямы вводимый ток на единицу площади и на еди­