Файл: Вычислительные методы в физике плазмы..pdf

Приложение Б i l l

По определению при обычном условии суммирования

df,J

с аналогичным выражением для W g — g, ц* По определению

4 W g : W / = 4 alikang, klf, u .

Выполняя указанное суммирование и упрощая, получаем

Нам нужна трехточечная квадратурная формула для прибли­ женного вычисления различных интегралов в фазовом простран­ стве в случае, когда сетка может состоять из неравных интерва­ лов. Предположил!, что три точки на сетке задаются значениями X — — L , 0 и + /і+ и что три соответствующих значения функ­ ции, которая интегрируется, равны /_, / 0 и /+. Квадратный трех­ член, который проходит через три точки, определяется формулой

/* = а0+ aYx + а2ж2,

где

а о — /<ь

hlU + (hl-hl) f o - h \ f _

h l h + + h \h _

h - f + — (h + - \- h _ ) /o-f-fo+/_ h +h _ (h+-]- hJ)

2h't — h3++ 2,hlh+

+ [ 6h_ (h+-)-h_) ] / -

Эта формула сводится к формуле Симпсона, если h+ = /г_. Повторные применения этой формулы позволяют приближенно вычислять интеграл, используя любое нечетное число точек на сетке, как и в случае формулы Симпсона.

П р и л о ж е н и е В. Д р у г и е методы в ы ч и с л е н и я у

Первый метод использует тот факт, что h u g удовлетворяют следующему уравнению Пуассона [8] (взаимодействием с другими типами частиц пренебрегаете я):

Vlh = — 8я/ (у), Vvg = h.

Зная /, можно использовать стандартную методику конечных разностей для вычисления h, и затем эта же методика применяется для расчета g.

Была составлена программа для решения уравнения Фоккера— Планка этим способом. Эта программа давала хорошие результаты, когда применялась к уравнению в полном пространстве скоро­ стей.

Но когда вводился конус потерь, расчет всегда оказывался неустойчивым. Подлинная причина этой неустойчивости не из­ вестна, но, по-видимому, она связана с тем, что невозможно пра­ вильно подбирать коэффициенты для сглаживания острых пиков в распределении, которые увеличиваются в процессе счета.

Второй метод, который использовался,— это разложение члена \ѵ — v' I в ряд по ортогональным полиномам от переменных ѵ/ѵ', cos Ѳи cos Ѳ', когда ѵ < г/, и от ѵ’/ѵ, cos Ѳ и cos Ѳ', когда ѵ > ѵ'.

Это разложение аналогично разложению, определяемому фор­ мулой (28) в работе Бен-Даниэля и Эллиса [51. В разложении удерживались члены до десятого порядка по ѵ’Іѵ (или по ѵ/ѵ')- У этого способа такие же недостатки, как и у первого; факти­ чески причина возникающей неустойчивости расчета та же, что

и в первом случае.

Более быстрый метод расчета коэффициентов мог бы сэконо­ мить время при решении задач без учета пространственной зави­ симости. Однако для пространственных задач расчет коэффициен-

тов занимает сравнительно небольшую долю полного времени счета. Поэтому для таких задач эффективные методы расчета, коэффициентов не представляют большого интереса.

П р и л о ж е н и е Г . І ’еш еи и е р а з н о с т н ы х у р а в н е н и й

Преобразуем сначала разностные уравнения к виду

В І , І ~ С І, Іѣ г, 3 - 1

Ъ і з + Ч і П і - і

F i r

K i ~ Ci,iEZi - 1