Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 284

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и током электронов — определять в общем случае по формуле

 

 

 

 

 

tg ф = — е

 

 

 

Этот

фазовый

сдвиг,

в свою очередь, зависит от частоты

генерации,

Ф =

Ф (со). Наиболее

благоприятно

для генерации

значение Ф = 0.

Пусть значение Ф =

0 достигается

при

некоторой

частоте

со'е ; тогда

при

со^со'е

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 § ф ~ ф ( с о ) « ( с о - с о ; ) Г е )

Т е

= ^ ( с о ; )

(2.67)

и формула

(2.66) принимает

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 0 =

J U ^ T ? — '

 

 

( 2 - 6 8 )

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т г = -*-г

 

 

 

(2-69)

 

 

 

 

 

 

(Or

 

 

 

 

— время

затухания

резонатора, в

то

время

как

Те — характерное

время электронного потока, равное некоторому времени пролета. Выражение (2.68) показывает, что частота генерации есть «взвешенное среднее» частоты резонатора со'г и оптимальной электронной частоты со'е , при которой ф = 0, т. е. электронный поток находится в оптималь­ ной фазе резонансного поля, вследствие чего активная мощность электронов максимальна, а реактивная равна нулю.

Фаза

ф зависит,

кроме частоты со, от со'е как от параметра; сама

оптимальная электронная частота со'е

зависит от электронного потока,

в частности от его напряжения;

изменяя последнее,

мы изменяем

со'е и, следовательно,

со. При

этом фаза ф = ф (со, со'3)

претерпевает

изменение

 

 

 

 

 

 

 

 

бф =

бсо -|

бсое'

 

 

 

да

 

дше

(2.70)

 

 

 

бф

 

 

 

б tg ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОЭ^ф

 

 

 

а частота

генерации — изменение

 

 

 

 

 

 

 

дф

 

 

 

 

б ш =

 

^

бсое'.

(2.71)

 

 

Тт

cos2

ф +

Зф

 

 

 

 

 

 

да

 

Эта формула определяет техническую нестабильность частоты резо­ нансных автогенераторов (клистронов, магнетронов и т. п.), вызван­ ную нестабильностью электронного потока (из-за колебаний напряже­ ния и т. п.). Мы видим, что наибольшая нестабильность будет при малых значениях cos ф, когда активная мощность невелика.

Соотношения для со и бсо, полученные выше, выводились разными авторами для конкретных приборов, причем не только применялись разные методы (в теории клистрона — рассмотрение резонатора как контура, в теории магнетрона — вычисление наведенного тока и т. д.), но и полученным величинам давались разные наименования (вместо электронного смещения частоты говорили об электронной перестройке и т. д.). Изложение этих вопросов в данной лекции отличается общ­ ностью, однако является несколько формальным; это относится осо­ бенно к определению величин (о'е и Тє, в частности, не вполне оче­ видно, что Те есть действительно (усредненное) время пролета. Вер­ немся к этим вопросам в конце следующей лекции после изложения

элементарной теории

магнетронных

генераторов.

Оказывается, что

в плоском магнетроне

оптимальная

электронная

частота со'е близка

к частоте, при которой осуществляется точный синхронизм электронов и волны и электронные язычки симметричны. Что же касается клистронных генераторов, то для них оптимальная электронная частота соответствует центру зоны генерации (см. приложение V I I I ) .

ЗА Д А Ч И КО 2-й ЛЕКЦИИ

1.Проверить правильность уравнения (2.17) для собственных колебаний,

положив j = 0.

Р е ш е н и е . М ы получаем уравнение

d C r

= i (со—сог )Сг ,

откуда

Сг ( / ) = С г ( 0 ) е '

иформулы (2.02) принимают вид

E(*) =

R e 2 c r

(0)

Е г е ~ ' 4

 

 

г

 

 

 

Нф =

Яе'2іСг

(0)

Нге~Шг*

t

 

г

 

 

 

т. е. поле представляется в виде суперпозиции собственных колебаний (2.06), что и должно быть.

2. Вывести уравнение (2.53), исходя из следующих соображений. Для стро­

го стационарных колебаний мы получили соотношения (2.16), первое

из которых

можно переписать в виде

 

 

г (со—сог) С г (со) = j *

j (co)Er dV.

(а)

Г

V

 

Если комплексные амплитуды Сг(со) и j(co) меняются во времени, то это значит что их можно представить в виде интегралов Фурье

 

оо

оо

Cr((o,t)=

jj Cr (<» + E ) e - « < d C ,

І (со, / ) = jj і (<в+С) e - ' c ' d C .

 

— оо

—оо

где Cr(co + 0 и /(со + Q по-прежнему относятся к строго периодическим про­ цессам. При анализе считать, что величины сог и Afr от частоты не зависят (что правильно лишь приближенно, см. стр. 39 и 40).

Р е ш е н и е . Соотношение (а) можно переписать в виде

і (со +

£ ~ с о г ) сг'(«> +

0

= - ^ - j

І

+

Е г dV.

 

 

 

 

 

V

 

 

 

Умножая его на е -

и

интегрируя

по £, получаем

 

; J

( ш + С - ю г ) С г ( ш +

С ) е - « ' # = — $

J ( © , / ) Е . dV.

— оо

 

 

 

 

 

Г V

 

Легко видеть, что левая часть этого соотношения

равна

 

 

 

 

дСг (со, /) 4-і

(со —сог ) Сг

(со,

t),

 

 

 

_

dt

 

 

 

 

 

а в правой можно

положить

 

 

 

 

 

 

 

 

J(<»,

fi

= 2 J ( 0 e / e > ' .

 

 

Таким образом, мы приходим к уравнению (2.53), эквивалентному уравнению (2.17). При выводе этих уравнений никаких предположений, кроме предполо­ жения о постоянстве сог и Nr, не делалось.

3. Показать, что

2Я

¥ ( C r cos Ы) sin со/ = -^— j* Ч? (Cr cos at) sin atd (at)=0.

о

Выяснить энергетический смысл этого соотношения с точки зрения формулы (2.63).

Р е ш е н и е . Написанный интеграл лишь постоянным множителем отли­ чается от интеграла

и,

где Ut — значение U в начале периода

(скажем, при t — 0), a Us

— значение U

в конце периода (при t = 2я/ы). Для

периодических

процессов

t/j =» (} 2 , по­

этому интеграл

равен нулю.

 

 

 

Формулу

(2.63) можно переписать в аналогичном

виде:

 

и,

' • Г

2л J

и,

Если У есть однозначная функция V в каждый данный момент времени, то Ре —

=0; в триоде это так, а в клистроне — нет.

4.Показать, что в схеме, изображенной на рис. 2.1 и рассмотренной в лек­ ции, У и tV связаны дифференциальным уравнением

й'4-а сУ + со2, ( / = — Z. (2аУ + с о 2 , / ) .

Так как J = W(U), то это есть нелинейное уравнение для U. Решить это урав­ нение методом Ван дер Поля, полагая

U (t) — A (t) cos coif - f В {t) sin o?t

и с помощью метода вариации «постоянных» А и В составляя дифференциаль­ ные уравнения первого порядка для них. Сравнить с уравнением, полученным в лекции.

Р е ш е н и е . Положим J = Ji + J2, где Ух — т ° к , проходящий через индуктивность L , & J2 — через сопротивления R и емкость С. Мы имеем

и, выражая У2 через J и / і , получаем соотношение

Lh + RJy+-^h=-(Ri

+

^rJy

Дифференцируя по / и подставляя вместо Jl напряжение U, получаем нужное уравнение. Эго уравнение можно переписать в виде

U + a2aU=F

(U),

где для сокращения пишем F(U) вместо F(U, U, U). Полагая

U = A cos Ш-^-В sin со?, Л cos со/ + В sin ait —О,

получаем

 

 

 

0— —соЛ sin со/ -f-wB cos со/,

 

 

 

 

 

І/ = —со2 U — со A sin со/ +соВ cos со/,

 

а для

,4

и В — еще

одно уравнение

 

 

 

 

— A sin со/ -f-B cos co/ = G (Л cos cof -j-В sin се/),

 

где

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

А — — G (A cos с о / + В sin со/) sin со/,

 

 

 

 

B = G (Л cos со/ + В sin со/) cosco/,

 

 

в правых

частях которых кроме постоянных (при Л =

const и В =

const) чле­

нов будут тригонометрические функции от аргументов

со/, 2со/, Зсо/ и т. д. (если

^(U)

есть

полином),

которые дают малые и быстро осциллирующие

члены, на­

кладывающиеся на плавно изменяющиеся величины Л и В или (в стационарном режиме) на их постоянные значения. Пренебрегая этими членами, получаем бо­

лее простые уравнения

 

А =

— G (Л cos со/ -f-B sin со/) sin со/,

B =

G (Л cos со/ -)-В sin со/) cos со/ ,

в которых усреднение производится при «замороженных» Л и В.

Это усреднение возможно потому, что в правой части уравнения для U

существенны

только резонансные члены,

пропорциональные cosco/ и

sin со/ (считаем

со ^ со0, а в ходе дальнейших

аппроксимаций получим со —

— со0); только эти члены дают большой вклад в выражение для сУ, вклад нерезс-

нансных членов мал, они-то и отсеиваются в результате

усреднения.

Подставляя

функцию

 

 

 

со2 — и>1

1

Г. .-.

1 d

2а

G (10 =

- U

—

2 ^ +

_ _ т ( у ) +

_ _ . т ( у )

со

 

со

и применяя тождества

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

• sin со*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

4(U)

•• cos cot

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2

4(U)

•• sin

at

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

¥ (U)

 

• cos at

=

—ft)2W (U) cos

at,

 

 

 

dt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

основанные на том, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

( ¥ sin со*) =

d

(W cos at) = 0,

 

 

 

 

—

—

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

мы, пренебрегая членами

порядка 2а/со0 , малыми

по сравнению с единицей

(эти члены обусловлены слагаемым 2<xJ в исходном

уравнении), получаем окон­

чательные

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.2

„ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А =

 

В—аА

——

¥

(A cos со* +

В sin at) cos

at,

 

 

2co

 

 

.

С

 

 

 

 

 

 

 

 

CD2—COo

_

 

1

W (A cos cor + B sin at) sin со* •

 

В —

A—aB

——

 

2co

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

положить

со =

со0 и В -= 0, то для А можно

получить то же урав­

нение, что и для Сг

в лекции.

 

 

условия

ортогональности.

Воспользовать­

5. Из уравнений (2.07) вывести

ся векторным тождеством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

div [ А В ] =

В rot A — A

rot В .

 

 

 

Р е ш е н и е .

Беря уравнения

(2.07) и аналогичные

уравнения

 

 

rot Es = iks

fx H s ,

r o t H s = — i k s

s E s

,

 

приходим

к тождествам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H r

rot E s — E s

rot Hr =

ikr

eE r Es -f- iks

p,Hr H s ,

 

 

H s

rot E r — E r

rot H s = iks

eE r Es-\-ikr

 

LiHr H s .

 

Интегрируем по объему V, пользуясь приведенным выше тождеством и теоремой Гаусса — Остроградского. Поскольку на поверхности S, охватывающей объем V, поле согласно исходному предположению отсутствует, получаем соотношения

сог J

s E r E s dK-^cOs j" \xHr H s dV = 0,

 

V

 

 

 

V

 

cos J eE r E s dV 4- ar

J цИг H s dV = 0.

(b)

 

V

 

 

 

V

 

Если со? Ф cof (т. е. если

сог

ф

as,

поскольку равенство

ar = —cos не­

возможно в силу условий сог >

0,

cos >

0), то эти соотношения влекут за собой

соотношения ортогональности.

Если же комплексной частоте

cor = cos соответ-

48

Смотрите также файлы