Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 296

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если же выполняется условие синхронизма v0 = и, то

F=—i

—

Esinha*,

FeiQt = 0

(4 18)

и уравнения (4.11) принимают

вид

 

 

а=

£

sin ha*,

р = 0 .

(4.19)

— с —

 

н

 

 

 

Ниже мы получим эти уравнения в более общих предположениях и покажем, что первое из них дает дрейфовое приближение. Что же

касается второго уравнения

ф = 0), то оно выражает два

факта:

постоянство радиуса

орбиты r0

=

| |3 | и постоянство угловой скорости

обращения

по

этой

орбите — угловая скорость равна — Q. Дейст­

вительно,

полагая

(3 == г0 е'ф »,

из равенства Р = 0 находим

г0 = 0

и ф0 = 0,

причем последнее условие в силу формулы (4.07)

как раз

дает угловую скорость —Q.

 

 

 

Условие применимости дрейфового приближения в данном случае

имеет вид

h6 <

1: такую форму

принимает условие (4.12). Никаких

ограничений на радиус орбиты г0 или на частоту синхронной волны

при

этом

не

накладывается.

 

 

 

 

 

v0

— и поставить

 

 

Если

же

вместо

условия

синхронизма

более

сложное

условие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(О

— l W n Q

(п =

 

1,

2,...),

 

(4.20)

то

 

 

 

 

11

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F = J -

E e -

* *

' ( - i m -

;

f P

= -

i

-

£

r ' * « , t № ,

(4.21)

 

 

2т

 

 

п\

 

 

 

2т

 

 

 

(п—\)\

 

а при условии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо ^ 1 — ^ = n Q

 

( п = 1 , 2 , . . . )

 

(4.22)

 

F=

 

Eeiha*

 

,

РёР* =•

 

 

£е'Л «* (^Р*)""1 .

(4.23)

 

 

 

2т

 

п\

 

 

 

2т

(п — 1)!

 

При

этих условиях движение совершенно

не

похоже

на то,

кото­

рое

можно было

бы

ожидать

согласно

дрейфовому

приближению.

Условия (4.20) и (4.22) суть условия орбитальных резонансов, когда

эффективная

частота сое = со (1—v0/u)

поля, действующего на электрон

(см. задачу

1), равна + й , + 2 й и т . д . При орбитальных

резонансах

уже

(3=^=0, поэтому

радиус орбиты г0

может как увеличиваться, так

и уменьшаться, а

угловая

скорость

обращения отличается от — Q.

 

В магнетронных приборах начальный радиус орбиты обычно мал

(см.

предыдущую

лекцию),

поэтому

при орбитальных

резонансах

радиус, как правило, увеличивается, что приводит к увеличению потерь. Если же электроны вступают в пространство взаимодействия с сильным орбитальным движением, то при некоторых условиях воз­ можно уменьшение радиусов орбит и переход кинетической энергии

76

электронов в энергию сверхвысокочастотных полей. На этом прин­ ципе и работают электронные приборы с криволинейными пучками (ср. 8-ю и 9-ю лекции).

Электромагнитное поле в магнетронних генераторах имеет слож­ ную структуру — это сумма пространственных гармоник, распро­ страняющихся с различными фазовыми скоростями. Вполне может

случиться так, что наряду

с синхронной пространственной

гармоникой,

у которой uttv0,

имеется

другая, для которой реализуется орбиталь­

ный резонанс. В этом случае на дрейфовое движение электронов

на­

кладывается движение совершенно иного характера,

ухудшающее

характеристики

прибора. Орбитальные резонансы реализуются

не

только при точном выполнении условий (4.20) и (4.22), но и тогда, когда разность частот сое — пО., умноженная на время пролета, по­ рядка единицы [ср. условие (3.70)]. Если же орбитальных резонансов нет, то электроны в поле синхронной волны движутся согласно дрей­ фовым уравнениям — так, как было рассмотрено в 3-й лекции. Надо

еще учесть, что обычно

hr0<Cl,

поэтому

орбитальные резонансы

высоких порядков (п >

1) приводят к

малым величинам

(4.21) и

(4.23) и существенны лишь резонансы с

небольшими п (п =

1 и 2).

Когда усредненное

действие

данного

поля на электрон

оказы­

вается равным нулю, то это значит, что под действием поля он совер­ шает только осциллирующее движение — мелкое дрожание, которым в большинстве случаев можно пренебречь (см. 10-ю лекцию), а какоголибо существенного, накапливающегося влияния на движение данное

поле не имеет.

 

 

 

 

 

 

 

Исследуем

связь

уравнений

(4.11)

с дрейфовым

приближением

с

более общей точки

зрения. Пусть формулы (4.13) и (4.14) остаются

в

силе, так что

 

 

 

 

 

 

 

 

F * = a u _ _ i v u _

 

( 4

2 4 )

 

 

 

дх

ду

'

К

'

но относительно функции % лишь предположим, что

она удовлетво­

ряет уравнению

Лапласа

 

 

 

 

 

 

 

* * +

* * = 0 .

(4.25)

 

 

 

дх*

ду*

 

V

'

Тогда, как известно, можно найти функцию W, также удовлетворяю­ щую уравнению Лапласа, такую, что выполняются условия Коши — Римана

dU

d'V

dU

д'ІГ

.. 0„ч

~— = —

, — =

— ,

(4.26)

дх

ду

ду

дх

 

так что функция W = % + № является аналитической функцией комплексной переменной 2 = х + iy, и формулу (4.24) можно пере­ писать в виде

F*=F* (z—ui)=-^-.dz

(4.27)

Представим теперь z в виде

 

z=ut + Z + Z, Z = a + (v0—u)t, £ = j 3 e - ' w ,

(4.28)

где Z — комплексная координата ведущего центра относительно синх­ ронной волны; £ — комплексная координата, соответствующая орби­ тальному движению. Считая для определенности Q > 0, будем иметь

2л

?•• = -!• Г ^ ( Q < ) = - ! - с 6 — — = —

о

2л

О

где $ есть интеграл по окружности радиуса rQ, взятый в положитель­ ном направлении, т. е. против часовой стрелки. Первое соотношение (4.29) следует из теоремы Коши для аналитических функций, второе есть следствие однозначности функции W (интеграл равен разности значений W в одной и той же точке — до обхода и после). При Q < О получаются те же результаты.

Уравнения (4.11) принимают вид

Z = v0~u—~-F{Z*),

р = 0 .

(4.30)

Пользуясь вторым соотношением (4.28), можно переписать

уравнения

(4.30) следующим образом:

 

 

a =-J-F(a*

+ (v0~u) t),'$ = 0.

(4.31)

ей

 

 

Эти уравнения легко получить непосредственно из выражений вида

(4.17), если при усреднении

пренебрегать изменением величины

(v0 — и) t, которая за время усреднения

2п/1 Q | при малости v0

—

и

действительно меняется мало,

а именно

получает приращение

60

=

2я

=(v0 — и) -ущ- , которым при усреднении можно пренебречь, если

h\80\ « 1.

Полагая Z = X + iY, вместо первого уравнения (4.30) можно написать два вещественных уравнения

которые только

обозначениями отличаются от уравнений (3.19);

соответствующие выкладки приведены в задаче 2.

 

Мы получили дрейфовое

приближение и не получили

орбиталь­

ных резонансов,

поскольку

считали величину Z медленно меняю­

щейся. Таким образом, при отсутствии орбитальных

резонансов

единственным условием применимости дрейфового приближения яв­ ляется неравенство (4.12), причем смысл б объяснен перед этим не­ равенством. Этот результат нетривиален, поскольку при элементарном

78

рассмотрении (начало 3-й лекции) кажется, что дрейфовое приближе­ ние справедливо при более жестких условиях

 

r 0 | g r a d F | « [ F | ,

1

d F

« I

fin

(4.33)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

причем второе

условие

в

сущности

 

ограничивает частоту генерации

со неравенством со

| Q | . На самом

деле

условия

(4.33) лишь

достаточны, но

никакой

необходимости

в них нет.

 

Рис. 4.1. Траектории электронов в ниготроне.

В качестве иллюстрации на рис. 4.1 приведены траектории элек­ тронов в ниготроне, полученные путем точного решения уравнений движения в поле синхронной волны с потенциалом (3.73). В данном случае r0 — D/2, но траектории с удивительной точностью следуют за ходом эквипотенциалей.

б. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ

ЗАРЯД

 

 

Выше мы показали,

что дрейфовое

приближение

выводится

из метода усреднения только

в том случае,

если потенциал

сверхвы­

сокочастотного поля удовлетворяет уравнению Лапласа. При учете

пространственного

заряда

потенциал % удовлетворяет уже не урав­

нению Лапласа, а уравнению Пуассона

 

 

 

= со„.

(4.51)

 

 

ду*

 

где

 

Г 4лер

 

 

 

(4.52)

 

 

 

есть плазменная

частота,

соответствующая локальной

плотности

р пространственного заряда, и уравнения (4.30) и (4.31) становятся, строго говоря, неприменимыми. Вместе с тем, как показано в 3-й лекции, поле пространственного заряда движется с той же скоростью

Смотрите также файлы