Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 297

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и, с какой движутся электронные сгустки и синхронная

волна, форми­

рующая

их.

 

F в виде

При

учете пространственного

заряда записываем

 

F = F(x — ut,y)

= F(X + lY + i]),

(4.53)

переходя к системе координат, движущейся с синхронной волной, и обозначая через X , Y координаты ведущего центра, а через | , т} — ко­ ординаты орбитального движения. Мы применяем обозначения (4.28), в которых

s = r Р е - М ' + р * ^ ^ p e - f a < - p « e f Q < ^ ( 4 5 4 )

и, считая |

и т] малыми,

 

представляем

F в виде

 

 

 

F = F(X,Y)+

 

—

Е + —

 

+ — — £ 2

+

 

 

 

. a2 F

s

 

,

і

d2F

 

2

, .

с „

 

 

Н

с ж а г

ё^Н

2

•

 

л2 ,

(4.55)

 

 

 

 

 

 

 

 

дУ2

1

v

'

пренебрегая

членами

порядка

| р | 3

и выше. Через

в этой формуле

 

 

6F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обозначена

величина

^

 

(X, У) и т. д.

 

 

 

 

 

 

В результате усреднения

получаем

 

 

 

 

 

F = F(X,Y)+±(^

4 І дХ2

+

 

^ ) \ W ,

 

 

 

 

v

 

 

'

1

 

1 дУ2

Г

 

 

 

 

fe'0'

=

 

1

/

dF

 

. dF

 

(4.56)

 

 

— (

- ^

 

i

— )p.

Легко показать, что из выражения

(4.24) и уравнения

(4.51) вытекает

тождество

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dF

 

 

. dF

 

d2<U . d2U

 

2

,,

П ,

 

дХ

 

1

— =

дХ2

\-~—

— Щ,

(4.57)

 

 

 

 

дУ

 

 

дУ2

 

р

V-

/

где мы уже считаем величину

со2, функцией X и У — координат веду­

щего центра в движущейся системе. Поэтому для Р получаем уравнение

 

 

P = i - ^ - P .

( 4 - 5 8 >

 

 

 

2Q

 

которое

при Юр = const

имеет решение

 

 

 

Р = Р 0

е 2

й ,

(4.59)

в силу

которого угловая

скорость

обращения равна — Qp,

где

 

 

 

 

2

 

 

 

Q. = Q

1 - ^ 1 .

(4.60)

Однако эта формула

применима

лишь

при Q p « Q , т. е. при

условии

 

 

 

 

 

со£«£>2 ,

 

 

 

(4.61>

потому

что при усреднении мы считали, что Р меняется медленно (по

сравнению с е~іШ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем к анализу дрейфа. Учитывая, что

 

 

 

 

дХ*

<ЭК2

1Ч дХ

дУ1\дХ

 

dY 1

\дХ

dY J

Р

 

из

первого соотношения

(4.56)

получаем

 

 

 

 

 

 

F = F(X,Y)

+ -±-(^

+

i^)\fL

dX ^

dY

 

'

 

 

v

;

4 \ дХ

dY ) 1 н

v

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.64)

Для

Z

получаем

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z = v0~u~j^F,

 

 

 

(4.65)

аналогичное первому уравнению (4.30) и определяющее дрейф веду­

щего центра

электрона. Поскольку при движении электрона, как мы

видели, | р | 2

=

const, то дополнительное слагаемое в

правой

части

(4.64) создает

дополнительную

силу (дополнительный

дрейф)

лишь

в том случае, когда плотность

электронного облака меняется от точки

к точке. Ниже мы рассмотрим конкретные проявления этой допол­ нительной силы.

Важность условия (4.61) для применения метода усреднения видна из следующих соображений. Для поля синхронной волны без

учета пространственного заряда

| grad F | ~ h | F | , где h—волновое

число этой волны, и неравенство

(4.12) принимает вид /іб <^ 1. При

учете пространственного заряда в силу формулы (4.57) может быть

уже | grad і 7 I — со2,, и при достаточно

большой плотности

заряда эта

оценка наиболее существенна: она

ведет к неравенству

с о р б < | . Р [

I F I

 

 

и, полагая б—--L ^-, мы получаем как раз условие (4.61).

Формула (4.60) показывает, что под влиянием сил пространствен­ ного заряда угловая скорость уменьшается. Эта формула не позволяет сделать каких-либо количественных заключений об орбитальном

движении при (ОрЗ? ^

2 > поскольку она, как и весь метод усреднения,

становится неприменимой, однако частные примеры

(см. задачи 5—8)

показывают, что при

условии

 

 

с о ' ~ Й 2

(4.66)

разделять дрейф и орбитальное движение и усреднять по орбиталь­ ному движению уже нельзя по следующим причинам: 1) дрейф и ор­ битальное движение сравнимы по своим скоростям, поскольку угло­ вая скорость орбитального движения уменьшается, а дрейф под дейст-

81

виєм

сил

пространственного

заряда — ускоряется;

2) обычно

(но

не всегда)

периодическое орбитальное

движение

при

условии

 

 

 

 

 

 

c o £ > Q 2

 

 

 

 

 

 

(4.67)

вообще невозможно. Движение приобретает апериодический

характер:

электрон, помещенный в данное поле пространственного заряда,

быст­

ро выталкивается из области,

занятой зарядом,

и это

выталкивание

 

 

У »

 

 

приводит к тому, что частота

 

 

 

 

 

 

Q

становится

комплексной.

 

 

 

 

 

 

 

Условия

(4.66)

и

(4.67)

 

 

 

 

 

показывают, что в

электрон­

 

 

 

 

 

ных приборах типа М суще­

 

 

 

 

 

ствует критическая

плотность

 

 

 

 

 

заряда, зависящая

от напря­

 

 

 

 

 

женности

магнитного

поля.

 

 

 

 

 

Эта

критическая

плотность

 

 

 

 

 

сказывается

на движении

не

Рис. 4.2. Дополнительный "дрейф

электро­

так

резко, как

критическое

на

при переменной

плотности заряда.

напряжение, но тем не менее

 

 

 

 

 

является

очень

важной

для

понимания

явлений

в мощных

приборах

типа М. Мы будем опреде­

лять

критическую плотность с помощью

соотношения

 

 

 

 

 

 

 

и>1 = Ог

или р:

4 п т с 2

Я 2 .

 

 

 

(4.68)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ее значение выявляется уже при анализе движения электронов в за­ пертом магнетроне при ограничении тока пространственным зарядом

{см. приложения I I

и I I I ) .

Таким образом,

при плотности заряда порядка критической ха­

рактер движения электрона меняется: орбитальное движение замед­ ляется или нарушается вообще, и электроны уже не перемещаются вдоль эквипотенциалей даже при постоянной плотности заряда (см. задачу 8).

При переменной плотности заряда, как показано выше, возникает дополнительная сила. Пусть, например, при у <Z 0 имеется постоянная плотность заряда р < 0 , а при у>0 заряда нет и пусть при у та 0 поле пространственного заряда скомпенсировано каким-то другим полем. Электрон, начинающий свое движение из начала координат (рис. 4.2) с начальной скоростью v0, направленной по оси у , описывает в полу­

пространстве у >

0 полуокружность радиусом г 0 , а в полупространст­

ве

у < 0 — полуокружность радиусом

г 0 р

> г

0 , поскольку

г 0 и

г0р

определяются

соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

Qr,Г Q — Qp Г0р

1/Q,

 

 

 

 

а согласно формуле (4.60) Qp <

Q. Таким

образом,

непостоянство

плотности заряда

приводит к дополнительному

дрейфу

со скоростью

 

 

го—гор

___£*. ^—®Р

- ~

Юр

г °

 

 

 

~~

Q Q^Qp ~

ТГ 4лГ'

(4.69)

Q

При использовании формул

(4.63) — (4.65) будем считать,

что плот-

 

 

 

 

 

Аи

_

_ Д«

 

ность меняется

линейно

в

слое

<f <

У < -ff. тогда

 

 

 

 

а

 

 

2

 

 

 

 

<ЭУ

р ~

Ау'

 

 

где справа стоит плазменная частота,

соответствующая

однородной

плотности при у •< — ^

(при у >

4р плотность равна нулю). Тогда

дополнительный

дрейф

происходит

со

скоростью

 

 

 

 

/

 

2

2

 

 

 

 

 

СОр

Г 0

 

 

 

 

V

* ~

~~Q

 

~Щ'

 

которая при Ay

= пг 0 совпадает со скоростью (4.69). Если поле про­

странственного заряда не скомпенсировано, то еще будет дрейф под действием этого поля; он также происходит по оси х, поскольку поле направлено по оси у. Если к тому же траектория электрона целиком лежит по одну сторону границы раздела, т. е. в области, где плотность заряда постоянна или равна нулю, то дополнительный дрейф отсут­ ствует.

Между тем, силы пространственного заряда стремятся вытолк­ нуть электрон из области, занятой зарядом (того же знака). Так и происходит, если магнитного поля нет: электрон выталкивается, и силы пространственного заряда продолжают его удалять от области, занятой зарядом. Если плотность заряда при у < 0 (рис. 4.2) удов­ летворяет условиям (4.67) или (4.68), то устойчивый дрейф электронов

при

г / < О невозможен: любое малое возмущение выбрасывает

элект­

рон

из области, занятой зарядом (см. задачу 8). Однако при

выходе

в пустое пространство возникает орбитальное движение, заменяющее убегание электрона от границы раздела дрейфом вдоль этой границы. Наконец, если плотность заряда меньше критической, то возможен устойчивый дрейф электрона по сси х при у < 0 (рис. 4.2).

Эти и другие примеры, относящиеся к движению отдельного элект­ рона в поле, создаваемом зарядом других электронов, показывают, что постояннее магнитное поле противодействует силам отталкивания между электронами в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Компенсация сил отталкивания наиболее эффективна при плотностях электронного заряда, существенно меньших критической плотности (4.68).

Как можно физически объяснить уменьшение угловой скорости орбитального движения из-за пространственного заряда? Если мы возьмем плотность р противоположного знака (р > 0), то в таком «ионном облаке» электроны могут находиться в устойчивом равнове­ сии и совершать колебания около положений равновесия с частотой

порядка j (Dp I (см. задачу

10). Положительный

пространственный

заряд увеличивает угловую

скорость (| fip| > | Q|),

потому что даже

в отсутствие магнитного поля (Q = 0) возможно периодическое дви­ жение, аналогичное орбитальному движению в магнитном поле. При р <С 0 изменение Qp происходит в другом направлении и при плотно-

стях, близких к критической, орбитальное движение существенно из­ меняется и может стать апериодическим.

Пространственный заряд влияет не только на характер движения электронов, но и на само поле. При наличии пространственного заряда потенциал % в движущейся системе координат представляется в виде ряда

оо

 

% (X, У) = 2 %п (У) е'"**

(4.70)

в то время как при отсутствии пространственного заряда в этом ряду отличны от нуля, как видно из формулы (4.15), только два члена: при п = 1 и п = — 1. Слагаемое %U{Y) в ряду (4.70) определяет дополнительный дрейф по оси X , причем скорость дрейфа зависит только от У. Вблизи катода скорость этого дрейфа определяется ве­ личиной 5 ///0 (0), для которой в задаче 3 получено выражение

%(0)

= —%-hq (і—У),

(4.71)

где q <Г 0 — электронный

заряд в пространстве

взаимодействия на

длину волны по оси х и на единицу оси z, Y — ордината центра тяже­ сти электронного заряда, D — расстояние между анодом и катодом, h — волновое число синхронной волны.

Формула (4.71) дает представление о величине дефазирующего поля, создаваемого пространственным зарядом; смысл этого термина пояснен в 3-й лекции после формулы (3.63). П. Л . Капица из иных соображений получает для дефазирующего ускорения, вызванного пространственным зарядом, выражение

Afy=--P%L,

(4.72)

где р — плотность пространственного заряда в язычках, L — период структуры, связанный с волновым числом соотношением h = ліL (л — колебание), % — постоянная, близкая к единице. Легко видеть, что правые части (4.71) и (4.72) совпадут, если положить

* - 2 " ( 1 - т ) ^ -

<4 -7 3 »

причем, очевидно, % будет порядка единицы.

Дальше по П. Л. Капице можно рассуждать так: пространствен­ ный заряд несущественно изменяет движение электронов, если дефазирующее поле меньше фазирующего поля медленной волны. Эта оценка не совсем точна, поскольку постоянное дефазирующее поле всегда можно уничтожить с помощью надлежащего подбора расстрой­ ки скоростей и0 — и, но более точное рассмотрение дефазирующего действия пространственного заряда связано с громоздкими вычисле­ ниями.

Указанная оценка приводит к следующим выводам: в магнетронных генераторах непрерывного действия силы пространственного за-

84

Смотрите также файлы