Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 300

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Дифференциальное уравнение для

как легко видеть, удовлетворяется. Кро­

ме того, квадратная скобка

в формуле

для

Ип

содержит выражение,

которое

при

Y = 0 и Y = D

обращается в нуль, так что граничные

условия

для ЇІп

также удовлетворяются. Выражение для 11й

получаем, полагая nh -* 0, в виде

 

 

 

(Y)-—Gt(D),

G0(Y) =

\g0(y)(Y-y)iy

 

 

 

Щ 0О =

СЙ* G 0 (У)

D G 0 (D)

 

 

о

 

 

частности,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л/-

 

 

 

Проанализируем смысл

последнего

выражения,

Мы имеем

 

 

 

D

 

2л D

 

 

 

 

Л D

 

 

 

 

go ІУ) dy=

1

g(x, y)d(hx)dy

=

—^ \ (х,

(/) dxdi/r

 

 

J

—

 

 

 

2л

 

 

 

 

 

о о

 

 

 

О

 

0

0

 

 

 

 

 

 

где

Л = 2л/Л—длина

медленной

волны. Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Юр

go(y)dy=

hq,

 

 

 

где

 

 

 

 

AD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ^ Р(х, y)dxdy

6о

—погонный заряд электронного облака (на единицу длины оси г). Кроме того, еличина

D

j go (У) ydy

Y = - D

J go (У) dy

есть ордината центра тяжести (центоа заряда) электронного облака. Поэтому окончательно

 

2е

 

/

7

 

 

^ ( 0 ) = - - f t g

( l - -

 

Отрицательность этой величины означает,

что пространственный

заряд создает

силу, направленную

к катоду.

 

 

 

 

4. Найти время усреднения при получении

различных соотношений, вы­

веденных в данной

лекции.

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

При точном синхронизме следует усреднять по периоду об­

ращения 2л/1 й |, поскольку нужно уничтожить слагаемые е ± ' я г ;

одновременно

уничтожаются и слагаемые е ± 2 ' й ' , e ± 3 l Q

t

и т. д.; это явно записано в формулах

(4.29). Формулы (4.29) можно получить,

не переходя к комплексному перемен­

ному, а разлагая F* в ряд по степеням £ =

Р е -

, а ' и интегрируя почленно так,

90

как это сделано при выводе более частных формул (4.18); впрочем, такое почлен­

ное интегрирование — это как раз тот прием, с помощью которого

выводится

формула Коши.

 

При более сложных условиях (4.20) и (4.22) время усреднения то же.

5. В лекции показано, что пространственный заряд постоянной

плотности

изменяет орбитальное движение — угловая скорость обращения уменьшается. В связи с этим проанализировать движение электрона в поле пространственного

заряда с плотностью р = const

< 0, потенциал которого определяется выра­

жением

 

 

 

ф = _ я р | г | 2 = — я р ( х 2 ф < / 2 ) ,

 

полагая

 

 

 

z = a e - ' 0 e ' + p e - ' Q P ' ,

| Q e K | Q p |

 

и считая а и Р постоянными.

 

 

 

Предполагая, что быстрое

движение с угловой скоростью йр

подавлено

(Р = 0), решить задачу о круговом движении

электронного облака

при учете

его пространственного заряда (обобщенное решение Бриллюэна). Выяснить смысл

условий (4.66)—(4.68) применительно к этой

задаче. Показать, что при условии

(4.61)

йр совпадает

с величиной (4.60). Исследовать движение электрона при

fia =

йр.

 

 

 

Р е ш е н и е .

Мы имеем

 

 

 

Ех = 2прх, Еу =

2яру

и

 

 

 

так что комплексное уравнение движения (4.03) принимает вид

т. е. в данном случае уравнение движения линейно. Ищем решение этого уравнения в виде 2 = е ^ и для Ир получаем квадратное уравнение

Й2 - Й Й р ^ с о 2 = & ,

которое имеет два корня

которые при условии

 

2 ю 2 < Й 2

(а)

удовлетворяют неравенству ] й а | < | йр |. При условии (4.61)

 

так что йр совпадает с величиной (4.60); при условии

 

2со2 = Й2

(Ь)

 

91

мы имеем Я а =

Яр = Я/2 и общее решение уравнения движения не представ­

ляется в виде

суммы двух экспонент,

а имеет, как легко показать, следующий

вид:

 

 

 

 

- 4 '

 

2 = (a +

pY)e

Таким образом, при достаточно больших t мы получаем движение по архимедо­ вой спирали, т. е. движение с угловой скоростью — Я/2 и радиусом-вектором,

растущим

пропорционально

t; если в начале движение близко

к

круговому

(Р мало), то при больших t

оно сильно отличается от кругового. Если*же вы­

полняется условие (а), то Я а

Ф Яр, и при малых значениях Р движение близко

к круговому (радиус |се |, угловая скорость — Я а ) при любых t.

 

 

 

При

условии

 

 

 

 

 

 

 

2к>2 > Я 2

 

(с)

величины Я а и Яр становятся комплексными и каждое слагаемое

(ае

'Q<xt или

Ре

^

) представляет собой движение по логарифмической спирали

(скручива­

ющейся

или раскручивающейся). Иначе говоря, при условии (с)

периодическое

движение

невозможно.

 

 

 

 

В данном случае характер движения изменяется при условии (&), а не при

условии (4.68); это показывает, что в определении критической плотности имеет­ ся некоторый произвол: согласно формуле (Ь) критическая плотность вдвое мень­ ше, чем согласно формуле (4.68).

Полагая Р = 0, получаем круговое движение с угловой скоростью — Я а . Если все электроны обращаются с этой скоростью, то получается круговой по­ ток, который может существовать при условии (а) и движется в поле своего про­

странственного заряда (поскольку потенциал Ф удовлетворяет уравнению

Пуас-

\ т-1

/ \

•

—ІЙСЄ і

сона). При условии (с) круговой поток невозможен, так как решение г =

а е

 

уже не дает кругового движения. При условии (Ь) круговой поток возможен, но неустойчив, поскольку, как показано выше, неустойчиво даже движение инди­

видуального электрона в заданном поле.

 

 

 

 

 

6. В дополнение к предыдущей

задаче исследовать движение

электрона

в поле, потенциал которого равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф = — 2яр# 2 ,

p =

const<0 .

 

 

Такое

распределение

 

потенциала

реализуется

в

плоскопараллельном

слое

—Уо <

У < Уо с однородной плотностью заряда. Разложить движение на

орби­

тальное и дрейфовое, сравнить с результатами,

полученными в лекции, а также

с формулами (3.05) и (3.06).

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

В

данном случае

уравнения

движения (3.04)

принимают

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х—Qy

=

0,

Ял:= щ>у.

 

 

Первое уравнение

дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = Я</ +

v0,

 

 

 

 

где v0

— постоянная

(для данного электрона). Второе уравнение принимает по*

этому вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'y

 

 

+ Q2py + Qv0 = 0, Я р = У я 2 - ( о 2 ,

 

 

откуда

 

 

 

Qv0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=——^-

+ AcosQpt

+

BsinQpt

 

 

И

 

 

 

hip

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p v

 

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

* = *o—

n 2p° / +

 

p

—(AsinQpt—BcosQpt),

 

 

где А,

В n x0 — постоянные интегрирования.

 

 

 

 

92

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученные выражения можно записать в виде

х = х±х,

у = у + у,

где слагаемые

X = = XQ

t, у=

Qv0

=const

(

)

 

 

 

определяют согласно первой формуле (3.10) дрейф по оси х под действием уско­ рения fy, а слагаемые х, у, соответствующие орбитальному движению, можно за­ писать в виде

х = —- r0 cos (—Qp t -f Фо). У = го si п (—• Q p t + Фо).

где г0 и фо — новые постоянные, которые легко выразить через Л и В. Сравни­ вая с формулами (3.05) и (3.06), мы видим, что в данном случае орбитальное дви­

жение

происходит не с периодом

2я/| Q |, а с большим периодом 2n/Qp , причем

не по окружности,

а по эллипсу с отношением осей Q : Qp. Лишь при условии

Q2 >

со2 , когда

Q ж Qp, орбитальное движение

приобретает свой классиче­

ский вид и сводится к движению

по окружности.

Если со2 '> Q2 , то частота Qp

мнима и формулы для х и у вообще не определяют периодического движения. Таким образом, характер движения в данном поле изменяется при переходе

плотности через критическое значение (4.68). Интересно также отметить, что при условии (4.61) мы имеем

что согласуется с формулой (4.60).

7. Рассмотреть движение электрона в поле с потенциалом Ф, взятым в пре­ дыдущей задаче, при условии (4.68). Показать, что в этом случае «чистый» дрейф

по оси х возможен, но неустойчив.

 

Р е ш е н и е .

Мы имеем

 

 

y = y0 + wKt——Qv012,

 

 

2

6

где х0, Уо, Со и w0

— постоянные. Таким образом, равномерное движение (дрейф)

по оси х неустойчиво: при малых возмущениях начальных условий на него накла­ дываются равномерное и равномерно ускоренное движения по оси у и еще более

сложное движение по оси х, которые при достаточно больших

t

полностью из­

меняют характер движения (см. задачу 5).

 

 

 

 

8. Исследовать движение

электрона

в поле,

потенциал

которого равен

Ф = — 2лp (xu x2

+ 2xi2 xy +

X22 У2)>

P = const < 0,

 

где безразмерные величины

постоянны. При условии

 

 

потенциал Ф удовлетворяет уравнению Пуассона. Особое внимание обратить на движение при условиях (4.67) и (4.68) и различных знаках детерминанта

X

%П %12 Xl2 %22

Сравнить с результатами, полученными в задачах 5 и 6.

Смотрите также файлы