Файл: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.pdf

ф = С(х2

— у2),

C = const,

удовлетворяющим уравнению Лапласа, приводит к выражениям

fx=—

м 2 * ,

/у = Сй2>,

со2 ==2 — С

т

для составляющих ускорения. В этих выражениях для определенности

считать.

со2 > 0. Получить точное решение уравнений движения (4.01) в этом поле и

срав­

нить с тем, что дает метод усреднения. Выяснить значение условия

(4.12). Вос­

пользоваться решением предыдущей задачи.

Р е ш е н и е .

Если положить

со2 = ш 2 , Х п = - 1 ,

Х „ = 1 , Х 1 2 = 0,

то можно воспользоваться

решением

предыдущей задачи. Надо только

иметь

в виду, что сейчас

^11+^22=

0?

X = — 1 ,

поэтому характеристическое уравнение имеет вид

Я*—Я2 Я2 —0)4 = 0

и его корни определяются выражением

йр = ~

(Я2

± У й 4 + 4со*),

которые при знаке

«+ » соответствуют

орбитальному движению, а

при

знаке

«—» дрейфу вдоль гипербол. В данном

случае | grad / | — со2 , поэтому

условие

(4.12) принимает вид

со2 <

Я 2 .

лаке). Особое внимание обратить на движение при Я

0 и сравнить с тем, что

получается при р <

0.

±i | сор |.

Р е ш е н и е .

При р > 0 получаем

со2 =

— | сор | 2

и сор =

В задаче 5 Я а и Яр всегда вещественны, причем Я а

р = ±

| о) Р | при Я = 0,

В

задаче 6 величина

Яр также всегда вещественна,

причем

Яр =

±

| Wp | при

Я

=

0. В обоих случаях периодическое «орбитальное» движение

и устойчивый

дрейф

возможны при любом отношении |сор|/Я, в противоположность случаю

р <

0.

В задаче 8 все зависит от значения

%: если

% <

, то периодическое

движение всегда возможно и его частота при Я = 0 равна

Я р = ± | с о р | | /

:

Если

же % > V4, то периодическое движение возможно лишь при условии

Я2 > (2"1/Х— 1) | Шр I 2 .

Л е к ц и я

5

ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛНОВОДОВ

Во многих электронных приборах используются замедляющие си­

стемы — волноводы, в которых могут распространяться медленные

волны (фазовая скорость существенно меньше скорости света с).

Замедление, в принципе, может достигаться частичным заполнением

поперечного сечения диэлектриком

или применением импедансных

границ, но фактически все замедляющие системы, используемые на

практике, являются периодическими волноводными структурами,

выполненными из металла. В приборах с криволинейными пучками

используются и обычные волноводы с гладкими стенками.

Все это заставляет рассмотреть общую задачу о возбуждении волно­

водов — как однородных, так и периодических. В первой части лек­

ции будет приведено решение этой задачи в виде разложения по

собственным волнам. В отличие от решения аналогичной задачи о

возбуждении объемного резонатора (см. 2-ю лекцию) в этом решении

потенциальная часть электрического поля («чистое» поле простран­

ственного

заряда) не выделена.

Поскольку

в электронике — да и не только в электронике — выде­

ление потенциального(квазистатического) поля имеет большое зна­

чение, целесообразно произвести это выделение в возможно более

общем виде. Это сделано во второй части лекции, что, как мы уви­

дим в следующей лекции, сильно облегчает вычисление поля про­

странственного заряда в лампе с бегущей волной и аналогичных

приборах.

а. РАЗЛОЖЕНИЕ П О СОБСТВЕННЫМ

В О Л Н А М

Рассмотрим сначала волновод,

однородный по оси г, поле

могут

существовать

волны,

распространяющиеся в

направлениях

± z .

Волны, распространяющиеся

в положительном

направлении

оси

z,

характеризуются полями

Es

= Е° (х,

y)zih°z,

H s = Н° (х, у)e'V

(5.01)

Е_, = Е1*(*, y)eth-*',

H _ s = H l s ( x , y)elh-sz

(5.02)

4 Зак. U23

97

При этом индекс

s, нумерующий

собственные волны в

волноводе,

в силу изотропности всех веществ и выполнения теоремы

взаимности

можно всегда выбрать так, чтобы выполнялось условие

h_s=—hs;

составляющие E l s

и H l s в ряде

случаев просто выражаются

через

составляющие Е° и Н£ (см. задачи

7 и 8).

Исходя из однородных уравнений Максвелла в комплексной

фор­

ме (временная зависимость, как и раньше,

е - ш )

rot Е = I & L I H , rot Н = — ikeE,

(5.03)

в которых комплексные

проницаемости

є =

е (со; х,у),

[л = ц(со;

х, у)

(5.04)

ние ортогональности для собственных волн

(см.

задачу

1)

j { [ E s H r ] - [ E r H J } I c i S = 0 при

гф

— s,

(5.05)

s

rotE = % H ,

rotH= — tfteE + —

j .

(5.06)

с

Будем искать магнитное поле в виде

H = E ( C S H S + C.S H_S ),

(5.07)

S

где Cs и С_3

зависят только

от г. Так

как Cs и C_s

постоянны при

j==0 (тогда

формула (5.07) дает общее

решение

уравнений (5.03) —

для

электрического

поля выражение

E = J ( C S E 5 + C _ S E _ S ) -

S

~ -т- 2 (-г*[ , н *] + ^ г - [,Н-Л) + " J>

(5-08>

ike

\

dz

dz

І

гсоє

со = ck.

s

где

Для того

чтобы

упростить

последнюю формулу,

подчи­

ним

функции

Cs(z)

и

G_s (z)

дополнительному

условию

2 (тгllH«]+-^jf2-[ , H -J )= vj < >

( 5 -0 9 )

чине, что векторы, стоящие в левой части (5.09), не имеют составляю­

щих по оси z. Выражение (5.08) для Е принимает, таким образом, вид

Е = 1 (С, Е, + С . . E_e) + —

(5.10)

s

ІС0Є

где j ' (0, 0, /,) есть продольная

часть плотности тока.

Такие рассуждения типичны для метода вариации

постоянных

[см. формулы (4.07) — (4.10)]. Второе соотношение для

Cs и C_s по­

(5.06). Это

соотношение

имеет вид

^ П Е 8 ] + - ^ [ 1 Е

Л =

- —

rotЛ.

(5.11)

dz

dz

j

ко

е

s

Пользуясь

соотношениями

(5.09) и (5.11),

можно

найти ^

и - ^ г -

окончательные

выражения

^i-

= — []E_sdS,

=

- f j E , d S ,

(5.12)

dz

Ns і/

s

dz

Ns

J , J s

v

s

s

в которых

Ns есть норма волны с индексом

s,

равная

# . = f -

f { [ E 6 H _ s ] - [ E _ s H s ] } l d 5 .

(5.13)

4л

J,

Sl

Заметим,

что соотношения

(5.12) по форме

аналогичны

соотношению

норма Ns

имеет четкий энергетический смысл — она пропорциональна

мощности волны (см. задачу 7).

волновода Zi <

Если

токи

занимают отрезок

z <

z2 ,

то из вы­

ражений

(5.12)

следует,

что

С * ( г ) =

л Г l d z

I]E"sdS'

C - s i z ) ^ i r l d z

f j M

S -

( 5 Л 4 )

Е = 2 С Д ,

Н = 2 CSHS

при

z > z 2 ,

S

S

E = 2C_S E_S ,

H = 2 0 . S H _ S

при

2 < г ь

S

S

4*

99